近年统考题答案与提示

一.填空题（20A*6A的伴随矩阵，且rankA)4则rankA*

A

cos10012设Vx12

,

1)T|1

A4,-5,3,2,AE为正定必须大于数值_50000 010 001 0 00 00 1已知nA0000

0A1 1 01010010001

()n1 ()n23A1 0 0 0 0 二．选择题（20A,B是n阶方阵,下列等式中恒等的表达式是（D

(AB)2AB

(AB)1A1B1(C）AB|A||B| (D)(AB)*B*A*A为nA为正交矩阵的充分必要条件不是(DA的列向量构成单位正交基 (B)A的行向量构成单位正交基

A1AT

detA若VRnk,,,是VV Rm的一个k（D

12,k是V2的一组基,且mnkmkn向量组1,2,,k可以由向量组12,k12,k可以由向量组1,2,,k向量组12,k与向量组1,2,,k可以相互线性表示；12,k与向量组1,2,,k若12A的两个不同特征根,以下命题哪一个不成立(C)

1,2

12有可能是A的特征向量

1,212AA为n阶方阵,且rankA)kAXB的nk个线性无关解为1,2,,nk

AXB的通解为(D

c11c22cnknkc11c22cnknkcnk1nk1c1(1nk1)c2(2nk1)cnk(nknk1)c1(1nk1)c2(2nk1)cnk(nknk1)nk11nk1,2nk1,,nknk1为对应齐次方程：AX025A3A12

A1A*A1A*A1|A|A11A1212112

1 A1

A1 |A1 2

8|A 1 1 1 A

1

1A2An1 1 1 1 1

1

004000400400A2 11

1 1

11

10 100 0

220 0 22若nn2m,AnA2m(A2)m(22E)m22mE2n若nn2m1,AnA2m1(A2)mA(22E)mA22mA2n1 124)T在基111)T,011)T,11

(2,1,0,3)T,(1,3,2,4)T,(3,0,2,1)T,(2,2, 515). 利用分块矩阵方法,计算A

04 04 1 0

A0

AA1

4,A2

.1A

20 3/

11/

0 A1

A1

1/

1四.证明题(8分 设n维向量组1,2,,n和向量组1,2,,n有关123

问n维向量组1,2,,n和向量组12,n111 1011 1101 1110 1111 1011 1101 1110 1 111 (1,2,,n)(1,2,,n)

P 111111 11111111 1111 1011 000 01111nnnnn10111101111101111011 (n1110110 (n1)00000 1111 0000 n1)(1)n10P可逆 于是(,,,)(,)P 12,n可以互相线性表示,即等价,故1,2,,n和12,五.(8

x1

x3x4

x2

x2

x2

x2

0,123123

y22y25y2求参数

解:f的矩阵为A

y22y25y2知A

为1，2，5.由EA

2)(3)(3)0 AA2330于是2A0322 00对1,EA 2 1，对应特征向量1，单

0 0

0化 1,对

2，2EA 1 2

22 2

0

0 0量0，取

;对

5，A5E0 2

11

0 0

2

特征向量

，单位化

1

2 1

001212Q

112121212六.(8分 求线性方程 x1x2x3x4

3x4x

2x

x

1

2x2

xc10c2213 x 24 七.(6写出 0X 01

3 解:X

011 11

1 0 =

1 0 1

1上式中,对 1左乘初等矩阵 0,相当于对矩1

0

10 10 10 1交换第1,2两行,得矩阵 3,右乘初等矩阵101 01

001 001 010 10

1010101001 01相当于再对矩阵32,3 有:X=

(5A4A的特征根1234AA可以对角化.P64X1X2X3X401234的特征向量,X1,X2,X3,X4线性无关.PX1

11)APP

0000411P1AP

000A04 （3）已知向量组0,2,3)T,2,3,3)T 0

1

线性相关,求解:

线性相关det(121

)

可求出t154二.(8A00

1 0ABATB2 2解:ABATBAE)BAT1

1AE

10可逆,且(AE)11

200于是BA

10101AT5

5 5五.(8x12x2x3x44x522

3x3

x57x7x

2x5568(8

a(x2x2x2)

f为正定时参数a

a(x2x2x2)2x

A11

1a1a

11.aa1|AE 1

a1得特征值12a13a 1对12a

(a1)EA1 1

可得((a1)EAX0

X11,X2 1

1X11,2 1对3a

(a2)EA1 1

可得((a2)EA

0

X311 将1,2,X3

21 2,212

y1

2

(1,2,3)y2

x3

y3yf化为标准形:f(a1y2a1y f正定a10且a20a1(10A3(二重根)、4(一重根),(1,2,2)TA4A.1x1 A3Xx2x x3值对应的特征向量正交,则有(1X0,

x12x22x302 2

11,20

则1,2A30 1 A(1,1,2) 2 = 1 1 八.(10abax1x2x3x2bx3x x3bx

解:记A 3,A

3 131b 131b

detA1

3b(13a), (1).

b0,a3

时,detA

法则知方程组有惟一解 4

(2).

b0时,

310 20 20

1/ (3).

b0,a 时, 31

3 2r100

2bb当b127

rank(A)

23当b127

rank(A)2

3九．(10510A

A~

BA1~B设是非零n1向量,证明是nn矩阵T的特征向量.A~B

使得P1AP

AB

B1(P1AP)1P1

A1~B1

a20b20, n

nkT(b,b ,bn由(T)(Tk知为T的属于k 一.1.

2

rank(A)rank(AB) 00 2200600t

5.1,2,-二.1. 2. 3. 4. 5.1.AA*|A|E|A||A*||A|3|A*||A|2|AAT||AA1||E|P7ABAB有AE)B

3333

3 3 B(AE)1A

0

0

1 1

1a1(1a2(2ar(rb则:a11a22arra1a2arb)于是A(a11a22arra1a2arb)即(a1a2arb)A0.

A0,a1a2arb

a11a22arr又1,2

a1a2

0.b

故有1,2,,r,cossin

cos2007 t43

4.5.二1 2 3 4都 5三在基,,下的坐标为(xxx)T (,,)x 32x3x1x2x3xx

x3x122

ABA1(AE)BA1AEA1B1A(AE)B则B1AAA 11(45)(31)(3对AA

rank(A)1一个基1abababbbn

11()(由此得递推Dn1(ab0(ab0(abn

Dn1(ab0)(ab1

D2

b0 a

a(ab1Dn1(ab0(ab0k11k22krk11k22又k1k2