湖南省常德市津德雅中学2021-2022学年高三数学理期末试卷含解析

湖南省常德市津德雅中学2021-2022学年高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知展开式的第7项为，则实数x的值是（）A．B．-3C．D．4参考答案：答案：A2.已知函数f（x）＝Asin（2x＋）的部分图象如图所示，则f（0）＝A．－

B．－1

C．－

D．－参考答案：B略3.当时，函数在同一坐标系内的大致图象是

（

）参考答案：A略4.若，则直线与轴、轴围成的三角形的面积小于的概率是A.

B.

C.

D.参考答案：C略5.已知函数的零点为，的零点为，，可以是（

）．A． B． C． D．参考答案：D∵，，，，∴．项．的零点为，不满足；项．函数的零点为，不满足；C项．函数的零点为，不满足；D项．函数的零点为，满足．故选．6.设是两个不同的平面，是直线且．则“”是“”的（

）．（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充要条件 （D）既不充分又不必要条件参考答案：A7.函数f（x）=cos（x+）+2sinsin（x+）的最大值是（）A．1 B．sin C．2sin D．参考答案：A【考点】三角函数的最值．【分析】由三角函数公式整体可得f（x）=cosx，可得函数的最大值为1．【解答】解：由三角函数公式可得f（x）=cos（x+）+2sinsin（x+）=cos[（x+）+]+2sinsin（x+）=cos（x+）cos﹣sin（x+）sin+2sinsin（x+）=cos（x+）cos+sin（x+）sin=cos[（x+）﹣]=cosx，∴函数的最大值为1．故选：A．8.图是一个算法的程序框图，该算法输出的结果是(

) A． B． C． D．参考答案：C考点：程序框图．专题：阅读型．分析：i=1，满足条件i＜4，执行循环体，依此类推，当i=4，m=3，n=++，不满足条件i＜4，退出循环体，最后利用裂项求和法求出n的值即可．解答： 解：i=1，满足条件i＜4，执行循环体；i=2，m=1，n=，满足条件i＜4，执行循环体；i=3，m=2，n=+，满足条件i＜4，执行循环体；i=4，m=3，n=++，不满足条件i＜4，退出循环体，最后输出n=++=1﹣=故选：C点评：本题主要考查了当型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断．算法和程序框图是新课标新增的内容，在近两年的新课标地区2015届高考都考查到了，这启示我们要给予高度重视，属于基础题．9.设x,y满足约束条件，则的最大值为（

）A.10

B.8

C.3

D.2参考答案：B

10.用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值。设

(x0),则的最大值为（

）（A）4

（B）5

（C）6

（D）7参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.定义在R上的偶函数满足：

①对任意都有成立；

②；

③当时，都有．

若方程在区间上恰有3个不同实根，则实数的取值范围是

。参考答案：12.有下列各式：，，，……则按此规律可猜想此类不等式的一般形式为：

．参考答案：（）13.椭圆的左焦点为，直线与椭圆相交于点，当的周长最大时，的面积是______________.参考答案：考点：椭圆的定义和几何性质．14.若单位向量满足，则向量的夹角的余弦值为．参考答案：【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】设向量，的夹角为θ，根据向量的数量积公式计算即可．【解答】解：∵，∴，∵为单位向量，即，∴4﹣4cosθ+1=2，∴．故答案为：．15.已知α，β∈（，π），sin（α+β）=﹣，sin（β﹣）=，则cos（α+）=．参考答案：﹣【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】由已知可求α+β，β﹣的范围，利用同角三角函数基本关系式可求cos（α+β），cos（β﹣）的值，由cos（α+）=cos[（α+β）﹣（β﹣）]利用两角差的余弦函数公式即可计算得解．【解答】解：∵α，β∈（，π），α+β∈（，2π），β﹣∈（，），∴cos（α+β）==，cos（β﹣）=﹣=﹣，∵cos（α+）=cos[（α+β）﹣（β﹣）]=cos（α+β）cos（β﹣）+sin（α+β）sin（β﹣）=×（﹣）+（﹣）×=﹣．故答案为：﹣．16.已知，，则的值为

．参考答案：17.若不等式的解集为区间,且,则.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，公园有一块边长为2的等边△ABC的边角地，现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上.(Ⅰ）设AD=x(x0),ED=y，求用x表示y的函数关系式，并注明函数的定义域；(Ⅱ）如果DE是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE的位置应在哪里？如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的位置又应在哪里？请给予证明.参考答案：（Ⅰ）在△ADE中，由余弦定理得：

，?

又.?

把?代入?得，

∴

∵

∴

即函数的定义域为.(Ⅱ）如果DE是水管，则，

当且仅当，即时“=”成立，故DEBC,且DE=.

如果DE是参观线路，记，则

∴函数在上递减，在上递增

故.

∴.

即DE为AB中线或AC中线时，DE最长.19.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2α﹣4cosα=0．已知直线l的参数方程为（为参数），点M的直角坐标为.（1）求直线l和曲线C的普通方程；（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，求.

参考答案：（1）∵ρsin2α﹣2cosα=0，∴ρ2sin2α=4ρcosα，∴曲线C的直角坐标方程为y2=4x．由消去，得.∴直线l的直角坐标方程为．.................................................5分（2）点M（1，0）在直线l上，设直线l的参数方程（t为参数），A，B对应的参数为t1，t2．将l的参数方程代入y2=4x，得.于是，.∴.

.................................................10分20.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的短轴的一个顶点与两个焦点构成正三角形，且该三角形的面积为．（1）求椭圆C的方程；（2）设F1，F2是椭圆C的左右焦点，若椭圆C的一个内接平行四边形的一组对边过点F1和F2，求这个平行四边形的面积最大值．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）由椭圆的短轴的一个顶点与两个焦点构成正三角形，且该三角形的面积为，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．（2）设过椭圆右焦点F2的直线l：x=ty+1与椭圆交于A，B两点，由，得：（3t2+4）y2+6ty﹣9=0，由此利用韦达定理、弦长公式、平行四边形面积、函数单调性，能求出平行四边形面积的最大值．【解答】20．（本小题满分12分）解：（1）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的短轴的一个顶点与两个焦点构成正三角形，且该三角形的面积为，∴依题意，解得a=2，b=，c=1，∴椭圆C的方程为：．…（2）设过椭圆右焦点F2的直线l：x=ty+1与椭圆交于A，B两点，则，整理，得：（3t2+4）y2+6ty﹣9=0，由韦达定理，得：，，∴|y1﹣y2|===，∴==，椭圆C的内接平行四边形面积为S=4S△OAB=，令m=≥1，则S=f（m）==，注意到S=f（m）在[1，+∞）上单调递减，∴Smax=f（1）=6，当且仅当m=1，即t=0时等号成立．故这个平行四边形面积的最大值为6．…21.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数.（I）当时，求不等式的解集；（II）若不等式对任意实数x恒成立，求m的取值范围.参考答案：解：（I）当时，即，所以或或…………………4分解得不等式的解集为.…………………5分（Ⅱ）因为＝由题意得，则，……………8分解得,即的取值范围是.…………10分

22.(12分）如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°,且AD=2BC=2CD,PA=PB=PD.(I)求证:平面PAD丄平面ABCD；(II)设∠PAD=45°，求二面角B-PD-C的余弦