直接开平方法和因式分解法课件华东师大版九年级数学上册

22.2.1直接开平方法和因式分解法九年级上

1.会运用开平方法解形如

x2=p或(x+n)2=p(p≥0)的方程.2.会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程.3.了解直接开平方法及因式分解法解一元二次方程的解题步骤.学习目标重点重点重点小唯唯家装修房子，妈妈说：“小唯唯的卧室地形为正方形，约16平方米”，爸爸立马说：“原来地长为4米”.思考：爸爸是怎么知道卧室的地长的？新课引入试一试求等式中的x，以解下列方程：你是怎样解的？一

直接开平方法解方程对于题(1)，有这样的解法：方程

x2=4，意味着x是4的平方根，所以

即

x=±2.这里得到了方程的两个根，通常也表示成

x1=2，x2=-2.这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法．新知学习例1

用直接开平方法解下列方程．(1)x2

-2

=0；(2)16x2

-25

=0.解：(1)移项，得x2

=2，直接开平方，得x

=±，即x1

=，x2

=-.解：(2)移项，得16x2

=25，方程两边都除以16，得x2

=，直接开平方，得

x

=±即x1

=，x2

=-.(2)当p=0时，方程(I)有两个相等的实数根

=0;(3)当p<0时，因为任何实数x，都有x2≥0，所以方程(I)无实数根.一般的，对于可化为方程x2=p(p是常数)，(I)(1)当p>0时，根据平方根的意义，方程(I)有两个不等的实数根归纳问题：

对照上面的方法，你认为可以怎样解方程(x+3)2=5？由方程x2=25得x=±5.由此想到：由方程(x+3)2=5，②得于是方程(x+3)2=5的两个根为即③上面的解法中，由方程②得到③，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程②转化为我们会解的方程了.归纳针对训练(1)

x2

-900=0.解：(1)移项，得x2=900.直接开平方，得x=±30，∴x1=30，x2=－30.思路点拨：通过移项把方程化为

x2=p

的形式，然后直接开平方即可求解．

1.利用直接开平方法解下列方程：解：（2）移项，得12(3-2x)2

=

3，两边都除以12，得(3-2x)2

=.∵3-2x

是

的平方根，∴3-2x

=.即3

-

2x

=

0.5，3-2x

=

-0.5，∴x1=

，（2）12(3－2x)2－3=0.思路点拨：先将-3

移到方程的右边，再将等式两边同时除以

12，再将(3－2x)看成是一个整体，就可以运用直接开平方法求解.

x2=二、因式分解法解一元二次方程解：将方程左边用平方差公式分解因式，得

(x-1)(x+1)=0，必有

x-1=0或

x+1=0.

分别解这两个一元一次方程，得

x1＝1，x2＝-1.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法．解方程：还可以用什么方法来解呢？例2

解下列方程：解：(1)方程左边分解因式，得

x(3x＋2)

=0.分解x

=0或3x＋2

=0.得x1

=0，

(2)x2

=3x；(1)3x2+2x

=0；解：(2)移项，得

x2－3x

=0.方程左边分解因式，得

x(x－3)

=0.所以x

=0或x

-3

=0.

得因式分解法的基本步骤一移——方程的右边=

0；二分——方程的左边因式分解；三化——方程化为两个一元一次方程；四解——写出方程两个解.因式分解法的依据：如果a·b=0，那么a=0或b=0．简记口诀：右化零左分解两方程各求解探究小张在做例2(2)时，是这样做的：

x2

=3x方程的两边同时除以

x，得

x=3.故原方程的解为

x=3.不正确，方程两边同时除以的数不能为零，还有一个解为

x=0.小林的解法对吗？针对训练1.解下列方程：解：(1)因式分解，得于是得x－2

=0或x＋1=

0,x1=2，x2=

-1.(x－2)(x＋1)

=

0.(2)移项、合并同类项，得因式分解，得

(2x＋1)(2x－1)=0.于是得2x＋1=0或2x－1=0,解：化为一般式为x2－2x+1=0.因式分解，得(x－1)(x－1)=0.有x

-1=0或x

-1=0，x1=x2=1.解：因式分解，得(2x+11)(2x

-11)=0.有2x+11=0或2x

-11=0，1.下列方程:①(x-1)2-1=0;②x2-5=0;③(x2-4x)-4=0;④(x-3)2+2=0；⑤x2=x;⑥x-x2-3=0;⑦(5x+1)2=16.可以用直接开平方法求解的有_______________;可以用因式分解法求解的有_______________.①

②

⑦①

②

⑤

⑦随堂练习2．解方程：(1)(x－2)2＝(3x＋4)2；

(2)2x(x＋1)＝4x＋4.解：(1)移项，得(x－2)2-(3x＋4)2=0因式分解，得

(x-2+3x＋4)(x-2-3x-4)=0.4x＋2=0或-2x－6=0,(2)移项、合并同类项，得2x(x＋1)-4(x＋1)=0因式分解，得

(x＋1)(2x-4)=0.x＋1=0或2x－4=0,x1=-1，x2=

2.直接开平方法概念基本思路一元二次方程利用平方根的定义求方程的根的方法步骤关键要把方程化成x2=p(p≥0)或(x+n)2=p(p≥0).两个一元一次方程降次直接开平方法课堂小结概念步骤简记歌