初中数学三角形模块5-6-相似三角形讲义(含答案解析)

三角形第六部分相似三角形

题型练

题型一比例的性质

比例的基本性质；两个外项的积等于两个内项的积.

用式子表示为：若二=三，则有4=历.

bd

例1.若x:y=l:3,则生上』的值是_______.

x-y

【分析】

根据比例的性质，可用X表示夕，根据分式的性质，可得答案.

【详解】

解：由比例的性质，得y=3x.

2x+y_2x+3x_5

x-yx-3x2

故答案为：.

2

【点睛】

本题考查了比例的性质，利用比例的性质得出y=3x是解题关键.

变式1

abc…a+b+c

工，已知厂3贝一一•

【答案】3

【解析】

【分析】设以=2=3=k,则a=2左，b=3k,c=4%,代入代数式化简求值即可.

234

【详解】解：设@=^=g=«,则a=2k,b=3k,c=4k,

234

.a+b+c2k+3k+4k

・・-----------=-----------------=3,

b3k

故答案为：3.

【点睛】本题主要考查了比例的性质，利用设左法进行计算是解决问题的关键.

题型二成比例线段

一般地，四条线段外b、c、d中，如果a与6的比等于c与4的比，即且=£,

bd

那么这四条线段叫做成比例线段，或者说这四条线段成比例.

mo/.v-x-rm*-»/.lir-ri»（ILLJI.tr.lf.»xr-n,、—、x£\-^rm>-»/.Lxr-cI•rr.l

例2.下列四组线段中，不是成比例线段的是（）

4a=3,b=6,c=2,d=48.q=1,b=y/^2,，c=，d=2.5/3

C.a=4,b=6,c=5,d=1OD“=2,b=y/-S，c=2^/3，d=Jl5

【分析】

根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得

出答案.

【详解】

解：A、3X4=6X2,是成比例线段，故本选项不符合题意；

B.1X2A/3=V2XV6）是成比例线段，故本选项不符合题意；

C、4X10W6X5,不是成比例线段，故本选项符合题意；

。、2x715=75x2731是成比例线段，故本选项不符合题意；

故选：C.

【点睛】

此题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，

另外两个相乘，看它们的积是否相等.同时注意单位要统一.

变式2

2.已知线段28=20,点C是线段的黄金分割点，则力C的长为

【答案】10石-10或30-10指

【解析】

【分析】根据黄金分割的定义，分为AC>BC、NC<6C两种情况列式解决即可.

【详解】解：当ZC>8C时，工。=避二1/8，AB=20,

2

解得ZC=10痒10；

当/。＜8。时・，AC=AB-BC,

2

^C=30-10V5,

故答案为：10逐-10或30-10店.

【点睛】本题考查了黄金分割，关键在于掌握好黄金分割的定义，分类计算.

题型三相似图形

相似图形定义：对应角相等，对应边成比例的两个图形就叫相似图形

例3.下列各组中的图形，不是相似图形的是（）

A.同一座城市的两张比例尺不同的地图；B.一个人现在的照片和他十年前的照片;

C.两个正方形；D.国旗上的五角星.

【分析】

根据相似图形的概念可直接进行排除选项.

【详解】

A,同一座城市的两张比例尺不同的地图是相似的，故不符合题意；

8、一个人现在的照片和他十年前的照片不相似，故符合题意；

C、两个正方形是相似的，故不符合题意；

。、国旗上的五角星是相似的，故不符合题意；

故选民

变式3

3.观察下列每组图形，相似图形是（）

A.B.

c.D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据相似图形的定义，形状相同，可得出答案.

【详解】解：A、两图形形状不同，故不是相似图形；

B、两图形形状不同，故不是相似图形；

C、两图形形状相同，故是相似图形；

D、两图形形状不同，故不是相似图形；

故选：C.

【点睛】本题考查了相似图形的定义，掌握相似图形形状相同是解题的关键.

题型四相似多边形

相似多边形定义：各边对应成比例，各角对应相等的多边形叫做相似多边形.

性质；相似多边形的对应边成比例,对应角相等,周长比等于相似比,面积比等于相

似比的平方.

例4.如图，细线平行于正多边形一边，并把它分割成两部分，则阴影部分多边形与原多边

形相似的是（）

【分析】

利用相似多边形的判定方法判断即可.

【详解】

解：/、阴影三角形与原三角形的对应角相等、对应边的比相等，符合相似多边形的定义，

符合题意：

8、阴影矩形与原矩形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不

符合题意；

C、阴影五边形与原五边形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义,

不符合题意；

。、阴影六边形与原六边形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义,

不符合题意；

故选：A.

【点睛】

本题考查了相似多边形的定义，解题的关键是了解相似多边形的对应角相等，对应边的比相

等.

变式4

4.如图，已知矩形48。的边长为8cm,边N8长为6cm,从中截去一个矩形

（图中阴影部分），如果所截矩形与原矩形相似，那么所截矩形的面积是（）

A.28cm2B.27cm2C.21cm2D.20cm2

【答案】8

【解析】

【分析】根据题意，截取矩形与原矩形相似，利用相似形的对应边的比相等可得.

【详解】解：依题意，在矩形/5DC中截取矩形式E,

则矩形NBDCs矩形AEFB,

ABAD

则一=——，

AEAB

设4E=xcm,得到:—,解得:x—4.5,

x6

经检验尸4.5是原方程的解

则截取的矩形面积是：6x4.5=27（cm2）.

故选：B.

BC

【点睛】本题考查相似形的对应边的比相等，分清矩形的对应边是解决本题的关键.

题型五平行线分线段成比例定理

定理：两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例.

推论：平行于三角形一边的直线，截其他两边（或两边延长线）所得的对应线段成比

例.

例5.如图，已知ABHCDIIEF,那么下列结论正确的是（）

ADBCBCDFCDBCCDAD

A.----....B.-----....C.---------D,....-----

DFCECEADEFBEEFAF

【分析】

根据平行线分线段成比例确定出对应线段，进行判断即可.

【详解】

解：'：AB//CD//EF,

.AD

=—,故选项4正确;

DFCE

BCAH

——，故选项8错误;

CE

AD

―,故选项C错误;

~AFBE

jn

BC空，故选项。错误;

BEAF

故选：A.

【点睛】

本题主要考查平行线段成比例定理，确定出对应线段是解题的关键.

变式5

5如图，在△Z8C中，点。，E,b分别在AC,8c边上，DE!IBC,EFIIAB,

则下列式子一定正确的是（)

A

a

DF-------c

,ADDErADBF八ADFC.ADFC

A---=----B---=----C---=----D---=----

DBBCDBFCDBBFDBBC

【答案】8

【解析】

【分析】根据平行线分线段成比例定理，在两组平行线里面，通过—=”，

DBEC

ApRF

芸=骼,联系起来，得出结论・

ECrC

【详解】VDEHBC

.AD_AE

"~DB~~EC

-：EF//AB

.AE_BF

"~EC~~FC

.ADAE_BF

''~DB~~EC~~FC

.ADBF

""~DB~~FC

故答案为：B.

【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理及其应用问题，解题的关键是找

准对应线段，准确列出比例式，科学推理论证.

题型六相似三角形的性质

相似三角形的性质：

1.相似三角形的对应边成比例；对应角相等；

2.相似三角形的一切对应线段（对应高、对应中线、对应角平分线等）的比等于相似比；

3.相似三角形周长的比等于相似比；

4.相似三角形面积的比等于相似比的平方.

例6.若且周长之比1：3,则与的面积比是（）

A.1：38.1：VJC1：9D3：1

【分析】

根据相似三角形的性质，即可求解.

【详解】

A4BCS/^DEF且周长之比1：3,

△NBC与△DEF的相似比=1：3,

ANBC与△。£尸的面积比=12：32=1：9,

故选C.

【点睛】

本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方，是解题的关

键.

变式6

6.已知A4BC〜ADEF,AB：DE=3：5,△ZBC的面积为9,则△£»的面积为_.

【答案】25

【解析】

【分析】根据相似三角形的性质：面积比等于相似比的平方计算即可.

【详解】解：〜△DEEAB-.DE=3：5,

...△Z8C的面积：的面积=9：25,

•.•△/8C的面积为9,

△£>£1口的面积25,

故答案为：25.

【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解题关键是明确相似三角形面积比等于相

似比的平方.

题型七相似三角形的判定方法一：平行线法

判定定理1：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.

例7.如图，DE//BC,EF//AB,则图中相似三角形有对.

根据相似三角形的判定定理分析即可.

【详解】

DE//BC,EFHAB,

，可直接得出AADEsAABC,^CEF^^CAB,

由DE//BC,EFHAB,可得：NC=AAED,ZCFE=ZB=Z.EDA,

:.XADEsAEFC,共有3对相似三角形，

故答案为：3

【点睛】

本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键.

变式7

7.如图，30为M△力8c斜边ZC上的中线，G为的重心，连结/G并延长

交BC于点。，若AB=6cm,BC=8cm,则DG=cm.

【答案】Ml.

3

【解析】

【分析】由三角形重心的概念可得：BD=4,再利用勾股定理求解N。，连接8,

证明AOGOSAZG民再利用相似三角形的性质可得：空="从而可得答案.

AD3

【详解】解：G为的重心，BC=8cm,

BD—CD—4cm,

,/AB-6cm,

：.AD=V62+42=2而

如图，连接。。，

•••G为比ANBC的重心,

.•.0D为4ABC的中位线

DOHAB,DO==AB,

2

:ADGOS^AGB,

DGDO1

」前一下-5'

DG1

AD3

DG_1

‘砺=5，

：.=巫

3

故答案为：3叵

3

【点睛】本题考查的是三角形重心的概念，三角形中位线的性质，三角形相似的判

定与性质，掌握以上知识是解题的关键.

题型八相似三角形的判定方法二：三边法

判定定理2：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似（简记为SSS）；

例8.如图，在四个4x4的正方形网格中，三角形相似的是（）

A.①和②8.②和④C②和③0.①和③

【分析】

根据网格结构以及勾股定理可得所给图形的三条边长，然后利用相似三角形的判定方法选择

答案即可.

【详解】

解：如图①，该三角形的三条边长分别是：庐干=血、2、V32+l2=710.

如图②，该三角形的三条边长分别是：麻不=也、依+E=也、3

如图③，该三角形的三条边长分别是：2、7F+F=2V2>V22+42=2V5.

如图④，该三角形的三条边长分别是：3、Vl2+32=V10'5.

只有图③中的三角形的三条边与图①中的三条边对应成比例，

故选：D.

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定和勾股定理，熟悉相关性质是解题的关键.

变式8

8.如图，在正方形网格中有3个斜三角形：①“BC；©/XCDB-③ADEB；其

中能与△Z8C相似的是.（△N8C除外）

【答案】③3DEB）

【解析】

【分析】分别求出三个三角形的三边的比，再根据相似三角形的判定方法解答.

【详解】解：根据网格可知：AB=\,心&2+a=曰BC=S+爰=下,A4BC

的三边之比是/B：AC：BC=\：V2：亚,

同理可求：②△88的三边之比是CDBC：BD=l：y/5：272;

③ADEB中DE：BD：BE=2：2岳275=1：0：6

二③（△DE5）与△Z5C相似，

故答案为：③ADEB.

【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，从“三边对应成比例，两三角形相似”

的角度考虑是解题关键.

题型九相似三角形的判定方法三：两边及其夹角法

判定定理3：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三

角形相似（简记为S/S）；

例9.已知：如图，在△N8C中，AB=6,AC=8,D、E分别在、AC±,BD=2,

CE=5.求证：AAEDs^ABC.

根据题意可求出一=—，且其夹角相等即可证明AAEDsAABC.

ABAC

【详解】

；Z3=6,BD=2,

：.AD=4,

AC=8,CE=5,

AE=3，

•AE-3⑺_4_1

"7B~6~2'~AC~~8~2'

.AE_AD

•,布一就‘

•••NEAD=NBAC

,•AAEDsAABC.

【点睛】

本题考查三角形相似的判定.掌握两边成比例且其夹角相等的两个三角形相似是解答本题的

关键.

变式9

<?.如图，在aABC中，AB>AC,D、E分别为边AB、AC上的一点，AC=3AD,

AB=3AE,点F为BC边上一点，添加一个条件使4FDB与4ADE相似，则添加的

一个条件是.

【答案】ZDFB=ZADE

【解析】

【分析】根据题意及图易得△ADEs^ACB,进而由相似三角形的性质可得

ZC=ZADE,ZB=ZAED,欲证4FDB与aADE相似则需添加角相等即可.

【详解】解：AC=3AD,AB=3AE,NA=NA,

:.AADES^ACB,

：.ZC=ZADE,ZB=NAED,

又•••ZDFB=ZADE,

AFDBS^DAE.

故答案为ZDFB=ZADE.

【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性

质是解题的关键.

题型十相似三角形的判定方法四：两角法

判定定理4：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角

形相似（简记为

例1().如图，己知。是三角形N8C中的边8c上的一点，/BAD=/C,乙48C的平分

线交边力。于E，交/。于那么下列结论中错误的是()

A.三角形6OE相似于三角形A4EB.三角形BFA相似于三角形

C.三角形BDF相似于三角形BECD.三角形A4c相似于三角形BDA

【分析】

如果两个三角形的两个角分别对应相等，则这两个三角形相似，据此逐项分析即可解题.

【详解】

解：A.•;/BAD=NC

ABDA=ZC+NDAC=ABAD+ADAC=ZBAE,

又•:AE^AABC

：.NABE=ZEBC

.'.ABDF~ABAE

故/不符合题意；

B.4E平分N4BC

:"ABE=ZEBC

又•；NB4D=NC

:ABFA~&BEC

故8不符合题意；

C.三角形BDF与三角形BEC,仅有一个公共角NE8C,不能证明相似，故C错误,

符合题意；

D.；NBAD=NC,ZABC=NABC

:.ABAC~ABDA

故。不符合题意，

故选：C.

【点睛】

本题考查相似三角形的判定，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键

变式10

W.如图，在矩形N5CD中，点E为BC上一点,连接DE,过点工作于

点、F,求证：ADECsAADF.

【答案】见解析

【解析】

【分析】根据两角对应相等两三角形相似即可得出结论.

【详解】证明：•.•四边形ABCD为矩形，

.*.ZC=90°,AD〃BC,

.\ZADF=ZDEC,

VAF±DE,

AZAFD=ZC=90°,

/.△DEC^AADF.

【点睛】本题考查矩形的性质、矩形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握相似三

角形的判定，属于中考常考题型.

题型十一相似三角形的判定方法五：斜边直角边法

直角三角形相似判定定理:斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似（简记为HL）.

例11.如图，在矩形/8CZ）中，AB=6,ZO=12,点£在边4。上，ZE=8,点F在

边。C上，则当EE时，△48E与AOEE相似.

【分析】

若要"BE与&DEF相似，则需要对应直角边成比例，代入数值计算即可.

【详解】

由题意，知△48E与AQEF都是直角三角形，

ABBE_1、AEBE

所以当—或=时,

~DE△48E与AQEF相似,

EFDEEF

由AB=6，AE=8,AD=12,得BE=10,DE=4,

610—810

.•.一=—或一=—，

4EF4EF

-20

/.EF=5或一.

3

20

故答案为：5或二.

3

【点睛】

"BE与&DEF相似和AABEs/\DEF是有区别的，前者没有明确两个三角形的对应

关系，后者已给出了对应关系，因此前者要分类讨论.

变式11

工，在心△[8c中，NC=90°,Z8=10,8C=6.在R/AEDR中,

NE=90",DF=3,EF=4,则和AED尸相似吗？为什么？

【答案】"BCfEDF.理由见解析.

【解析】

【分析】直接利用直角三角形的性质得出AC、DE的长，再利用相似三角形的判定

方法得出答案.

【详解】解：相似，理由如下：

在中，NC=90°,/8=10,BC=6,由勾股定理得ZC=8.

在RtAED/中，ZF=9Q°,DF=3,EF=4,由勾股定理得££>=5.

.右8C_6_JC_8_：8_10_C

••白=-=2,=-=2,=—=2,

DF3EF4ED5

.BCAC_AB

"~DF~~EF~~ED'

AABC~AEDF.

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，正确掌握相似三角形的判定方法是解

题关键.

题型十二相似三角形的应用一：利用影子测量物体的高度

测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度时，利用相似三角形的性质即相似三角

形的对应边成比例和“一时刻物高与影长成比例”的原理解决.

例12.如图，为测量楼高46,在适当位置竖立一根高2m的标杆MN,并在同一时刻分别

测得其落在地面上的影长ZC=20m,MP=2.5m,则楼高为（）

PMCA

415m8.16mC.18mD20m

【分析】

在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线

三者构成的两个直角三角形相似.根据相似三角形的对应边的比相等，即可求解.

【详解】

..AB_MN

'~AC~~PM'

.AB-2

,•元一石’

：.AB=16（米）.

故选：B.

【点睛】

考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成

比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题.

变式12

工2.如图，小华在晚上由路灯/走向路灯8.当他走到点P时，发现他身后影子的

顶部刚好接触到路灯力的底部；当他向前再步行12m到达点。时，发现他身前影子

的顶部刚好接触到路灯8的底部.已知小华的身高是1.6m,两个路灯的高度都是

9.6m,JLAP=QB.

(1)求两个路灯之间的距离.

(2)当小华走到路灯8的底部时，他在路灯Z下的影长是多少？

【答案】(1)18米；(2)3.6米

【解析】

【分析】(1)如图1,先证明△/PA/SA43O,利用相似比可得即得

6

BQ=-AB,则』解得/5=18(〃?)；

666

(2)如图2,他在路灯/下的影子为5N,证明利用相似三角形

的性质得式”；；=装，然后利用比例性质求出8N即可.

【详解】解：(1)如图1,'."PM//BD,

AAPMS^ABD,

APPMAP1.6

----=------，即nn---=---，

ABBDAB9.6

：.AP=-AB,

6

"：QB=AP,

：.BQ=^AB,

而AP+PQ+BQ=AB,

11

：.-AB+\2+-AB=AB,

66

：.AB=\S.

答：两路灯的距离为18加；

(2)如图2,他在路灯/下的影子为

■:BM//AC,

：.△NBMs/\NAC,

.BN_BM即4』,

解得5N=3.6.

"7N~^4CBN+189.6

答：当他走到路灯8时，他在路灯工下的影长是3.6加.

图2

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，要求学生能根据题意画出对应图形,

能判定出相似三角形，以及能利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相

等的原理解决求线段长的问题等，蕴含了数形结合的思想方法.

题型十三相似三角形的应用二：利用相似测量河流、池塘等物体的宽度

测量原理：根据公共角相等或对顶角相等得到相似三角形.

测量步骤：

(1)利用平行线、标杆等构造相似三角形；

(2)测量同表示未知量线段相对应的边长，以及另外一组对应边的长度；

(3)画示意图，利用相似三角形的性质列比例式；

(4)计算、检验并给出答案.

例13.如图，为了确定一条河的宽度，测量人员观察到在对岸岸边P点处有一根柱子，再

在他们所在的这一侧岸上选点/和点以使得B，A,尸在同一条直线上，且与河岸垂直，

随后确定点C,点。，使NC_L8P,BDYBP,由观测可以确定ZC与QP的交点C.他们测

得Z8=20m,4C=40m,SO=50m,从而确定河宽以为m.

【分析】

证出△尸8。和△口C相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求解即可求得必1.

【详解】

解："JACLBP,BDLBP,

J.AC//BD,

:.XPBDsAPAC,

.BD_PB

"7C~~PA

'：AB=20m,AC=40m,BD=50m,

PA+20

PA

解得：以=80.

故答案为：80.

【点睛】

本题考查三角形相似的判定与性质，掌握三角形相似的判定与性质是解题关键.

变式13

13.如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点P,在近岸取点。和S,

使点尸、。、S在一条直线上，且直线PS与河垂直，在过点S且与直线PS垂直的

直线。上选择适当的点T,PT与过点。且与PS垂直的直线b的交点为R.如果

0S=60m,ST=120m,QR=80m,求尸。的长.

【答案】120m

【解析】

【分析】由题意易得QR〃ST,则有△PQRs4PST,进而可得坐=竺，设

PQ=xm,然后问题可求解.

【详解】解：由题意可知QR//ST,

APQR-/XPST,

,PQ=QR

"PS~ST'

设P。=xm,

QS=60m,ST=120m,QR=80m,

PS=(x+60)m,

------=----,解得x=120,

x+60120

经检验x=120是方程的解

的长为120m.

【点睛】本题主要考查相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解

题的关键.

题型十四相似三角形的应用三：利用标杆或直尺测量物体高度

有关概念：

(1)视点：观察物体时人的眼球称为视点；

(2)仰角：向上看时，视线与水平线所成的角叫做仰角；

(3)朝下看时，视线与水平面夹角为俯角.

测量方法：观测者的眼睛必须与标杆顶端和物体顶端“三点共线”，标杆要与地面垂直.

例14.如图所示,某校数学兴趣小组利用标杆8E测量建筑物的高度，已知标杆8E高为1.5m,

测得/8=3m,BC=7m,则建筑物CO的高是()

A.3.5m8.4mC.4.5m£>.5m

【分析】

由题意得：EBLAC,DC1AC,再证明△ZBESAZC。,再利用相似三角形的性质可得答

案.

【详解】

解：由题意得：EB1AC,DC1AC,

：.BE//CD,

:.AABES“CD,

ABBE

一就一而‘

AB=3m,BC=7m,BE=\.5m,

.3_L5

"3+1~~CD'

:.3CD=\5,

CD-5.

经检验：CD=5符合题意，

所以建筑物8的高是5加.

故选：D.

【点睛】

本题考查的是相似三角形的应用，相似三角形的判定与性质，掌握利用相似三角形的性质解

决问题是解题的关键.

变式14

14.某同学利用标杆测旗杆的高度如图所示：标杆高度C0=2.6m,标杆与旗杆的水

平距离BD=\5m,人的眼睛与地面的高度EF=1.6m,人与标杆CD的水平距离£>F=2m,

E,C,4三点共线，则旗杆Z3的高度为m.

【答案】10.1

【解析】

［分析］过点E作EH1AB于点〃，交CD于点G,可得^ECG^EAH,根据相

似三角形的对应边成比例，求出的长，进而求出的长.

［详解］解：如图，过点E作EH上AB于点H,交CD于点G.

由题意可得，四边形EEDG、OG/78都是矩形，ABHCDHEF.

：.AECGSAEAH,

.EGCG

由题意可得：

EG=FD=2m,GH=DB=\5m,EH=EG+GH=17m,

CG=CD-GD=CD~EF=2.6~\,6=lm.

.EGCG1_1

Z”=8.5m,

/.AB=AH+HB=8.5+1.6=10.1m.

故答案为：10.1m.

【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，根据相似三角形判定定理得出

AECGS^EAH是解题关键.

题型十五相似三角形的应用四：利用镜子的反射测量物体高度

设计原理：利用光线的入射角等于反射角，构造相似三角形.

例15.如图，小明为了测量树的高度C。，他在与树根同一水平面上的8处放置一块平面镜,

然后他站在工处刚好能从镜中看到树顶。，已知力、B、C三点在同一直线上，HAB=2m,

8c=8m.他的眼睛离地面的高度1.6m,则树的高度。为_m.

D

【分析】

PAAB

利用AEABsXDCB，可得----=----，可求DC—6.4即可

DCBC

【详解】

解：由题意可得：NEBA=NDBC,NEAB=/DCB,

椒MEABsADCB,

EAAB

贝|J——=—,

DCBC

"'AB=lm,8c=8m,AE=\.f>m,

,1.62

••一，

DC8

解得：DC=6.4m,

故答案为：6.4

【点睛】

本题考查相似三角形的实际应用，掌握性质三角形的判定与性质是解题关键.

变式15

15.如图，为了测量某古城墙的高度，数学兴趣小组根据光的反射定律，把一面镜

子放在离古城墙(CD)16m的点P处，然后观测者沿着直线DP后退到点8处.这

时恰好在镜子里看到城墙顶端C,并量得BP=3m.已知观测者目高/8=L5m,那

么该古城墙(CD)的高度是m.

c

,毒

【答案】8

【解析】

【分析】先证明继而得到绘=盥，代入求解即可二

DPBP

【详解】解：由题意知NCP£）=N4P8,NCDP=NABP=90。,

:.△CPDsXAPB,

,CDAB

''~DP~~BP'

.CD1.5

••---=---,

163

：.CD=8.

故答案为：8.

【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是找出相似的三角形.

题型十六

位似图形

定义：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线所在的直线相交于一点，对

应边互相平行（或在一条直线上），像这样的两个图形叫做位似图形.位似图形对

应边的比叫做位似比，位似是特殊的相似.

性质：如果两个图形位似，那么任意一对对应点到位似中心的距离之比都等于位似

比，任意•组对应边都互相平行（或在一条直线上），对应点连线的交点是位似中

心.位似图形对应角都相等.位似图形对应线段的比，高、周长的比等于相似

比.面积的比等于相似比的平方.

例16.下列相似图形不是位似图形的是

ABBC

AEE

【分析】

根据位似变换的概念判断即可.

【详解】

解：。中两个图形，对应边不互相平行，不是位似图形，

A.B、C中的图形符合位似变换的定义，是位似图形，

故选：D.

【点睛】

本题考查的是位似变换，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点,

对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形.

变式16

16.如图，四边形/8C。与四边形EEG”位似，位似中心是O,若。4：OE=1：3,

且四边形Z8CQ的周长为4,则四边形EFG”的周长为（）

A.12B.16C.20D.24

【答案】A

【解析】

【分析】根据位似的性质，可知两个四边形的周长之比也为1：3,即可得解.

【详解】解：由题知：。4：0£=1：3

,•,arADCB-JHGFE-_-jx4~-11Z?,9

故选4.

【点睛】本题考查了位似图形的性质，知道位似图形周长比等于相似比是解题的关

键.

题型十七

位似图形的坐标变化

位似变换中对应点的坐标的变化规律：

一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，新图形与原图形的相似比

为k,那么与原图形上的点(x,y)对应的位似图形上的点的坐标为(fcr,@)或(一

kx,一ky)

例17.在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为0(0,0)，4-2,-1),3(-1,-3),

△Q44与AOAB是关于点p为位似中心的位似图形.

(1)在图中标出位似中心尸的位置，并写出点P及点8的对应点用的坐标；

(2)以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出AO/8的一个位似△。4鸟，使它与

△OAB的位似比为2：1,并写出点8的对应点B2的坐标.

(1)画图见解析，P(-5,-l),5,(3,-5)

(2)画图见解析，B式-2,-6)

【分析】

(1)连接QO并延长与4/的延长线相交，交点即为位似中心P,再根据平面直角坐标系

写出点P和4的坐标;

(2)延长。/到4,使442=°/，延长08到使BB[=OB,连接外与，再根据平面

直角坐标系写出点鸟的坐标；

【详解】

解：⑴位似中心尸如图所示，。(一5,-1)出(3,-5)；

(2)△。4为如图所示，斗(一2,-6)；

VA

【点睛】

本题考查了利用位似变换作图，熟练掌握位似变换的性质准确找出对应点的位置是解题的关

键.

变式17

17.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面

直角坐标系并给出了格点A/BC(顶点为网格线的交点).

(1)画出A/BC关于y轴对称的△48C；

(2)以点。为位似中心，将作位似变换得到△4JC2,使得4为=2/8,

画出位似变换后的△482C2；

(3)4G和与。2之间的位置关系为.

【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)4G//&G或平行.

【解析】

【分析】(1)依据轴对称的性质，即可得到AZBC关于y轴对称的4G；

(2)把点/、B、C的横纵坐标都乘以2得到对应点4、&、C2的坐标，然后描点

即可得到冬G；

(3)通过连接43,先证乙型4=NB2AlM,再通过NC/2A=45O,ZC,J,M=45°,

即可求得ZC2524=NB24a,则/£//82c2.

【详解】(1)与G即为所求；

(2)△4842即为所求；

(3)如图，连接4鸟,

•；B2AHA{M

：.乙4%4=/B/'M

•：ZC2B2A=45°/C[A1M=45°

Z.ZAB2A}+ZC2B2A=NB2AM+ZC}A}M即ZC2S2J,=NB24cl

4C,//B2C2

故答案为4G"82G.

【点睛】本题考查了作图-位似变换和平行线得判定，作图-位似变换方法：先确定

位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，

确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的

图形.也考查了旋转变换.

实战练

is.若f=1，则?的值是—.

b3b

【答案】|4

【解析】

【分析】根据；=二设。=7人1=3左，再代入计算即可.

b3

【详解】

b3

...设a=7k,b=3k

.a-b7/c-3k_4

••~b―3

_4

故答案为§.

【点睛】本题考查分式求值，根据比例设参数是解题的关键.

1个如图，四边形ABCDs四边形EFGH,ZA=80°,ZC=90°,ZF=70°,则

【答案】8

【解析】

【分析】根据相似多边形的对应角相等可求解.

【详解】解：•.•四边形ABCDs四边形EFGH,ZA=80°,

.,.ZE=ZA=80°,

故选：B

【点睛】考查了相似多边形的性质，解题的关键是了解相似多边形的对应角相等,

难度不大.

2.0.如图，ZG：G0=3：1,BD：DC=2：3,则NE：4c的值是（）

C.3：2D.6：5

【答案】P

【解析】

【分析】过点。作。R//C4交BE于尸，如图，利用平行线分线段成比例定理，由

DE//CE得到整=整=：,则=由DR//4E得到爷=隼=爷斗

CEBC52AEAGAE3

则ZE=3D尸，然后计算蓝的值.

【详解】解：过点D作DF//C4交BE于F,如图，

-,-DF//CE,

.DF_BD

"~CE~~BC'

而BD:DC=2:3,

・,.—则CE=20b,

CE52

•：DFIIAE,

.DFDG

一万一行‘

-AG:GD=3:1,

DF1

---=—,贝!]AE=3DF,

AE3

AE3DF6

^=TDF=?-

2

AEtEC=6:5

故选：D.

【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线

段成比例.平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所截得的三角

形的三边与原三角形的三边对应成比例.

2.1.如图，已知/i〃/2〃/3，48=3,DE=4,BC=8,则。b=()

44

【答案】P

【解析】

【分析】根据平行分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可.

【详解】解：：/1〃/2〃/3,

ABDE

"~BC~~EF'

BP-=—.

8EF

32

解得：EF=],

3244

:.DF=DE+EF^4+—=—

33

故选：D.

【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是

解题的关键.

22.一个直角三角形木架的两条直角边的边长分别是30cm,40cm.现要做一个与

其相似的三角形木架，如果以60cm长的木条为其中一边，那么另两边中长度最大的

一边最多可达到（）

A.60cmB.75cmC.100cmD.120cm

【答案】C

【解析】

【分析】根据勾股定理求出斜边的长，以60cm长的木条为直角边，设相似的三角形

中斜边长为比加，利用相似三角形的对应边的比相等列分式方程，解方程即可得到

答案.

【详解】•.•直角三角形两条直角边分别是30cm,40cm,

斜边=J3()2+4()2=50)

♦.•要做一个与其相似的三角形木架，

两个三角形对应边成比例，

•.,直角三角形中斜边最大，

...以60cm长的木条为直角边，设相似的三角形中斜边长为我加，

则有2种情况，

0——=—,解得：x--100>

60x

„4050”0ru

②——----,解得：x=75,

60x

...另两边中长度最大的一边最多可达到100cm,

故选：C.

【点睛】本题考查了相似三角形的性质及勾股定理，利用相似三角形的性质即相似

三角形的对应边的比相等进行计算是解题的关键.

23.如图，下列条件能判定的是()

AD_DB

A.NABD=NCBD

AB_DA

2

C.AB=AD-AC~BC~~DC

【答案】C

【解析】

【分析】根据三角形相似的判定定理，逐一验证判断即可.

【详解】•:AADBSAABC,

：.ZABD=NACB,

工选项Z不符合题意；

ABAD=NCAB,

口ADAB

且---二---，

ABAC

AADBS"BC,

工选项8,。不符合题意，选项C符合题意;

故选C.

【点睛】本题考查了有公共角的两个三角形相似的条件，是条件开放型考题，熟练

运用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似是解题的关键.

24.如图，平行四边形ABCD中，E为CD延长线上一点，连接BE交AD于F,

则图中与4DEF相似（不包括本身）的三角形共有（）

【答案】8

【解析】

【分析】根据平行四边形的性质及相似三角形的判定方法进行分析即可.

【详解】解：•••ABCD是平行四边形

；.AD〃BC,AB〃DC,

AAEFD^AEBC,AABF^ADEF,

.•.共2对.

故选：B.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质及相似三角形的判定定理，解题的关键是熟

练掌握三角形的判断方法，属于中考常考题型.

25如图，强强同学为了测量学校一棵笔直的大树OE的高度，先在操场上点/处

放一面平面镜，从点A处后退1m到点B处，恰好在平面镜中看到树的顶部E点的

像；再将平面镜向后移动4m（即NC=4m）放在。处，从点。处向后退1.5m到点

。处，恰好再次在平面镜中看到大树的顶部E点的像，测得强强的眼睛距地面的高

度FB、GD为1.5m,已知点O,A,B,C,。在同一水平线上，且GDLOD,FBLOD,

EOVOD.求大树0E的高度.（平面镜的大小忽略不计）

【答案】12m

【解析】

【分析】根据题意得到△CDCSAEOC和△BAFS^OAE,利用相似三角形的对

应边的比相等列式计算即可.

【详解】解：由已知得，AB=\m,CD=\.5m,AC=4m,FB=GD=l.5m,NAOE

=ZABF=ZCDG=90°,NBAF=NOAE,ZDCG=ZOCE.

'：NBAF=ZOAE,ZABF=ZAOE,

:.△BAFSAOAE,

：.FB：AB=OE：OA,即1.5：1=OE：OA,

：.OE=l.5OA,

'：ZDCG=ZOCE,ZCDG=ZCOE,

:AGDCs^EOC,

：.GD；CD=OE：OC,即1.5：L5=OE：（OA+4）,

：.OE=OA+4,

,：OE=\.5OA,

1.504=04+4,