2023学年完整公开课版反函数

讲授：进贤县李渡中学胡明亮课题：反函数－3－1…3210－2…－6－2…6420－4…一、复习与提问什么叫函数？简言之，函数就是非空数集到非空数集上的映射。[例1]画出函数y=2x的定义域到值域上的映射示意图，并求f(－2)与f(3)的值。解：f(－2)=－4f(3)=6易知f:A→B为一一映射二、探讨问题(1)若f(x1)=－4,f(x2)=6,则x1=____，x2=______－23AB分析：推广：已知y求x,x=y/2,且对任一y∈B，有唯一

x∈A与之对应，所以，B→A，原“路”返回即在法则g:y→x=y/2下也是映射。

X=y/2表示x是y函数。(2)比较函数y=2x与x=y/2的关系。三要素比较:我们称x=y/2为y=2x的反函数。由2x1=－4,2x2=6即得①自变量与函数值对调，也就是定义域与值域对调。②法则互逆。反函数1、反函数定义2、反函数求法(1)定义：一般地，函数y=f(x)(x∈A)中，设它的值域为C，由y=f(x)解得x=φ(y)，如果对于y在C中的任何一个值，通过x=φ(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x=φ(y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数。这样的函数x=φ(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数。记作x=f－1(y)阅读课本第60页，然后回答下列问题(1)反函数定义；(2)反函数与原函数的定义域与值域关系如何？(3)任何函数都有反函数吗？举例说明。(4)一般地，反函数如何表示？

简言之，反函数就是以原函数的值域为定义域，逆法则为法则，定义域为值域的函数。显然，函数y=2x与x=y/2互为反函数，称其一为原函数，另一为反函数。习惯上,改写为y=f－1(x)(x∈C)定义域值域y=f(x)ABy=f－1(x)BA也就是，y=f(x)中的x、y分别与y=f－1(x)中的y和x意义相同。如：若f(－2)=－4,则f－1(－4)=－2不一定，如y=x2

图象：

若y=f(x)有反函数，则反函数为x=f－1(y),习惯上写为y=f－1(x)

注意:f－1(x)是一个完整的符号，不是f或f(x)的负一次方，是为了能体现与f(x)的联系与区别而设计的一个法则符号。(2)反函数与原函数的定义域与值域关系如何？(3)任何函数都有反函数吗？举例说明。(4)一般地，反函数如何表示？－224oyx三、举例。[例2]求下列函数的反函数：y=3x－1(x∈R)

注意事项：由(2)知，x∈R，y≥0,而原函数中x≥0,Y≥1，反函数定义域不是原函数值域，值域不是原函数定义域，因此(2)不是原函数的反函数。为此，求反函数解析式后，一定要写明定义域。也就意味着要先求原函数的值域。改进：特例：由(3)知，某些反函数与原函数是同一函数，即为它本身。四、归纳步骤五、课堂训练(1)若函数,则它的反函数是（）A、y=x2+1(x∈R)B、y=x2+1(x>0)C、y=x2+1(x≤0)D、y=－x2+1（x≤0）分析：x≥1,y≤0分别为反函数的值域和定义域，再解无理方程易知选C。(1)求f(x)值域(2)由y=f(x)解出x=f－1(y)(3)将x、y互换，得到y=f－1(x)并写明定义域。(2)已知f(x)=2x+1,则f－1[f(x)]=()A、(x+1)/2B、xC、2/(x－1)D、1/(2x+1)[分析]方法一：先求f－1(x),再求f－1[f(x)]方法二：由定义域与值域的关系，f(x)即为y，所以f－1(y)=x选B。(3)已知f(x)=x2－1(x≤－2)，则f－1(4)=________[分析]方法一：先求f－1(x),再求f－1(4)方法二：应用定义域与值域一一对应关系，4即为f(x)的函数值，令x2－1=4，解得(4)已知f(x)=1/x(x≠0)，则f－1(x+1)=________注：f－1(x+1)与f(x+1)解析意义一样，即由f(x)→f(x+1)

由f－1(x)→f－1(x+1)，而不是由f(x+1)→f－1(x+1)六、小结(1)反函数定义七、作业课本第64页习题1(2)(4)(6)(8),3易得