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文档简介
关于二重积分的变量变换公式第1页，讲稿共14页，2023年5月2日，星期三首页×证
根据定理条件可知变换T可逆.
用平行于坐标轴的
直线分割区域任取其中一个小矩形,其顶点为通过变换T,在xoy
面上得到一个四边形,其对应顶点为则第2页，讲稿共14页，2023年5月2日，星期三首页×同理得当h,k
充分小时,曲边四边形M1M2M3M4近似于平行四
边形,
故其面积近似为第3页，讲稿共14页，2023年5月2日，星期三首页×因此面积元素的关系为从而得二重积分的换元公式:例如,
直角坐标转化为极坐标时,
第4页，讲稿共14页，2023年5月2日，星期三首页×例1
计算其中D是x=0,y=0,
x+y=1所围区域.解则令第5页，讲稿共14页，2023年5月2日，星期三首页×第6页，讲稿共14页，2023年5月2日，星期三首页×例2
求抛物线y2=mx,y2=nx
和直线所围区域D
的面积.解令第7页，讲稿共14页，2023年5月2日，星期三首页×当积分区域是圆域或圆域的一部分,
或者被积函数含有x2+y2
时，采用极坐标变换往往能简化二重积分的计算.此时,
二、用极坐标计算二重积分第8页，讲稿共14页，2023年5月2日，星期三首页×则(ii)若原点在D
内，则(i)若原点在D
外，第9页，讲稿共14页，2023年5月2日，星期三首页×(iii)若原点在D
的边界上，(iv)若区域D
可表示为则第10页，讲稿共14页，2023年5月2日，星期三首页×例4
求球体
被圆柱面所截得的(含在柱面内的)立体的体积.解由对称性可知第11页，讲稿共14页，2023年5月2日，星期三首页×例5
计算
其中解的原函数不是初等函数,故本题无法用直角由于坐标计算.作极坐标系变换，有第12页，讲稿共14页，2023年5月2日，星期三首页×例6
试计算椭球体解
由对称性令则的体积V.第13
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