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文档简介

5.4

平面向量的应用-2-考纲要求:1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.-3-1.向量在平面几何中的应用证明线段平行或点共线问题,常用共线向量定理:a∥b(b≠0)⇔a=λb⇔x1y2-x2y1=0

.证明垂直问题,常用数量积的运算性质a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0

(a,b均为非零向量).(θ为a与b的夹角).2.向量在三角函数中的应用对于向量与三角函数结合的题目,其解题思路是用向量运算进行转化,化归为三角函数问题或三角恒等变形等问题或解三角形问题.|𝑎||𝑏|(3)求夹角问题,利用夹角公式cos

θ=

𝑎·𝑏

=𝑥1𝑥2+𝑦1𝑦21

21

2ට𝑥2+𝑦2ට𝑥2+𝑦2-4-3.向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的应用,主要是以向量的数量积给出一种条件,通过向量转化,进而利用直线和圆锥曲线的位置关系等相关知识来解答.4.向量在物理中的应用物理学中的力、速度、位移都是矢量,它们的分解、合成与向量的加减法相似,因此可以用向量的知识来解决某些物理问题;物理学中的功是一个标量,是力F与位移s的数量积,即W=|F||s|cos

θ

(θ为F与s的夹角).-5-1

2

3

4

51.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.的主要手段是向量的坐标运算.

(

)若ሬ𝐴ሬ𝐵ሬ⃗

ሬ𝐴ሬ𝐶⃗,则

A,B,C

三点共线.

(

)在△ABC中,若ሬ𝐴ሬ𝐵ሬ⃗

·

ሬ𝐵ሬ𝐶ሬ⃗<0,则△ABC

为钝角三角形.

(

×

)在四边形ABCD中,ሬ𝐴ሬ𝐵ሬ⃗

=ሬ𝐷ሬሬ𝐶⃗,且ሬ𝐴ሬሬ𝐶⃗

·

ሬ𝐵ሬ𝐷ሬ⃗=0

,则四边形ABCD是矩形.

(

×

)解析几何中的坐标、直线平行、垂直、长度等问题都可以用向量解决.

(

)实现平面向量与三角函数、平面向量与解析几何之间的转化√-6-1

2

3

4

5A.锐角三角形

C.钝角三角形B.直角三角形D.等腰直角三角形2.若ሬ𝐴ሬ𝐵ሬ⃗

·

ሬ𝐵ሬ𝐶ሬ⃗

+

ሬ𝐴ሬ𝐵ሬ⃗2=0,则△ABC必定是(

)答案解析ሬ𝐴ሬ𝐵ሬ⃗

·

ሬ𝐵ሬ𝐶ሬ⃗

+ሬ𝐴ሬ𝐵ሬ⃗2=0⇔ሬ𝐴ሬ𝐵ሬ⃗·(ሬ𝐵ሬ𝐶ሬ⃗△ABC

必定是直角三角形.+ሬ𝐴ሬ𝐵ሬ⃗)=0⇔ሬ𝐴ሬ𝐵ሬ⃗·ሬ𝐴ሬሬ𝐶⃗=0⇔ሬ𝐴ሬ𝐵ሬ⃗⊥ሬ𝐴ሬሬ𝐶⃗,则关闭B关闭-7-1

2

3

4

53.设x,y∈R,i,j是直角坐标平面内x,y轴正方向上的单位向量,若a=xi+(y+3)j,b=xi+(y-3)j,且|a|+|b|=6,则点M(x,y)的轨迹是(

)A.椭圆

B.双曲线

C.线段

D.射线关闭因为|a|=ට𝑥2

+(𝑦+3)2,|b|=ට𝑥2

+(𝑦-3)2,由|a|+|b|=6,可得ට𝑥2+(𝑦+3)2

+ට𝑥2+(𝑦-3)2=6,所以动点M(x,y)到两定点A1(0,-3),A2(0,3)的距离之和等于6.而|A1A2|=6,所以点M(x,y)的轨迹是线段.故选C.答案解析关闭C-8-1

2

3

4

54.平面上三个力F1,F2,F3作用于一点且处于平衡状态.已知|F1|=1N,|F2|=2

N,F1,F2成120°角,则F1与F3所成的角为

.关闭答案解析关闭90°-9-1

2

3

4

5轨迹方程为

.25.平面上有三个点A(-2,y),B

൬0,𝑦൰

,C(x,y),若ሬ𝐴ሬ𝐵ሬ⃗

⊥ሬ𝐵ሬ𝐶ሬ⃗

,则动点C的ሬ⃗

ሬ⃗

ሬ⃗

ሬ⃗又𝐴𝐵⊥𝐵𝐶,∴𝐴𝐵

·

𝐵𝐶=0,即ቀ2,-𝑦ቁ

·

ቀ𝑥,𝑦ቁ=0,化简得y2=8x(x≠0).2

2答案解析由题意得ሬ𝐴ሬ𝐵ሬ⃗=ቀ2,-𝑦ቁ2,ሬ𝐵ሬ𝐶ሬ⃗=ቀ𝑥,

𝑦ቁ,2关闭y2=8x(x≠0)关闭-10-1

2

3

4

5自测点评向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观,向量本身是一个数形结合的产物.在利用向量解决问题时,要注意数与形的结合、代数与几何的结合、形象思维与逻辑思维的结合.要注意变换思维方式,能从不同角度看问题,要善于应用向量的有关性质解题.A.1

B.3

C.5

D.9-11-考点1

考点2

考点3

知识方法

易错易混考点1向量在平面几何中的应用

ሬ𝐴ሬ𝐶ሬ⃗·ሬ𝐴ሬ𝐵ሬ⃗

ሬ𝐵ሬ𝐶ሬ⃗·ሬ𝐵ሬ𝐴ሬ⃗例1(1)在△ABC中,

|ሬ𝐴ሬ𝐵ሬ⃗|

=1,

|ሬ𝐵ሬ𝐴ሬ⃗|

=2

,则AB边的长度为(

)关闭答案解析关闭B-12-考点1

考点2

考点3

知识方法

易错易混(2)已知菱形ABCD

的边长为2,∠BAD=120°,点E,F

分别在边BC,DC

上,BE=λBC,DF=μDC.若ሬ𝐴ሬ𝐸ሬ⃗

·

ሬ𝐴ሬ𝐹ሬ⃗=1,ሬ𝐶ሬ𝐸ሬ⃗

·

ሬ𝐶ሬ𝐹ሬ⃗=-3,2

则λ+μ=(

)C.56

7

D.12A.1

B.22

3答案:C解析:(方法一)如图,ሬ𝐴ሬ𝐸ሬ⃗

=ሬ𝐴ሬ𝐵ሬ⃗

+ሬ𝐵ሬ𝐸ሬ⃗

=ሬ𝐴ሬ𝐵ሬ⃗+λሬ𝐵ሬ𝐶ሬ⃗

=ሬ𝐴ሬ𝐵ሬ⃗+λሬ𝐴ሬ𝐷ሬ⃗,同理,ሬ𝐴ሬ𝐹ሬ⃗

=ሬ𝐴ሬ𝐷ሬ⃗+μሬ𝐴ሬ𝐵ሬ⃗,∴(ሬ𝐴ሬ𝐵ሬ⃗+λሬ𝐴ሬ𝐷ሬ⃗)·(ሬ𝐴ሬ𝐷ሬ⃗+μሬ𝐴ሬ𝐵ሬ⃗)=1,又∵ሬ𝐴ሬ𝐵ሬ⃗

·

ሬ𝐴ሬ𝐷ሬ⃗=|ሬ𝐴ሬ𝐵ሬ⃗||ሬ𝐴ሬ𝐷ሬ⃗|cos

120°=-2,整理得4(λ+μ)-2λμ=3,①又ሬ𝐶ሬ𝐸ሬ⃗=(λ-1)ሬ𝐵ሬ𝐶ሬ⃗=(λ-1)ሬ𝐴ሬ𝐷ሬ⃗,

ሬ𝐶ሬ𝐹ሬ⃗=(μ-1)·ሬ𝐷ሬሬ𝐶⃗=(μ-1)ሬ𝐴ሬ𝐵ሬ⃗,3∴(λ-1)ሬ𝐴ሬ𝐷ሬ⃗·(μ-1)ሬ𝐴ሬ𝐵ሬ⃗=-2,-13-考点1考点2考点3知识方法易错易混-14-考点1考点2考点3知识方法易错易混因为ሬ𝐴ሬ𝐸ሬ⃗

=ሬ𝐴ሬሬ𝐶⃗

+ሬ𝐶ሬ𝐸ሬ⃗=(√3λ-√3,λ+1),ሬ𝐴ሬ𝐹ሬ⃗

=ሬ𝐴ሬሬ𝐶⃗

+ሬ𝐶ሬ𝐹ሬ⃗=(√3−√3μ,μ+1),ሬ𝐴ሬ𝐸ሬ⃗

·

ሬ𝐴ሬ𝐹ሬ⃗=1,所以(λ+1)(μ+1)=2.由ቊ3(𝜆-1)(𝜇-1)

=

1

,(𝜆

+

1)(𝜇

+

1)

=

2,56整理得λ+μ=.故选C.思考:用平面向量解决平面几何问题一般有哪些方法?解题心得:用平面向量解决平面几何问题时,有两种方法:基向量法和坐标系法,建立平面直角坐标系时一般利用已知的垂直关系,或使较多的点落在坐标轴上,这样便于迅速解题.-15-考点1考点2考点3知识方法易错易混对点训练1

(1)(2015安徽六安模拟)已知非零向量ሬ𝐴𝐵ሬሬሬሬ⃗与ሬ𝐴𝐶ሬሬሬሬ⃗

满ሬ𝐴ሬሬሬሬ𝐵ሬ⃗

ሬ𝐴ሬሬሬሬ𝐶ሬ⃗

ሬ𝐴ሬሬሬሬ𝐵ሬ⃗

ሬ𝐴ሬሬሬሬ𝐶ሬ⃗

1| |

+|ሬ𝐴ሬሬሬሬ𝐶ሬ⃗|൰

·

ሬ𝐵𝐶ሬሬሬሬ⃗=0

且|ሬ𝐴ሬሬሬሬ𝐵ሬ⃗|

·

|ሬ𝐴ሬሬሬሬ𝐶ሬ⃗|

=2A.等边三角形

B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.三边均不相等的三角形关闭答案解析关闭A-16-考点1

考点2

考点3

知识方法

易错易混(2)在平行四边形ABCD中,AD=1,∠BAD=60°,E为CD的中点.若

ሬ𝐴ሬሬ𝐶⃗

·

ሬ𝐵ሬ𝐸ሬ⃗=1

,则AB的长为

.关闭2由题意可知,ሬ𝐴ሬሬ𝐶⃗

=ሬ𝐴ሬ𝐵ሬ⃗

+ሬ𝐴ሬ𝐷ሬ⃗,ሬ𝐵ሬ𝐸ሬ⃗=-1

ሬ𝐴ሬ𝐵ሬ⃗

+ሬ𝐴ሬ𝐷ሬ⃗.因为ሬ𝐴ሬሬ𝐶⃗

·ሬ𝐵ሬ𝐸ሬ⃗=1,2所以(ሬ𝐴ሬ𝐵ሬ⃗

+ሬ𝐴ሬ𝐷ሬ⃗)·ቀ-1

ሬ𝐴ሬ𝐵ሬ⃗

+ሬ𝐴ሬ𝐷ሬ⃗ቁ=1,即ሬ𝐴ሬ𝐷ሬ⃗2

+1

ሬ𝐴ሬ𝐵ሬ⃗

·

ሬ𝐴ሬ𝐷ሬ⃗

−1ሬ𝐴ሬ𝐵ሬ⃗2=1.①2

2因为|𝐴ሬ

ሬ𝐷ሬ⃗|=1,∠BAD=60°,2所以ሬ𝐴ሬ𝐵ሬ⃗

·

ሬ𝐴ሬ𝐷ሬ⃗

=1|ሬ𝐴ሬ𝐵ሬ⃗|,1ሬ⃗1ሬ⃗2ሬ⃗1因此①式可化为

1+4

|𝐴𝐵|-

|𝐴𝐵|

=1,解得|𝐴𝐵|=0(舍去)或

,所以

AB1

2

2的长为.2答案解析关闭12-17-考点1

考点2

考点3

知识方法

易错易混考点2向量在三角函数中的应用

例2(2015

广东,理16)在平面直角坐标系xOy

中,已知向量m=൬√2

,-

√2൰,n=(sin

x,cos

x),x∈ቀ0,

πቁ.2

2

2(1)若m⊥n,求tan

x

的值;3(2)若m

与n

的夹角为π,求x

的值.-18-考点1考点2考点3知识方法易错易混解:(1)∵m=൬√2

,-√2൰,n=(sin

x,cos

x),且m⊥n,2

2∴m·n=൬√2

,-

√2൰·(sin

x,cos

x)2

2=√2sin

x-√2cos

x=sinቀ𝑥-

πቁ=0.2

2

4又x∈ቀ0,πቁ,∴x-π

∈ቀ-π

,πቁ.π

π2

4

4 4

π∴x-4=0,即x=4.∴tan

x=tan4=1.-19-考点1考点2考点3知识方法易错易混(2)由(1)和已知得cosπ

=

𝑚·𝑛3

|𝑚|·|𝑛|=

4

sinቀ𝑥-πቁ2ඨቆඥ2ቇ

+ቆ-ඥ2ቇ2

22

·ඥsin2𝑥+cos2𝑥=sinቀ𝑥-

πቁ

=

1,4

2又x-π

∈ቀ-π

,πቁ,∴x-π

=π,即x=5π.4

4

4

4

6

12-20-考点1考点2考点3知识方法易错易混思考:利用向量求解三角函数问题的一般思路是什么?解题心得:利用向量求解三角函数问题的一般思路:求三角函数值,一般利用已知条件将向量关系转化为三角函数关系式.利用同角三角函数关系式及三角函数中常用公式求解.求三角函数性质问题,通常是利用向量转化后化归为二次函数或一个角的一个三角函数,利用角的范围求解.求角时通常由向量转化为三角函数问题,先求值再求角.解决与向量有关的三角函数问题的思想方法是转化与化归的数学思想,即通过向量的相关运算把问题转化为三角函数问题.-21-考点1

考点2

考点3

知识方法

易错易混对点训练

2

已知向量

a=(cos

ωx-sin

ωx,sin

ωx),b=(-cos

ωx-sin

ωx,2√3cos

ωx),设函数f(x)=a·b+λ(x∈R)的图象关于直线x=π

对称,其中ω,λ

为常数,且ω∈ቂ1

,1ቃ.2(1)求函数f(x)的最小正周期;4

5(2)若y=f(x)的图象经过点ቀπ

,0ቁ,求函数f(x)在区间ቂ0,3πቃ上的取值范围.解:(1)因为f(x)=sin2ωx-cos2ωx+2√3sin

ωx·cos

ωx+λ=-cos62ωx+√3sin

2ωx+λ=2sinቀ2𝜔𝑥-

πቁ+λ.6由直线x=π

是y=f(x)图象的一条对称轴,可得sinቀ2𝜔π-πቁ=±1,所以2ωπ-π=kπ+π(k∈Z),即ω=𝑘

+1(k∈Z).6

2

2

3又ω∈ቂ1

,1ቃ,k∈Z,所以k=1,故ω=5.2

6-22-考点1

考点2

考点3

知识方法

易错易混5所以f(x)的最小正周期是6π.(2)由y=f(x)的图象过点ቀπ

,0ቁ,得fቀπቁ=0,4

4即λ=-2sinቀ5

×π

-πቁ=-2sinπ=-√2,即λ=-√2.6

2

6

4故f(x)=2sinቀ5

𝑥-πቁ

−√2,3

6由0≤x≤3π,得-π

≤5x-π

≤5π,5

6

3

6

6所以-1≤sinቀ5

𝑥-πቁ≤1,2

3

6得-1-√2≤2sinቀ5

𝑥-πቁ

−√2≤2-√2,3

65故函数f(x)在ቂ0,3πቃ上的取值范围为[-1-√2,2-√2].-23-考点1

考点2

考点3

知识方法

易错易混考点3向量在解析几何中的应用

例3(2015

福建,理18)𝑎2𝑏22已知椭圆E:𝑥2

+𝑦2

=1(a>b>0)过点(0,√2),且离心率e=√2.(1)求椭圆E

的方程;4(2)设直线l:x=my-1(m∈R)交椭圆E

于A,B

两点,判断点Gቀ-9

,0ቁ与以线段AB

为直径的圆的位置关系,并说明理由.思考:在向量与解析几何相结合的题目中,向量起到怎样的作用?-24-考点1考点2考点3知识方法易错易混𝑏

=

√2,(1)解:由已知,得൞𝑐

=

√2

,𝑎

2𝑎2

=

𝑏2

+

𝑐2

,𝑎

=

2,解得ቐ𝑏=√2,𝑐

=

√2.2

2所以椭圆

E

的方程为𝑥

+

𝑦

=1.4

2-25-考点1

考点2

考点3

知识方法

易错易混(2)解法一:设点A(x1,y1),B(x2,y2),AB

的中点为H(x0,y0).𝑥

=

𝑚𝑦-1,𝑦24

2+ =

1由൝𝑥

2

得(m2+2)y2-2my-3=0,所以

y1+y2=

2𝑚

,y1y2=-

3

,𝑚2

+2

𝑚2

+2𝑚2

+2从而

y0=

𝑚

.所以|GH|2=9252

2ቀ𝑥0

+

4ቁ +

𝑦0

=

ቀ𝑚𝑦0

+

4ቁ +

𝑦002=(m2+1)𝑦2

+5my0+25.2

16-26-考点1

考点2

考点3

知识方法

易错易混|𝐴𝐵

|2

=

(𝑥

1-𝑥

2

)2

+(𝑦1

-𝑦2

)2

=(1+𝑚2

)(𝑦1

-𝑦2

)2

=(1+𝑚2

)[(𝑦1

+𝑦2

)2

-4𝑦1

𝑦2

]4

4

4

40=(1+m2)(𝑦2-y1y2),2故|GH|-|𝐴𝐵|254

220

1

2=

my

+(1+m

)y

y

+2516=5𝑚22(𝑚2

+2)

𝑚2

+2

16

16(

𝑚2

+2)2

2−

3(1+𝑚

)

+

25

=

17

𝑚 +2

>0,2所以|GH|>|𝐴𝐵|

.4故点Gቀ-9

,0ቁ在以AB

为直径的圆外.-27-考点1考点2考点3知识方法易错易混解法二:设点A(x1,y1),B(x2,y2),1

14

42

2则ሬ𝐺ሬ𝐴ሬ⃗

=

ቀ𝑥 +

9

,𝑦

,

ሬ𝐺ሬ𝐵ሬ⃗

=

ቀ𝑥 +

9

,𝑦 ቁ.𝑥

=

𝑚𝑦-1,由൝𝑥

2𝑦24

2+ =

1得(m2+2)y2-2my-3=0,所以

y1+y2=

2𝑚

,y1y2=-

3

,𝑚2

+2

𝑚2

+2-28-考点1考点2考点3知识方法易错易混1

24

4从而ሬ𝐺ሬ𝐴ሬ⃗

·

ሬ𝐺ሬ𝐵ሬ⃗

=

ቀ𝑥 +

9ቁ

ቀ𝑥

+

9ቁ+y1y21

2=ቀ𝑚𝑦 +

5ቁ

ቀ𝑚𝑦 +

5ቁ+y1y2=(m2+1)y1y2+5m(y1+y2)+254

4

4

16=-3(𝑚2

+1)25

𝑚2+

+=25 17

𝑚2

+222

2𝑚

+2

𝑚

+2

16

16(

𝑚

+2)>0,所以cos<ሬ𝐺ሬ𝐴ሬ⃗,ሬ𝐺ሬ𝐵ሬ⃗>>0.又𝐺ሬ

ሬ𝐴ሬ⃗,ሬ𝐺ሬ𝐵ሬ⃗不共线,所以∠AGB

为锐角.4故点Gቀ-9

,0ቁ在以AB

为直径的圆外.-29-考点1考点2考点3知识方法易错易混思考:在向量与解析几何相结合的题目中,向量起到怎样的作用?解题心得:向量在解析几何中的作用:载体作用:向量在解析几何问题中出现,多用于“包装”,解决此类问题时关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”,导出曲线上点的坐标之间的关系,从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题.工具作用:利用数量积与共线定理可解决垂直、平行问题.特别地,向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较可行的方法.-30-考点1

考点2

考点3

知识方法

易错易混对点训练3

已知平面上一定点C(2,0)和直线l:x=8,P为该平面上2

2一动点,作PQ⊥l,垂足为Q,且ቀሬ𝑃ሬሬ𝐶⃗

+1

ሬ𝑃ሬ𝑄ሬ⃗ቁ

·

ቀሬ𝑃ሬሬ𝐶⃗-1

ሬ𝑃ሬ𝑄ሬ⃗ቁ=0.由ቀሬ𝑃ሬሬ𝐶⃗

+1

ሬ𝑃ሬ𝑄ሬ⃗ቁ

·

ቀሬ𝑃ሬሬ𝐶⃗-1

ሬ𝑃ሬ𝑄ሬ⃗ቁ=0,得|ሬ𝑃ሬሬ𝐶⃗|2-1|ሬ𝑃ሬ𝑄ሬ⃗|2=0,2

2

4即(x-2)2+y2-1(x-8)2=0,化简得𝑥2

+𝑦

2

=1.4

16

12所以点P

在椭圆上,其方程为16

12𝑥2

+

𝑦

2

=1.求动点P的轨迹方程;若EF为圆N:x2+(y-1)2=1的任一条直径,求ሬ𝑃ሬ𝐸ሬ⃗

·

ሬ𝑃ሬ𝐹ሬ⃗

的最值.解:(1)设P(x,y),则Q(8,y).-31-考点1考点2考点3知识方法易错易混(2)ሬ𝑃ሬ𝐸ሬ⃗

·

ሬ𝑃ሬ𝐹ሬ⃗=(ሬ𝑁ሬ𝐸ሬ⃗

ሬ𝑁ሬ𝑃ሬ⃗)·(ሬ𝑁ሬ𝐹ሬ⃗

ሬ𝑁ሬ𝑃ሬ⃗)=(-ሬ𝑁ሬ𝐹ሬ⃗

−ሬ𝑁ሬ𝑃ሬ⃗)·(ሬ𝑁ሬ𝐹ሬ⃗

ሬ𝑁ሬ𝑃ሬ⃗)=ሬ𝑁ሬ𝑃ሬ⃗2

ሬ𝑁ሬ𝐹ሬ⃗2

=

ሬ𝑁ሬ𝑃ሬ⃗2

-1,P

是椭圆𝑥2

𝑦

216

12+

=1

上的任一点,设P(x0,y0),𝑥2

𝑦

216

1204𝑦

23则有

0

+

0

=1,即𝑥2=16- 0

,又

N(0,1),ሬ

ሬሬ⃗02

20210213

30

02所以𝑁𝑃 =

𝑥

+(y

-1)

=-

𝑦

-2y

+17=-

(y

+3)

+20.因为y0∈[-2√3,2√3],所以当y0=-3

时,ሬ𝑁ሬ𝑃ሬ⃗2取得最大值20,故ሬ𝑃ሬ𝐸ሬ⃗

·

ሬ𝑃ሬ𝐹ሬ⃗的最大值为19;当y0=2√3时,ሬ𝑁ሬ𝑃ሬ⃗2取得最小值为13-4√3(此时x0=0),故ሬ𝑃ሬ𝐸ሬ⃗

·ሬ𝑃ሬ𝐹ሬ⃗的最小值为12-4√3.-32-考点1

考点2

考点3

知识方法

易错易混证明直线平行、垂直、线段相等等问题的基本方法有:要证AB=CD,可转化为证明ሬ𝐴ሬ𝐵ሬ⃗2

=ሬ𝐶ሬ𝐷ሬ⃗2或|ሬ𝐴ሬ𝐵ሬ⃗|=|ሬ𝐶ሬ𝐷ሬ⃗|.要证两线段AB∥CD,只要证存在唯一实数λ≠0,使等式ሬ𝐴ሬ𝐵ሬ⃗=λሬ𝐶ሬ𝐷ሬ⃗成立即可.要证两线段AB

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