2023新教材高中数学第4章指数函数与对数函数4.4对数函数4.4.2对数函数的图象和性质教师用书新人教A版必修第一册

4.4.2对数函数的图象和性质1．会用描点法画出对数函数的简图．(重点)2．掌握对数函数的性质，会解决简单的与性质有关的问题．(重点、易错点)1．通过对数函数图象的绘制，提升数学抽象素养．2．借助对数函数的图象与性质的学习，提升直观想象、逻辑推理素养．分别求出对数函数y＝log2x在自变量取eq\f(1,8)，eq\f(1,4)，eq\f(1,2)，1，2，4，8时所对应的函数值(填写下表)，并由此猜测对数函数y＝log2x的定义域、值域、奇偶性、单调性，尝试说明理由．xeq\f(1,8)eq\f(1,4)eq\f(1,2)1248y＝log2x知识点1对数函数的图象和性质a的范围0<a<1a>1图象定义域(0，＋∞)值域R性质定点(1，0)，即x＝1时，y＝0单调性在(0，＋∞)上是减函数在(0，＋∞)上是增函数对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象的“上升”或“下降”与谁有关？[提示]底数a与1的关系决定了对数函数图象的升降．当a>1时，对数函数的图象“上升”；当0<a<1时，对数函数的图象“下降”．1．函数y＝logax的图象如图所示，则实数a的可能取值为()A．5B．eq\f(1,5)C．eq\f(1,e)D．eq\f(1,2)A[由题图可知，a>1，故选A．]2．函数f(x)＝loga(x＋1)的图象必经过定点________．(0，0)[由x＋1＝1得x＝0，∴f(x)的图象必过定点(0，0)．]知识点2反函数指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数．(1)互为反函数的两个函数图象关于直线y＝x对称．(2)反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域．3．(1)函数y＝log2x的反函数是________；(2)函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)的反函数是________．[答案](1)y＝2x(2)y＝logeq\s\do16(eq\f(1,2))x类型1对数函数的图象问题【例1】(1)如图，若C1，C2分别为函数y＝logax和y＝logbx的图象，则()A．0<a<b<1B．0<b<a<1C．a>b>1D．b>a>1(2)若函数y＝loga(x＋b)＋c(a>0，且a≠1)的图象恒过定点(3，2)，则实数b＝________，c＝________．(3)已知f(x)＝loga|x|(a>0，且a≠1)满足f(－5)＝1，试画出函数f(x)的图象．(1)B(2)－22[(1)结合图象可知0<a<1，0<b<1，又当logax＝logby＝1时，x＝a，y＝b，结合图知b<a，∴0<b<a<1．故选B．(2)由于函数图象恒过定点(3，2)，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(loga3＋b＝0，,c＝2，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3＋b＝1，,c＝2，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝－2，,c＝2.))](3)[解]因为f(－5)＝1，所以loga5＝1，即a＝5，故f(x)＝log5|x|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log5x，x>0，,log5－x，x<0.))所以函数y＝log5|x|的图象如图所示．[母题探究]把本例(3)改为f(x)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(log2x＋1))＋2，试作出其图象．[解]第一步：作y＝log2x的图象，如图(1)所示．(1)(2)第二步：将y＝log2x的图象沿x轴向左平移1个单位长度，得y＝log2(x＋1)的图象，如图(2)所示．第三步：将y＝log2(x＋1)的图象在x轴下方的部分作关于x轴的对称变换，得y＝|log2(x＋1)|的图象，如图(3)所示．第四步：将y＝|log2(x＋1)|的图象沿y轴向上平移2个单位长度，即得到所求的函数图象，如图(4)所示．(3)(4)函数图象的变换规律(1)一般地，函数y＝f(x±a)＋b(a，b为实数)的图象是由函数y＝f(x)的图象沿x轴向左或向右平移|a|个单位长度，再沿y轴向上或向下平移|b|个单位长度得到的．(2)含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的．一般地，y＝f(|x－a|)的图象是关于直线x＝a对称的轴对称图形；函数y＝|f(x)|的图象与y＝f(x)的图象在f(x)≥0的部分相同，在f(x)<0的部分关于x轴对称．[跟进训练]1．当a>1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图象为()ABCDC[∵a>1，∴0<eq\f(1,a)<1，∴y＝a－x是减函数，y＝logax是增函数，故选C．]类型2比较对数值的大小【例2】(对接教材P133例题)比较下列各组值的大小：(1)log5eq\f(3,4)与log5eq\f(4,3)；(2)logeq\s\do16(eq\f(1,3))2与logeq\s\do16(eq\f(1,5))2；(3)log23与log54．[解](1)法一(单调性法)：对数函数y＝log5x在(0，＋∞)上是增函数，而eq\f(3,4)<eq\f(4,3)，所以log5eq\f(3,4)<log5eq\f(4,3)．法二(中间值法)：因为log5eq\f(3,4)<0，log5eq\f(4,3)>0，所以log5eq\f(3,4)<log5eq\f(4,3)．(2)法一(单调性法)：由于logeq\s\do16(eq\f(1,3))2＝eq\f(1,log2\f(1,3))，logeq\s\do16(eq\f(1,5))2＝eq\f(1,log2\f(1,5))，又因对数函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，且eq\f(1,3)>eq\f(1,5)，所以0>log2eq\f(1,3)>log2eq\f(1,5)，所以eq\f(1,log2\f(1,3))<eq\f(1,log2\f(1,5))，所以logeq\s\do16(eq\f(1,3))2<logeq\s\do16(eq\f(1,5))2．法二(图象法)：如图，在同一坐标系中分别画出y＝logeq\s\do16(eq\f(1,3))x及y＝logeq\s\do16(eq\f(1,5))x的图象，由图易知：logeq\s\do16(eq\f(1,3))2<logeq\s\do16(eq\f(1,5))2．(3)取中间值1，因为log23>log22＝1＝log55>log54，所以log23>log54．比较对数值大小的常用方法(1)同底数的利用对数函数的单调性．(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化．(3)底数和真数都不同，找中间量．提醒：比较对数的大小时先利用性质比较出与0或1的大小．[跟进训练]2．比较下列各组值的大小：(1)logeq\s\do16(eq\f(2,3))0.5，logeq\s\do16(eq\f(2,3))0.6；(2)log1.51.6，log1.51.4；(3)log0.57，log0.67；(4)log3π，log20.8．[解](1)因为函数y＝logeq\s\do16(eq\f(2,3))x是减函数，且0.5<0.6，所以logeq\s\do16(eq\f(2,3))0.5>logeq\s\do16(eq\f(2,3))0.6．(2)因为函数y＝log1.5x是增函数，且1.6>1.4，所以log1.51.6>log1.51.4．(3)因为0>log70.6>log70.5，所以eq\f(1,log70.6)<eq\f(1,log70.5)，即log0.67<log0.57．(4)因为log3π>log31＝0，log20.8<log21＝0，所以log3π>log20.8．类型3解对数不等式【例3】已知函数f(x)＝loga(x－1)，g(x)＝loga(6－2x)(a＞0，且a≠1)．(1)求函数φ(x)＝f(x)＋g(x)的定义域；(2)试确定不等式f(x)≤g(x)中x的取值范围．结合对数函数的单调性，思考解对数不等式要注意哪些问题？[解](1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1>0，,6－2x>0，))解得1＜x＜3，∴函数φ(x)的定义域为{x|1＜x＜3}．(2)不等式f(x)≤g(x)，即为loga(x－1)≤loga(6－2x)，①当a＞1时，不等式等价于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1<x<3，,x－1≤6－2x，))解得1<x≤eq\f(7,3)；②当0＜a＜1时，不等式等价于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1<x<3，,x－1≥6－2x，))解得eq\f(7,3)≤x<3．综上可得，当a＞1时，不等式的解集为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(7,3)))；当0＜a＜1时，不等式的解集为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,3)，3))．常见的对数不等式的3种类型1．形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．2．形如logax＞b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解．3．形如logax＞logbx的不等式，可利用图象求解．[跟进训练]3．(1)已知logaeq\f(1,2)>1，其中a＞0且a≠1，求a的取值范围；(2)已知log0.7(2x)<log0.7(x－1)，求x的取值范围．[解](1)由logaeq\f(1,2)>1得logaeq\f(1,2)>logaa．①当a>1时，有a<eq\f(1,2)，此时无解．②当0<a<1时，有eq\f(1,2)<a，从而eq\f(1,2)<a<1．所以a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))．(2)因为函数y＝log0.7x在(0，＋∞)上单调递减，所以由log0.7(2x)<log0.7(x－1)得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x>0，,x－1>0，,2x>x－1，))解得x>1．即x的取值范围是(1，＋∞)．1．函数y＝loga(x－1)(0<a<1)的图象大致是()ABCDA[函数y＝loga(x－1)(0<a<1)的图象由y＝logax的图象向右平移一个单位得到．故选A．]2．函数y＝eq\r(logeq\s\do16(\f(1,3))2x－3)的定义域是()A．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞)) B．[2，＋∞)C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2)) D．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2))D[依题意0<2x－3≤1，解得eq\f(3,2)<x≤2，所以函数的定义域为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2))．故选D．]3．设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则()A．a>c>b B．b>c>aC．c>b>a D．c>a>bD[a＝log32<log33＝1；c＝log23>log22＝1，由对数函数的性质可知log52<log32，∴b<a<c．故选D．]4．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，其图象经过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3,2)，\f(2,3)))，则a＝________．eq\r(2)[由题意可知f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，由f(eq\r(3,2))＝eq\f(2,3)得logaeq\r(3,2)＝eq\f(2,3)，∴a＝eq\r(2)．]5．若lg(2x－4)≤1，则x的取值范围是________．{x|2<x≤7}[由题意可得lg(2x－4)≤lg10，∴0<2x－4≤10，即2<x≤7．]回顾本节知识，自主完成以下问题：1．如图，曲线C1，C2，C3，C4分别对应y＝logeq\s\do6(a1)x，y＝logeq\s\do6(a2)x，y＝logeq\s\do6(a3)x，y＝logeq\s\do6(a4)x的图象，你能指出a1，a2，a3，a4以及1的大小关系吗？[提示]作直线y＝1，它与各曲线C1，C2，C3，