(学案)5.2等差数列及其前n项和Word版含答案

第二节前和1．等念(1定义：①文字语言：从第2项．数.2(2)中：列aAb成等差是a＋b，其中A做ab等2中．2．等式22前．223．等质且则(3a为则aakakm…N为md差．若前项和列Sm，S2－Sm，S3－S2m，…也是等．1．巧(1为－a，ad.(2为－a＋d定．2．论偶－S奇S偶

aa-1-S奇S奇a≥0，m 1a＞0dm 1am＋1≤0

的数m得值Sm；a≤0，m若a1＜，m若a1am＋1≥0

的数m得值Sm.3．数≠0；d dd d若则于( )A3 B．4C．5 D6：A )A1 B．2C．3 D4：B243．(求前项和列5，7，37前和24＝_______．5答案：145：项列a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝_______．答案105现用从1960m空第1秒落4.90，落90m，那么经___秒面．：0-2-题型一等力[例析][例] (1)(2018·高考全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和若3S3＝S2＋S4a1＝2，则a5＝( )A－2 －0 C．0 ．2解析：设等差数列{an}的公差为d，由3S3＝S2＋S4， 222得33a1＋3×（3－1）d＝2a1＋2×（2－1）d＋4a1＋4×（4－1）d将a1 222得d＝－3，故a5＝a1＋(5－1)d＝2＋4×(－3)＝－10.：B(2)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为( )A1 B．2C．4 D82解析：a4＋a5＝a1＋3d＋a1＋4d＝24，S6＝6a1＋6×52

2a＋7d＝24，①1d＝48，联立6a1＋15d＝48，1①×－得6d＝24，∴d＝4.：C(3)已知等差数列{an}的各项都为整数，且a1＝－5，a3a4＝－1，则|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝( )A70 B．8C．51 D0解析：设等差数列{an}的公差为d，得d∈Z，-3-6222221122222 22因为a1＝－5，以a3a4＝(－5＋2d)(－5＋3d)＝－1，化简得6222221122222 222或d＝13(去)以an＝2n－7，所以|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝5＋3＋1＋1＋3＋…＋13＝9＋7×（1＋13）＝.：B法结列通法(1项a1差d，然后由通项公式或前n公组．(2前n量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就．[点练]1．已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和，若S8＝4S4，则a10＝( )A7 B19C．10 D2：为a1，则S8＝8a1＋8×（8－1）×1＝8a1＋28，S4＝4a1＋4×（4－1）×1＝4a1＋6，因为S8＝4S4，即8a1＋28＝16a1＋24，所以a1＝2则a10＝a1＋(10－1)·d＝2＋99.：B2．若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝S18，则S22于( )A0 B．2C－1 D－2：为d，由S4＝S18得4a1＋4×3d＝18a1＋18×17d，a1＝－21d，以S22＝22a1＋22×21d＝22×－21d＋21d＝0.：A-4-S有＋S有＋＝题型二明[例析]型1 法[例1] (2021·江苏南京模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn且满足an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，1a1＝2.11(1)求证：Sn差；(2)求a1：为an＝Sn－Sn－1(n≥2)，11又an＝－2Sn·Sn－1，所以Sn－1－Sn＝2Sn·Sn－1，又Sn≠0.因此Sn－Sn－1＝2(n≥2).故由等差111SS

S以11S

1＝a1＝2，2．1(2)由(知1n

1＝S1＋(n－1)d＝2＋(n－1)×2＝2n，11即Sn＝2n.11当n≥2有an＝－2Sn·Sn－1＝－2n（n－1），11＝2为a1＝2，1（1＝21以an －2n（n－1）（n≥2）.1型2 等差法例2] 已知等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn.若S3，S9，S6成等差数列，求证：a2，a8，a5成数．：由S3，S9，S6得S3＋S6＝2S9.若q＝1，则3a1＋6a1＝18a1，解得a1＝0，这与{an}是等比数列矛盾，所以q≠1，a1（1－q3）1－q

a1（1－q6）1－q

2a1（1－q9）1－q

得q3＋q6＝2q9.111为q≠0且q≠1，所以q3＝－2，a8＝a2q6＝4a2，a5＝a2q3＝－2a2，111-5-1，111223a111所以2a8＝a2＋a5，即a8－a2＝a5－a81，111223a111型3 法例3] (2020·高考全国卷Ⅲ节选)设数列{an}满足a1＝3an＋1＝3an－4n.计算a2a3猜想{an}的通项公式并加以证明．解析：a2＝5，a3＝7.猜想an＝2n＋1.得an＋1－(2n＋3)＝3[an－(2n＋1)]，an－(2n＋1)＝3[an－1－(2n－1)]，…，a2－5＝3(a1－3).因为a1＝3，所以an＝2n＋1.法结判定数列{an}是等差数列的常用方法(1意n∈N*，an＋1－an．用)(2意n≥2，n∈N*，满足2an＝an＋1＋an－1.(证明用)(3式an是n．(4前n前n式Sn是n为.醒．[组破]1在数列{an}中若a1＝1a2＝2

2an＋1

＝an＋an＋2(n∈N*)则该数列的通项为( )A．an＝nC．an＝n＋2

B．an＝n＋1D．an＝n：由2n＋1

＝an＋an＋2(n∈N*)可知数列an是．-6-aa首项为1＝，1＝2差＝1，1 2aa11an＝1＋(n1)·1＝an＝n.答案A111112．如果ab，c成列相ab，c解111一．abc为＝＋q且c，1111而a，b，c为yn＋q的．1111111故a，b，c不．111型三等用析]型1 质例] (1记Sn列{an}前n项若aa5＝24S6＝8则{an}为( )A1 B．2C．4 D82：S66（a1＋a）＝3(a1＋a6＝a3＋a4)＝4，2∴a3＋a＝6.又∵a＋a5＝4，∴(a4＋a5)－a3＋a4)8，∴2＝8∴＝.：C(2)已知{an为等差，1＋a3＋a5，a2a4＋6＝99则a20于( )A7 B．3C－1 D1：由{an及a1＋a＋a55，得3a35即a3＝35，-7-＝2由{an}是等差数列及a2＋a4＋a6＝99，得3a4＝99，即a4＝33＝2差d＝a4－a3＝－2，则a20＝a3＋(20－3)d＝35－34＝1.答案D型2 质例] (1)一个正项等差数列前n项的和为3前3n项的和为21则前2n为( )A8 B．2C．10 D6解析：∵{an}是等差数列，∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，即2(S2n－Sn)＝Sn＋(S3n－S2n).∵Sn＝3，S3n＝21，∴2(S2n－3)＝3＋21－S2n，解得S2n＝10.：C(2)(2018·高考全国卷Ⅱ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15.①求{an}的通项公式；②求Sn，并求Sn．解析：①设{an}的公差为d，由题意得3a1＋3d＝－15.由a1＝－7得d＝2，所以{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝2n－9.由得S a1＋ann

·n＝n2－8n＝(n－4)2－16，当n＝4时，Sn－.法结1．巧就．-8-d dd dmmS＝bb＝a3S5＝d dd dmmS＝bb＝a3S5＝果a＞＜0正或)项或)则者．果a＜0d＞或或则者．3：a≥0，a1>0d0am＋1≤0，a≤0，a1<0d0am＋1≥0，

值S；值Sm.[组破]·前为前为

2

，则a3＝( )3A8 B．59C．530 D31

b3＝T5

2018×513×54

＝.：D前为S若S96则a解析：S3，S－S3，S－S6，即97S9－S6，∴a7＋a＋a9S9－S627－＝5.案5为前为当取最大值则d为___．-9-22d＜0，解析当n＝8时Sn有a8＞0，a9＜0

d＜0，即7＋7＞0，7＋8＜07－1＜－8.7 7答案：－1 7研考回义本式1．(2019·高全国卷Ⅰ记Sn列{an}前n项和．已知S＝0a5＝则( )Aan＝2－5 B．a＝3－01C．S＝2n－8n DSn2n2－2n1：为a1，为d.a＋4＝5，1由S4＝，a554a1＋61由S

a－，1解d＝1以a－＋(n－)n－5，2Sn＝n·(－n（n1）2：A2．(2020·高考山东卷)将数列{n－1}与{3n－}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为_．：一法){2－为3，57，，1，3列3n－}的为，，70，3，…为，7，3…是为1为6则an＝＋(－＝6n5，前n为S n（a1an）＝2＝2

＝n（16n5）＝3n－2n.二(法)令n＝2n1cm3－b＝cm则2n1＝－2即m＝n＋1m令an＝n－.-10-22．答案：3n2－2n3(2020·高考全国卷Ⅱ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a1＝－2a2＋a6＝2则S0＝_______．解析：设等差数列{an}的公差为d，则a2＋a6＝2a1＋6d＝2.为a1＝－2，所以d＝1，2以S10＝10×(－2)0×9×1＝2.2：5S54．(2019·高考全国卷Ⅲ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1≠0，a2＝3a1，则S10S5____.解析由a1≠0，a2＝3a1，可得d＝2a1，2以S1010a110×9d＝100a1，2S5＝5a1＋5×4：4养华

S1d＝25a，所以S10.5S1学化1盘十题把96斤给8照年龄从大到