2022-2023学年山西省大同市高一（下）期中数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2022-2023学年山西省大同市高一（下）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.若z=i−2，则A.−1−2i B.−1+2.已知A(1,2)，B(2,−8)，点A.(1,−2) B.(23.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为，且a=1，c=A.60°或120° B.30°或90° C.60°或904.已知a，b，c均为非零向量，λ，μ∈R，则下面说法正确的是(

)A.若a⋅b=a⋅c，则一定有b=c

B.对任意c，一定存在λ，μ，使c=λa+μ5.根据斜二测画法，一个水平放置的三角形直观图是如图所示等腰直角三角形且

O′A′=2，那么原A.4+22

B.3+26.△ABC是边长为2的正三角形，点D是BC的中点，AEA.−3 B.−2 C.−17.在复数范围内，方程x2−x+1=0的两根分别为zA.−2i B.2i C.28.已知函数f(x)=sinx+3cosx(x∈A.π6 B.π3 C.5π二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且A=π3，c=A.1.5 B.1.6 C.1.7 D.1.810.若复数z满足：z(1−i)=i2013(其中i是虚数单位A.z的虚部是−12 B.z−=−111.若a，b是平面内一组不共线的向量，则下列四组向量中，可以作为平面内所有向量的一组基底的是(

)A.a与a+b B.a−b与b−a

C.a−12.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足(a+cA.此三角形为锐角三角形 B.△ABC的外接圆半径为2

C.△ABC的面积最小值为三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.用一个平面截一个半径为2的球，得一个截面圆，若球心到该截面圆圆心的距离为1，则该截面圆的面积为____．14.与向量a=(3,4)15.海伦公式是利用三角形的三条边的边长a，b，c直接求三角形面积S的公式，表达式为：S=p(p−a)(p−b)(p−c),p=a+b+16.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，AB⋅AC=b2+c2−a24cosA四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题10.0分)

已知复数z=(m2−m−6)+(m2−3m)i，其中m∈18.(本小题12.0分)

已知a=(−2,1)，b=(sin(π+θ),sin19.(本小题12.0分)

在△ABC中，AB=2，AC=3，且满足8cos2A+8cosA+20.(本小题12.0分)

设a>0，b>0，且ab=a+b．

(121.(本小题12.0分)

已知|m|=1，|n|=2，且m−n与m垂直．

(1)求m在m+n22.(本小题12.0分)

已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2sinA−sinB=tan答案和解析1.【答案】A

【解析】解：z=i−2，

则z2+2z=(2.【答案】C

【解析】解：设P(x,y)，

A(1,2)，B(2,−8)，

则AB=(1,−10)，AP=(x3.【答案】B

【解析】解：因为a=1，c=3，A=π6，

由余弦定理a=b2+c2−2bccosA，可得12=b2+(3)2−2b×3×32，

所以可得b4.【答案】D

【解析】解：A．a⋅b=a⋅c时，a⋅(b−c)=0，

∴a⊥(b−c)，b−c可以不为0，∴可能b≠c，A错误；

B.需满足a,b不共线，B错误；

C.当a⋅b≠0,a⋅c≠0且b,c不共线时，(a⋅b)c≠(a⋅c)b，C错误；

D.当a=b时，a在b上的投影向量和5.【答案】A

【解析】解：根据平面图形的斜二测画法，还原出原平面图形，如图所示：

△ABO中，OB=O′B′=2cosπ4=1，OA=26.【答案】C

【解析】解：∵△ABC是边长为2的正三角形，点D是BC的中点，AE=2EC，

如图：

∴AD⋅BE7.【答案】D

【解析】解：x2−x+1=0的两根分别为z1，z2，

则z1+z2=1，8.【答案】A

【解析】解：函数f(x)=sinx+3cosx(x∈R)=2sin(x+π3)，

先将y=f(x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，

可得9.【答案】AD【解析】解：过B作BD⊥AC于D，

则h=BD=ABsinA=<3×sinπ3=3×32=32=1.5，

当a=10.【答案】CD【解析】解：∵i2013=i4×503+1=i，∴z=i1−i=i(1+i)(1−i)(1+i)=−1+i2=−12+111.【答案】AC【解析】解：因为向量a，b不共线，

对于A选项，假设a，a+b共线，可设a+b=ma，m∈R，

可得出b=(m−1)a，与已知条件矛盾，

所以a，a+b不共线，可作为平面内所有向量的一组基底；

对于B选项，因为a−b=−(b−a)，

所以a−b与b−a共线，不能作基底；

对于C选项，假设a−2b与2a+b共线，12.【答案】BD【解析】解：因为(a+c−b)(a+b+c)=ac，所以a2+2ac+c2−b2=ac，即b2=a2+c2+ac，

因为b2=a2+c2−2accosB，所以cosB=−13.【答案】3π【解析】【分析】

本题考查球的性质、球的体积、点到平面的距离，属于基础题．

先求截面圆的半径，然后求出截面圆的面积即可得．

【解答】

解：∵球半径为2，球心到该截面圆圆心的距离为1，

∴截面圆的半径是22−12=3，

∴14.【答案】(45,【解析】【分析】本题考查单位向量的求法，考查了向量垂直的坐标表示，属于基础题．

设向量的坐标为b=(x,y)，根据题意，b是单位向量，且与向量【解答】解：设向量b=(x,y)，

根据题意，有x2+y2=

15.【答案】3【解析】解：因为sinA：sinB：sinC=5：6：7，所以a：b：c=5：6：7，

因为△ABC周长为9，即a+b+c=9，所以a16.【答案】2336【解析】解：根据余弦定理，b2+c2−a24cosA=bc2，且AB⋅AC=bccosA，

∴bccosA=bc2，cosA=12，

又c=4，b=3，点O为17.【答案】解：(1)由z是纯虚数，则m2−m−6=(m−3)(m+2)=【解析】(1)由纯虚数定义列方程求参数；

(2)18.【答案】解：a=(−2,1)，b=(sin(π+θ),sin(π2+θ))=(−s【解析】利用诱导公式化简b．

(1)由向量共线的坐标运算列式求得tanθ，再由同角三角函数基本关系式化弦为切求解；

(219.【答案】解：由8cos2A+8cosA+9=0，得8(2cos2A−1)+8cosA+9=0，

即16cos2A+8cosA+1=0，解得cosA=−14，

所以BC2=AB2+AC2−2AB×AC×cosA=2【解析】(1)由二倍角余弦公式和余弦定理解得sinA=15420.【答案】解：(1)因为a>0，b>0，所以ab=a+b≥2ab，

得(ab)2−2ab≥0，即ab≥2，所以ab≥4，

【解析】(1)直接利用基本不等式即可求最值；(2)将已知关系式变形，利用“121.【答案】解：(1)因为(m−n)⊥m，

所以(m−n)⋅m=|m|2−m⋅n=1−m⋅n=