山东省聊城市贾寨乡中学高二数学理下学期期末试题含解析

山东省聊城市贾寨乡中学高二数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6＋a2a9＝18，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值为()A．12

B．10

C．8

D．2＋log35参考答案：B2.已知直线a，b，平面α，β，且a⊥α，b?β，则“a⊥b”是“α∥β”的（） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 参考答案：B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【专题】简易逻辑． 【分析】根据题意，分两步来判断：①分析当α∥β时，a⊥b是否成立，有线面垂直的性质，可得其是真命题， ②分析当a⊥b时，α∥β是否成立，举出反例可得其是假命题，综合①②可得答案． 【解答】解：根据题意，分两步来判断： ①当α∥β时， ∵a⊥α，且α∥β， ∴a⊥β，又∵b?β， ∴a⊥b， 则a⊥b是α∥β的必要条件， ②若a⊥b，不一定α∥β， 当α∩β=a时，又由a⊥α，则a⊥b，但此时α∥β不成立， 即a⊥b不是α∥β的充分条件， 则a⊥b是α∥β的必要不充分条件， 故选B． 【点评】本题考查充分必要条件的判断，涉及线面垂直的性质的运用，解题的关键要掌握线面垂直的性质． 3.已知，，，…，依此规律可以得到的第n个式子为（

）A.B.C.D.参考答案：D【分析】根据已知中的等式：，我们分析等式左边数的变化规律及等式两边数的关系，归纳推断后，即可得到答案．【详解】观察已知中等式：，，，…，则第n个等式左侧第一项为n，且共有2n-1项，则最后一项为：，据此可得第n个式子为：故选：D．【点睛】本题考查归纳推理，解题的关键是通过观察分析归纳各数的关系，考查学生的观察分析和归纳能力，属中档题．

4.已知集合P={x|x2-2x≥0}，Q={x|1＜x≤2}，则（?RP）∩Q=（）A.[0,1) B.(0,2] C.(1,2) D.[1,2]参考答案：C【分析】先化简集合A，再求，进而求.【详解】x（x-2）≥0，解得：x≤0或x≥2，即P=（-∞，0]∪[2，+∞）由题意得，=（0,2），∴，故选C.【点睛】本题考查的是有关集合的运算的问题，在解题的过程中，要先化简集合，明确集合的运算法则，进而求得结果．5.一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm，则球的表面积是（）A． B．

C． D．参考答案：B6.在△ABC中，若acosB=bcosA，则△ABC的形状一定是（）A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形参考答案：D考点;两角和与差的正弦函数；正弦定理的应用．专题;计算题．分析;应用正弦定理和已知条件可得，进而得到sin（A﹣B）=0，故有A﹣B=0，得到△ABC为等腰三角形．解答;解：∵在△ABC中，acosB=bcosA，∴，又由正弦定理可得，∴，sinAcosB﹣cosAsinB=0，sin（A﹣B）=0．由﹣π＜A﹣B＜π得，A﹣B=0，故△ABC为等腰三角形，故选D．点评;本题考查正弦定理的应用，根据三角函数值求角的大小，推出sin（A﹣B）=0是解题的关键．7.已知，则＝

（）A

B.

C.

D.

参考答案：A8.若平面向量的夹角为，且，则(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：D9.三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=1，PA=，则该三棱锥外接球的表面积为（）A．5π B．π C．20π D．4π参考答案：A【考点】球的体积和表面积．【分析】根据题意，证出BC⊥平面PAC，PB是三棱锥P﹣ABC的外接球直径．利用勾股定理结合题中数据算出PB=，得外接球半径R=，从而得到所求外接球的表面积【解答】解：PA⊥平面ABC，AC⊥BC，∴BC⊥平面PAC，PB是三棱锥P﹣ABC的外接球直径；∵Rt△PBA中，AB=，PA=∴PB=，可得外接球半径R=PB=∴外接球的表面积S=4πR2=5π故选A．10.有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线;已知直线平面，直线平面，直线∥平面，则直线∥直线”的结论显然是错误的，这是因为(

)

A.大前提错误

B.小前提错误

C.推理形式错误

D.非以上错误参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在约束条件下，目标函数的最大值为_________.参考答案：提示：点到直线x-y+4=0的距离为,有约束条件知的最大值为5。12.若执行如下图所示的框图，输入x1＝1，x2＝2，x3＝4，x4＝8，则输出的数等于________．参考答案：13.如果分别是双曲线的左、右焦点，AB是双曲线左支上过点F1的弦，且，则的周长是___________．参考答案：28略14.有下列关系：(1)名师出高徒；(2)球的体积与该球的半径之间的关系；(3)苹果的产量与气候之间的关系；(4)森林中的同一种树，其断面直径与高度之间的关系；(5)学生与他（她）的学号之间的关系；(6)乌鸦叫,没好兆；

其中，具有相关关系的是______________参考答案：（1）（3）（4）15.已知函数对于任意的,有如下条件：①②；③④.其中能使恒成立的条件序号是_______.参考答案：①④略16.某几何体的三视图如图所示，则它的侧面积是

．参考答案：17.曲线y=﹣5ex+3在点（0，﹣2）处的切线方程为．参考答案：5x+y+2=0．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】利用导数的几何意义可得切线的斜率即可．【解答】解：y′=﹣5ex，∴y′|x=0=﹣5．因此所求的切线方程为：y+2=﹣5x，即5x+y+2=0．故答案为：5x+y+2=0．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆E：+=1的右焦点为F（c，0）且a＞b＞c＞0，设短轴的两端点为D，H，原点O到直线DF的距离为，过原点和x轴不重合的直线与椭圆E相交于C，G两点，且||+||=4．（1）求椭圆E的方程；（2）设O为坐标原点，过点P（0，1）的动直线与椭圆E交于A，B两点，是否存在常数λ，使得?+λ?为定值？求λ的值；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）根据椭圆的定义，则a=2，由bc=，a2=b2+c2=4，由a＞b＞c＞0，即可求得b和c的值，即可求得椭圆方程；（2）当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+1，代入椭圆方程，利用根与系数的关系、向量数量积运算性质即可得出定值．当直线AB的斜率不存在时，则?+λ?=?+2?=﹣3﹣4=﹣7成立．【解答】解：（1）由椭圆的定义及对称性可知：||+||=4．则2a=4，a=2，由题意，O到直线DF的距离为，则=，则bc=，又a2=b2+c2=4，由a＞b＞c＞0，则b=，c=1，∴椭圆的标准方程：；（2）当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+1，A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）．联立，得（4k2+3）x2+8kx﹣8=0．其判别式△＞0，x1+x2=﹣，x1x2=﹣．从而?+λ?=x1x2+y1y2+λ[x1x2+（y1﹣1）（y2﹣1）]，=（1+λ）（1+k2）x1x2+k（x1+x2）+1==﹣2λ﹣3，当λ=2时，﹣2λ﹣3=﹣7，即?+λ?=﹣7为定值．当直线AB斜率不存在时，直线AB即为直线CD，此时?+λ?=?+2?=﹣3﹣4=﹣7，故存在常数λ=2，使得?+λ?为定值﹣7．19.某厂家拟在“五一”节举行大型促销活动，经测算某产品销售价格x（单位：元/件）与每日销售量y（单位：万件）满足关系式y=+2（x﹣5）2，其中2＜x＜5，a为常数，已知销售价格为3元时，每日销售量10万件．（1）求a的值；（2）若该商品的成本为2元/件，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．参考答案：【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（1）由f（3）=10代入函数的解析式，解关于a的方程，可得a值；（2）商场每日销售该商品所获得的利润=每日的销售量×销售该商品的单利润，可得日销售量的利润函数为关于x的三次多项式函数，再用求导数的方法讨论函数的单调性，得出函数的极大值点，从而得出最大值对应的x值．【解答】解：（1）因为x=3时，y=10，所以a+8=10，故a=2；（2）由（1）可知，该商品每日的销售量y=+2（x﹣2）2，所以商场每日销售该商品所获得的利润为f（x）=（x﹣2）[+2（x﹣5）2]=2+2（x﹣2）（x﹣5）2，从而，f′（x）=6（x﹣5）（x﹣3），于是，当x变化时，f（x）、f′（x）的变化情况如下表：x（2，3）3（3，5）f'（x）+0﹣f（x）单调递增极大值10单调递减由上表可得，x=3是函数f（x）在区间（2，5）内的极大值点，也是最大值点．所以，当x=3时，函数f（x）取得最大值，且最大值等于10，答：当销售价格为3元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．20.如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，DD1的中点．（I）证明：平面AED∥平面B1FC1；（II）在AE上求一点M，使得A1M⊥平面DAE．参考答案：【考点】直线与平面垂直的判定；平面与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）以点A为原点，以AB、AD、AA1为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，求出平面AED和平面B1FC1的法向量，利用向量共线证明两平面平行；（Ⅱ）设=λ，利用A1M⊥平面DAE，得出⊥，由数量积为0求出λ的值即可．【解答】解：（Ⅰ）证明：建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz，不妨设正方体的棱长为2，则A（0，0，0），E（2，0，1），D（0，2，0），F（0，2，1），B1（2，0，2），C1（2，2，2）；设平面AED的法向量为=（x1，y1，z1），则∴令x1=1，得=（1，0，2），同理可得平面B1FC1的法向量=（1，0，2）；∴平面AED∥平面B1FC1；（Ⅱ）由于点M在AE上，∴可设=λ=λ（2，0，1）=（2λ，0，λ），可得M（2λ，0，λ），于是=（2λ，0，λ﹣2）；要使A1M⊥平面DAE，需A1M⊥AE，∴?=（2λ，0，λ﹣2）?（2，0，1）=5λ﹣2=0，解得λ=；故当AM=AE时，A1M⊥平面DAE．【点评】本题考查了空间中的平行于垂直关系的应用问题，解题时利用空间向量进行解答，是综合性题目．21.（本小题满分12分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学在某次数学测验中的成绩，甲组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示.（Ⅰ）如果甲组同学与乙组同学的平均成绩一样，求X及甲组同学数学成绩的方差；（Ⅱ）如果X=7，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名，求这两名同学的数学成绩之和大于180的概率.（注：方差其中）参考答案：（I）乙组同学的平均成绩为，甲组同学的平均成绩为90，[学。所以，得X=9

…………………3分甲组同学数学成绩的方差为

……………

6分(II)设甲组成绩为86,87,91,94的同学分别为乙组成绩为87,90,90,93的同学分别为则所有的事件构成的基本事件空间为：共16个基本事件

.……9分设事件“这两名同学的数学成绩之和大于180”，则事件包含的基本事件的空间为{共7个基本事件，

……10分∴所以这两名同学的数学成绩之和大于180的概率为

.…………12分22.在△ABC中，已知AC=3，三个内角A，B，C成等差数列．（1）若cosC=，求AB；

（2）求△ABC的面积的最大值．参考答案：【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【分析】（1）由三个角成等差数列，利用等差数列的性质及内角和定理求出B的度数，根据cosC的值求出sinC的值，再