初中数学二次函数经典综合大题练习卷

初中数学必考二次函数专题训练

1、如图9(1),在平面直角坐标系中，抛物线丁=&-经过A(.1,0)、B(0,3)两点，与x轴交

于另一点C,顶点为D.

(1)求该抛物线的解析式及点C、D的坐标；

(2)经过点B、D两点的直线与x轴交于点E,若点F是抛物线上一点，以A、B、E、F为顶点的四边形是平行

四边形，求点F的坐标；

(3)如图9(2)P(2,3)是抛物线上的点，Q是直线AP上方的抛物线上一动点，求4APQ的最大面积和此时

Q点的坐标.

2、随着我市近几年城市园林绿化建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高。某园林专业户计划投资种植花卉

及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润%与投资成本x成正比例关系，如图①所示；种植花卉的利润

及与投资成本x成二次函数关系，如图②所示(注：利润与投资成本的单位：万元)

图①图②

(1)分别求出利润必与现关于投资量x的函数关系式；

(2)如果这位专业户计划以8万元资金投入种植花卉和树木，

请求出他所获得的总利润Z与投入种植花卉的投资量x之间的函

数关系式，并回答他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是

3、如图，尸为正方形月B⑵的对称中心，'3),，0),直线交四于曾，DC于点H从原点0

出发沿x轴的正半轴方向以1个单位每秒速度运动，同时，点R从0出发沿方向以艰个单位每秒速度运

动，运动时间为二求：

(1)C的坐标为________________________________

(2)当t为何值时，△和。与△DM?相似?

（3）求△HCR的面积S与t的函数关系式；并求以4'B'C'R为顶点的四边形是梯形时力的值及S的最大值.

4、如图①，正方形ABCD的顶点A,B的坐标分别为（°,°），（&中,顶点C,D在第一象限.点P从点A出发，沿

正方形按逆时针方向匀速运动，同时，点Q从点E（4,0）出发，沿x轴正方向以相同速度运动.当点P到达点C

时，P,Q两点同时停止运动，设运动的时间为t秒.

（1）求正方形ABCD的边长.

（2）当点P在AB边上运动时，△OPQ的面积S（平方单位）与时间t（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分

（如图②所示），求P,Q两点的运动速度.

（3）求（2）中面积S（平方单位）与时间t（秒）的函数关系式及面积S取最大值时点尸的坐标.

（4）若点P,Q保持（2）中的速度不变，则点P沿着AB边运动时，N0PQ的大小随着时间Z的增大而增大；沿

着BC边运动时，NOPQ的大小随着时间Z的增大而减小.当点尸沿着这两边运动时，使N0PQ=90°的点尸有—

个.

5、如图，在梯形如B8中，DCIIAB,ZA=90°,功=6厘米，DC=4厘米，的坡度i=3：4,动点产

从乂出发以2厘米/秒的速度沿方向向点B运动，动点Q从点B出发以3厘米/秒的速度沿BTC—口方

向向点Q运动，两个动点同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止.设动点运动的时间

为Z秒.

（1）求边的长；

（2）当［为何值时，FC与RQ相互平分；

（3）连结尸。，设△上5。的面积为"探求丁与Z的函数关系式，求Z为何值时，丁有最大值？最大值是多少？

1

2c,y=-x-a

6、已知抛物线丁=/-2工+&(。<0)与y轴相交于点4,顶点为〃直线2分别与工轴，丁轴

相交于尻C两点，并且与直线期相交于点

⑴填空：试用含"的代数式分别表示点肠与"的坐标，则加('%以，).

⑵如图，将△泌C沿丁轴翻折，若点N的对应点儿'恰好落在抛物线上，NN'与x轴交于点Z),连结8,

求a的值和四边形的面积；

(3)在抛物线丁=/-2*+&(a<0)上是否存在一点尸，使得以尸，A,C,M为顶点的四边形是平行四边

形？若存在，求出尸点的坐标；若不存在，试说明理由.

7、已知抛物线y=ax?+bx+c的图象交x轴于点A(x。，0)和点B(2,0),与y轴的正半轴交于点C,其对称轴

是直线x=-1,tanNBAC=2,点A关于y轴的对称点为点D.

(1)确定A.C.D三点的坐标；

(2)求过B.C.D三点的抛物线的解析式;

⑶若过点(0,3)且平行于X轴的直线与(2)小题中所求抛物线交于M.N两点，以MN为一边，抛物线上任意一点

P(x,y)为顶点作平行四边形，若平行四边形的面积为S,写出S关于P点纵坐标y的函数解析式.

⑷当1vxV4时，(3)小题中平行四边形的面积是否有最大值，若有，请求出，若无，请说明理由.

m

y——

8,如图，直线AB过点A(m,0),B(0,n)(m>0,n>0)反比例函数的图象与AB交于C,D两点，P为双曲线x-

点，过P作PQ'x轴于Q,独上丁轴于R,请分别按(1)(2)(3)各自的要求解答闷题。

(1)若m+n=10,当n为何值时8408的面积最大?最大是多少？

⑵若=ShCOD=Swos,求n的值：

(3)在(2)的条件下，过0、1)、C三点作抛物线，当抛物线的对称轴为x=l时，矩形PR0Q的面积是多少？

12

y=­x

9、已知&、A”A3是抛物线2上的三点,AB、A2B2SAB分别垂直于x轴，垂足为氏、B?、B3,直线A2B2

交线段AA于点C。

(1)如图1,若小、As三点的横坐标依次为1、2、3,求线段CA2的长。

图-1

11

V=-X2V=-X2-工+1

(2)如图2,若将抛物线2改为抛物线2，卜、Az、A3三点的横坐标为连续整数，其他条

件不变，求线段CA2的长。

图-2

（3）若将抛物线”-5芯改为抛物线y=a-+&x+c,Al、&、A3三点的横坐标为连续整数，其他条件不变，

请猜想线段CAz的长（用a、b、c表示，并直接写出答案）。

10、如图，现有两块全等的直角三角形纸板I,II,它们两直角边的长分别为1和2.将它们分别放置于平面

直角坐标系中的△力03,△COZ）处，直角边OB,8在x轴上.一直尺从上方紧靠两纸板放置，让纸板I

沿直尺边缘平行移动.当纸板I移动至△尸所处时，设FEFF与OC分别交于点M，N,与x轴分别交于

点G,H.

（1）求直线＜C所对应的函数关系式;

（2）当点尸是线段工C（端点除外）上的动点时，试探究：

①点河到x轴的距离〃与线段的长是否总相等？请说明理由；

②两块纸板重叠部分（图中的阴影部分）的面积S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及S取最大值时

点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

11、0M是一堵高为2.5米的围墙的截面，小鹏从围墙外的A点向围墙内抛沙包，但沙包抛出后正好打在了横靠

在围墙上的竹竿CD的B点处，经过的路线是二次函数丁=口/+3x+4图像的一部分，如果沙包不被竹竿挡住,

7

将通过围墙内的E点，现以。为原点，单位长度为1,建立如图所示的平面直角坐标系，E点的坐标(3,2),

点B和点E关于此二次函数的对称轴对称，若tanNOCM=l(围墙厚度忽略不计)。

(1)求CD所在直线的函数表达式；

(2)求B点的坐标；

(3)如果沙包抛出后不被竹竿挡住，会落在围墙内距围墙多远的地方？

12、已知：在平面直角坐标系xOy中，一次函数丁=发入一4k的图象与x轴交于点A,抛物线y=ax2+Sx+c经

过0、A两点。

(1)试用含a的代数式表示b；

(2)设抛物线的顶点为D,以D为圆心，DA为半径的圆被x轴分为劣弧和优弧两部分。若将劣弧沿x轴翻折，

翻折后的劣弧落在。D内，它所在的圆恰与0D相切，求。D半径的长及抛物线的解析式；

(3)设点B是满足(2)中条件的优弧上的一个动点，抛物线在x轴上方的部分上是否存在这样的点P,使得

4

APOA=-AOBA

3?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

13、如图，抛物线4?二一/一2工+3交式轴于A.B两点，交y轴于M点.抛物线A向右平移2个单位后得到

抛物线勾，4交X轴于C.D两点.

(1)求抛物线4对应的函数表达式；

(2)抛物线4或勾在X轴上方的部分是否存在点N,使以A,C,M,N为顶点的四边形是平行四边形.若存在,

求出点N的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)若点P是抛物线A上的一个动点(P不与点A.B重合)，那么点P关于原点的对称点Q是否在抛物线勾

上，请说明理由.

14、已知四边形RBC。是矩形，BC>AB,直线分别与月尻BC交与E,F两点，尸为对角线RC上

一动点（尸不与儿C重合）.

（1）当点瓦尸分别为金瓦的中点时，（如图1）问点尸在工C上运动时，点尸、E、F能否构成直角

三角形？若能，共有几个，并在图1中画出所有满足条件的三角形.

（2）若遇8=3,BC=A,产为4C的中点，当直线及W移动时，始终保持加HC,（如图2）求△尸砺

的面积底》酎与FC的长x之间的函数关系式.

图2

15、如图1,已知抛物线的顶点为上（2,1）,且经过原点0,与x轴的另一个交点为3.（1）求抛物线的解析式;

（2）若点C在抛物线的对称轴上，点0在抛物线上，且以。，C,D,£四点为顶点的四边形为平行四边形,

求Q点的坐标；

（3）连接。力，AB,如图2,在x轴下方的抛物线上是否存在点尸，使得△0B产与△049相似？若存在，

求出产点的坐标；若不存在，说明理由.

16、如图，已知抛物线经过原点。和x轴

1上另一点4它的对称轴尸2与x轴交于

点C,直线片-2尸1经过抛物线上一点

夙-2,血，且与y轴、直线尸2分别交于

点〃、后

(1)求小的值及该抛物线对应的函数关

系式；

(2)求证：①CB=CE；②〃是属的中

点;

(3)若P(x,y)是该抛物线上的一个动点,是否存在这样的点只使得P庄PE,若存在，试求出所有符合条件的

点户的坐标；若不存在，请说明理由.

17、如图，抛物线丁=以/+玩+c与二轴交于八、B两点(点A在点B左侧)，与y轴交

于点C,且当X=0和X=4时，y的值相等。直线y=4x-16与这条抛物线相交于两点，其中一点的横坐标是3,另

一点是这条抛物线的顶点

(1)求这条抛物线的解析式；

(2)P为线段0M上一点，过点P作PQLX轴于点Q。若点P在线段0M上运动(点P不与点0重合，但可以与

点M重合)，设0Q的长为t,四边形PQCO的面积为S,求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；

(3)随着点P的运动，四边形PQC0的面积S有最大值吗？如果S有最大值，请求出S的最大值并指出点Q的

具体位置和四边形PQC0的特殊形状；如果S没有最大值，请简要说明理由：

(4)随着点P的运动，是否存在t的某个值，能满足P0=0C?如果存在，请求出t的值。

试卷答题纸

1、解：(1)；抛物线丁="+桁-3a经过A(-1,0)、B(0,3)两点,

O=a-b-3a解得:

3=-3ab=2

抛物线的解析式为：丁=一天+2x+3

,由一，+2x+3=0,解得:x1=-1,x2=3

C(3,0)

•.•由y=―彳？+2x+3=—(x—1)2+4

AD(1,4)

(2)•.•四边形AEBF是平行四边形,

.\BF=AE.

设直线BD的解析式为：1y=妇^+力，则

VB(0,3),D(1,4)

3=b解得:k=1

4=尢+Bb=3

...直线BD的解析式为：y=x+3

当y=0时,x=-3：.E(-3,0),；.OE=3,

VA(-1,0)

，OA=1,；.AE=2；.BF=2,

的横坐标为2,，y=3,.,.F(2,3)；

(3)如图，设Q(a，-/+2。+3),作PSJ_X轴，QRJ_x轴于点S、R,P(2,3),

.*.AR=a+l,QR=-i+2a+3,PS=3,RS=2-a,AS=3

S/ip(jA=S四边形PSRQ+S^QRA-SAPSA

(尸S+QO)Y故I-Kx。。FSxAS

=222

(3-a2+2a+3)八，(a+l)x(—1+2a+3)3x3

---------------X(/-aJ+----------------------—----

_j_27

...当一受时，S△网的最大面积为百,

此时Q、2'4

2、(1)设％=人，由图①所示，函数的图象过(1,2),

所以2=k7,k=2,

故利润/关于投资量x的函数关系式是y=2%

•.•该抛物线的顶点是原点，

设y2=ax,

由图②所示，函数北=af的图象过(2,2),

/.2=<3«22),

故利润度关于投资量x的函数关系式是：亥二V;

(2)设这位专业户投入种植花卉x万元(0W/W8),则投入种植树木(8-x)万元，他获得的利润是z万元,

根据题意，得2=2(8—x)+y=Z—2x+16=(x—2)+14,

当产2时，z的最小值是14,

；0<*W8,当产8时，z的最大值是32.

3、(1)C(4,1)....................................2分

(2)当NMDR=45°时，t=2,点H(2,0)...............................................2分

当/DRM=45°时，t=3,点H(3,0)..........................................2

分

11

22

（3）S=-t2t（0<tW4）；（1分）S=t-2t（t>4）（1分）

1339

732

当CR〃AB时，t=,（1分）s=（1分）

99

28

当AR〃BC时，t=,s=（1分）

111

318

当BR〃AC时，t=,S=（1分）

4、解：（1）作BFJ_y轴于F。

因为A（0,10）,B（8,4）

所以FB=8,FA=6

所以AB=《8"+6?=10

(2)由图2可知，点P从点A运动到点B用了10秒。

又因为AB=10,10+10=1

所以P、Q两点运动的速度均为每秒1个单位。

(3)方法一：作PGJ_y轴于G

则PG//BF

GAAPGA

所以FAAB,即610

所以GAT

3

OG=10--t

所以5

因为0Q=4+t

S=-xOQxOG

所以2

13

1(t+4)(10-1t)

2

S=--1+t+1920

即10T

19

b工19

_2aT

2x(--)

因为10

19

0<—<10

且3

19

当3时，S有最大值。

方法二：当t=5时，OG=7,0Q=9

-xOGxOQ=—

S=22

设所求函数关系式为

S=at2+bt+20

63

因为抛物线过点（10,28),(5,2)

'100a+10b+20=28

63

25a+5b+20

所以2

319

a--b---

所以10T

—+

所以io

19

bT19

_2aT

因为

0<—<10

且3

19

当3时:S有最大值。

此时GP/'°G=T

7631

所以点P的坐标为（15,5）。

（4）当点P沿AB边运动时，NOPQ由锐角f宜角一钝角；当点P沿BC边运动时，NOPQ由钝角一直角-*锐角

（证明略），故符合条件的点P有2个。

5、解：（I）作C&JL工B于点名,

如图所示，则四边形丝CZ）为矩形.

..AE=CD=4,CE=DA=6.

...CE3

..1=3•4,..—=一.

又EB4

£3=8,AB=\2.

在RtZkCES中，由勾股定理得：BC=-JCE2+EB2=10.

（2）假设FC与相互平分.

由WlAB,

则尸BCQ是平行四边形(此时。在CD上).

即CQ=3产,：3i-10=12-2/.

2=2，£=空

解得5'即5秒时，尸C与8。相互平分.

c04z《竺

(3)①当°在3C上，即3时，

作。于正，则CERQF.

..丝=丝,”=老.：0=竺

匿BC即6105

11%

.-^SB=-PB*QF=-(12-2^-

-劣-3y+生

=55

,.s里厘米?•

当£=3秒时，-»△3有最大值为5

—

②当。在8上，即33时，

S”殖=；WCE=；(12—N)x6

=36-6t.

易知s随Z的增大而减小.

t=—.y36-也6=16厘米.

故当3秒时，-2ApM有最大值为3

925410

—t+—Z,0<£<—

卷＞16,三5513

C『141

—6：+36.—<t<—

(33)

、V肛厘米2.

综上，当2=3时，2△尸阳有最大值为5

6、

(1).小)，哈，-豺

(2)由题意得点儿与点儿，关于丁轴对称，.：MI行'3)

1168

2o.—a=—<22+—a+a

将从'的坐标代入丁=/-2二+”得393,

=_9

%=°(不合题意，舍去)，的一4.

..M-自

I4九.•.点N到y轴的距离为3.

•・・/。，4IM]

V4人MI4人;直线w的解析式为」4,

DP)0Y，9

它与x轴的交点为\4")点D到V轴的距离为4.

上，吧

•vS&Aa+S&JiCD=12*3+2=

•-2四壮彦&6r

2222416.

(3)当点F在v轴的左侧时，若HC产N是平行四边形，则产V平行且等于HC,

47

—a,--a

.♦.把N•向上平移-2。个单位得到尸，坐标为133),代入抛物线的解析式,

7168

--a=—a2一一以+a

得：393

__3

0(不舍题意，舍去)，的一8,

17

2(8

当点尸在尸轴的右侧时，若工尸皈是平行四边形，则与FN'互相平分,

OA=OC,OP=ON.

.P(4J.

:尸与N关于原点对称，I33),

1168

—以=a2+—a+a

将尸点坐标代入抛物线解析式得：393,

%=°(不合题意，舍去)，2"8.12'

：存在这样的点A，回或生亍M能使得以产，A,C,V为顶点的四边形是平行四边形.

7、解：(l)•.•点A与点B关于直线x=-l对称，点B的坐标是(2,0)

.,.点A的坐标是(一4,0)

由tan/BAC=2可得0C=8

.,.C(0,8)

••,点A关于y轴的对称点为D

...点D的坐标是(4,0)

(2)设过三点的抛物线解析式为y=a(x-2)(x—4)

代入点C(0,8),解得a=l

抛物线的解析式是y=x2-6x+8

⑶：抛物线y-x2-6x+8与过点(0,3)平行于x轴的直线相交于M点和N点

3),N(5,3),I喇=4

而抛物线的顶点为(3,-1)

当y>3时

S=4(y-3)=4y-12

当一lWy<3时

S=4(3-y)=-4y+12

£

(4)以MN为一边，P(x,y)为顶点，且当9Vx<4的平行四边形面积最大，只要点P到MN的距离h最大

.,.当x=3,y=-1时，h=4

S=|MN|•h=4X4=16

.♦.满足条件的平行四边形面积有最大值16

111

8、解：⑴垢g=5—5m°一")=-5"2

22

25

所以"5时，乙4。3面积最大值是万

(2)当=S〃COD~Sgcs时，有AC=CD=DB

2wn

过C分别作x轴，y轴的垂线可得c坐标为(‘行‘5,)

m9

y=—«=—

代入x得2

_92m3m

n=-—,—D\一,3)

⑶当2时，得32、3'

81,63

2.,a=------T-b=----

设解析式为丁="+"得4*,4m

占7,18

x=--=—m=\,m=一

所以对称轴2a187

m

y=­

因为P(x,y)在花上

18

=xy=m=—

所以四边形PROQ的面积7

9、解：(1)9&、A?、9三点的横坐标依次为1、2、3,

lxl2=l1x22=21x32=2

，AB=22,A?B2=2,A：<B3=22

设直线AA；的解析式为y=kx+b。

9<3

~^3k+bb=--

12解得I2

y=2x—

直线A也的解析式为2。

35

.".CB2=2X2-2=2

51

.,.CA2=CB2-A2B2=2-2=21,

(2)设A”&、角三点的横坐标依次n-l、n、n+1.

1,1

-(»-1)2-(»-1)+1-

2

则AB=2,A2B2=2n-n+l,

J

2

A3B3=2(n+l)-(n+1)+1.

设直线AA,的解析式为y=kx+b

(n-X)k+b=—(»-l)2

(x+l)Ar+3=g(%+l)2-(»+1)4-1

...直线AA,的解析式为22

1311

CB2=n(n—1)—2r?+2=2r?—n+2

1_31_J

CA2=CB2—A2B2二2n“一n+2—2nJ+n—1—2。

（3）当a>0时,CA2=a；当aVO时，CA?=—a

10、解：（1）由直角三角形纸板的两直角边的长为1和2,知4c两点的坐标分别为Q2）,（2,1）.设直线4c

所对应的函数关系式为y=依+&.

k+b=2,=-1,

<<

有国+8=1.解得伍=3.

所以，直线所对应的函数关系式为y=-x+3.

（2）①点次轴距离%与线段8区的长总相等.

因为点C的坐标为（2,1）,

1

V=­X

所以，直线OC所对应的函数关系式为2.

又因为点尸在直线上C上，

所以可设点P的坐标为（为3-a）.

过点M作x轴的垂线，设垂足为点K,则有儿欧=%.

因为点股在直线℃上，所以有肠（2瓦〃）.

因为纸板为平行移动，故有即IIOB,即防IIGH.

又EFIFF,所以PHLGH.

法一：故Rt△加MGSRt△?HGsRt△杼X,

GK_GH_EF_\

从而有女一丽一万一5.

GK=-MK=-hGH=-PH=-(^-a)

得22,22

13

0G=0K-GK=2h--h=-h

所以22.

13

0G=0H-GH=a--(3-a)^-(a-V)

又有22.

33

-A=-(«-!)

所以22,得a="-1,而BH=OH-OB=a-l,

从而总有卜=BH.

GH_EF1

法二：故Rt△产HGsRt△尸;噌，可得而一而一5.

故2£.

13

OG=OH-GH=a--(3-a')=-(a-1)

所以22、

\—(a—l)(ol

故G点坐标为12J.

设直线尸G所对应的函数关系式为V=cx+d,

3-a=ca+d,

<3c=2

0=-c(«—l)+d.<j2々

则有l2解得［d=3-3a

所以，直线PG所对的函数关系式为1y=2x+(3-3a).

将点M的坐标代入，可得〃=4"+(3-3a)解得〃=以-1.

而BH-0H-0B=,从而总有人=8月.

a9—a

②由①知，点的的坐标为(2a-2,"-1),点儿的坐标为2

^-NHxOH--OGxh=-x-axa--x^^

x(a-l)

S=S&QNH_S&CW222222

_33

当“一5时，s有最大值，最大值为W.

s取最大值时点P的坐标为【''EJ.

11、解:(1)V0M=2.5,tanZOCM=l,

；.20CM=45°,0C=0M=2.5«

AC(2.5,0),M(0,2.5)。

设CD的解析式为y=kx+2.5(k:#o),

2.5k+2.5=0,

k=一lo

..•y=—x+2.5。

7

(2)・.・B、E关于对称轴对称，，B(x,2)o

又B在y=-x+2.5上，Ax=一lo

7

:.B(—1,2)o

77

⑶抛物线y=a—+以+4经过B(—1,2),E(3,2),

7

—=a-b+A

2

7

，=9a+33+4

12

--X2+-x+4

63

——XH__X+4_r_A

令y=o,则63=0,解得々=6或强=-4

所以沙包距围墙的距离为6米。

12、（1）解法一：；一次函数y=上工一4后的图象与x轴交于点A

二点A的坐标为（4,0）

..•抛物线丁=。/+Bx+c经过0、A两点

c=0,16«+4小=0b=-4a

解法二：•.•一次函数y=kx-4兀的图象与X轴交于点A

.•.点A的坐标为（4,0）

..•抛物线丁=”/+占x+c经过0、A两点

.•.抛物线的对称轴为直线x=2

b=-4a

（2）解：由抛物线的对称性可知，D0=DA

点0在③D上，且ND0A=NDA0

又由（1）知抛物线的解析式为V=ax2-4ax

.•.点D的坐标为（2）-4a）

①当a>0时,

图I

如图1,设。D被X轴分得的劣弧为加4,它沿X轴翻折后所得劣弧为可，显然。出4所在的圆与。

D关于x轴对称，设它的圆心为D'

点D'与点D也关于x轴对称

•.•点0在。1）'上，且OD与。D'相切

...点0为切点AD'OIOD

...NDOA=N1）'OA=45°

/.△ADO为等腰直角三角形•-0D=2、泛

二点D的纵坐标为-2

:'-4a=—2

1,c

；.a=—,b=-4a=—2

2

12

y=—x-02x

抛物线的解析式为2

②当a<0时，

同理可得：=2、也

y=--X2+2x

抛物线的解析式为2

_nry=-x2-2xy=--%24-2X

综上，G）D半径的长为2J2,抛物线的解析式为2或2

4

ZPOA=-ZOBA

（3）解答：抛物线在x轴上方的部分上存在点P,使得3

设点P的坐标为（x,y）,且y>0

2

y=-x-2X

①当点P在抛物线2上时（如图2）

图2

•.•点B是③D的优弧上的一点

4

ZOBA=-AADO=45。ZPO4=-ZO&4=600

23

过点P作PE_Lx轴于点E

Ep

tanZ-.POR-----

OE

：.—=tan60°

x

y=73X

y=yl3x

xx=4+2^3x2=0

，12°

y=—x-乃=6+4后1刈=。（舍去）

由I2解得:

的坐标为卜+2、反6+4有）

/.点P

y=--x2+2x

②当点P在抛物线2上时（如图3）

y

图3

同理可得，丫=辰

y=gx

Xj=4-2^3Jx2=0

12

y=--x+20x解得：I乃=-6+4后1为=。

由2（舍去）

/.点、P的坐标为&一2、反一6+4月

综上，存在满足条件的点P,点P的坐标为:

(4+2g,6+44)或(4-2、区-6+4后)

二、计算题

13、解：(1)令丁=°，得一/-2x+3=0,

xj=-3,x2=1...A-3,0),5(1,0).

抛物线L\向右平移2个单位得抛物线L2,

C(-l,0),Z)(3,0),a=-l

：.抛物线4为尸=_。+1)。—3),

即y=+2X+3。

(2)存在。

令x=0,得y=3,:M(0,3).

:抛物线4是4向右平移2个单位得到的,

..点儿(2,3)在&匚目.跖V=2,W//AC.

又•.•HC=2,:MN=AC

••四边形HCMM为平行四边形。

同理，4上的点M(-2,3)满足M般〃且C,/M=AC

四边形为平行四边形

.•・以2,3)/(-2,3),即为所求。

(3)设点P关于原点得对称点Q(一X1，一必)，

且乃=一寸一2/+3;

将点Q得横坐标代入上2,

得为=-xi-2占+3=%w”

•・•点Q不在抛物线4上。

14、解：(1)能，共有4个.

产点位置如图所示:

(2)在矩形超8中

■/AB=3,BC=4,：.AC=5.

2

♦.•SAAK=580AB,

,•S&ABC=6.

\'FC=x,：.BF=4-x.

在△，BC中

EFIIAC,

:.XBEFsf\BAC.

,S.jgF_BF，

•./二才.

•$&£EF_©-

"6"42.

一久瓯-6x、=—(x-4)2

10o.

\'PA=PC,2FIIAC,

1

SAAEP=SA弼=2CP'FC'sinZJG?.

3

'：smZACB=-

5,

.a1533

2254.

，,般"SF=£&垓-(S&®+S&曲+S&C70)

-3331?w

=6--(x-4)2+-x+-x=--x2+-x(0<x<4)

L844」g2

15、解：(1)由题意可设抛物线的解析式为丁=奴工-2y+1.

V抛物线过原点,

0=<2(0-2)2+1

1

a=--

4.

1,0

y=—一(入-2)+1

二抛物线的解析式为4

y=--1x+2x

即4

(2)如图1,当四边形。CDB是平行四边形时,

1

--(x-2)0a+l=0

由4

得再=°,与=4,

8(4,0),08=4

。点的横坐标为6.

y=-一(x—2)2+1

将x=6代入4,

得尸一与6-2)2+1=—3

：.g-3)；

根据抛物线的对称性可知，在对称轴的左侧抛物线上存在点㈡，使得四边形8CB是平行四边形，此时Z)点

的坐标为(-2,一司，

当四边形OCBD是平行四边形时，Z)点即为刃点，此时D煎的坐标为(2J).

(3)如图2,由抛物线的对称性可知：

AO=AB,£AOB=AABO.

若△8。尸与△ROB相似，

必须有/尸。8=/33=/8产。.

设0P交抛物线的对称轴于W点，

显然4(2,-1),

1

V=--X

二直线。产的解析式为2.

112

-X-X+xcr

由2-----4------,得再=