中值定理与导数应用

第二节洛必达法则第三章转化本节研究:洛必达法则lim

f

(x)

=

lim

f

(x)xfi

a

F

(x)

xfi

a

F¢(x)0定理1.一、0

型未定式证:x,

ax

x

,

a3)定理条件:推论1.x

fi

a推论2.F

¢(x)lim

f

(x)使用洛必达法则应注意的事项：0必须确保满足法则的条件方可使用！可以连续使用此法则.每次对分子和分母求导后要先进行化简整理,结合利用等价无穷小,对于有非零非无穷极限的因子,应把它分出求极限.每次应验证符合法则条件后再继续使用.并不是所有的0

型都能使用此法则求极限,从定理的条件可看出,此法则是后验型的:只有求导后的极限存在或无穷大时才可使用该法则.否则结论是不正确的.定理1目录上页下页返回结束例1.解:0

型0注意:

不是未定式不能用洛必达法则

!„例2.解:0

型0思考:1nlim

2nfi

¥p

-

arctan

n¥

型¥机动例3.

求解:0

型0机动目录上页下页返回结束sin

x

～

x原式=limxfi

0esin

x

(ex-sin

x

-1)eu

-1～

u=

limxfi

0x3x

-

sin

x=

limxfi

0x31

-

cos

x3x26=

1练习.求lim

tan

x

-x

.xfi

0

x2

sin

x3x~tan

x

-

x解:注意到原式

=

limxfi

023xsec2

x

-1=

limxfi

023xtan2

x=

limxfi

0sec2

x

=1+

tan2

x=

1300

型机动目录上页下页返回结束练习.求0

型0机动目录上页下页返回结束解:

先有理化,原式二、¥

型未定式¥定理2.lim

f

(x)

=

lim

f

(x)xfi

a

F

(x)

xfia

F

¢(x)证:1)lim

f

(x)

=

lim

f

(x)xfi

a

F

(x)

xfi

a

F¢(x)0

型02)k

„

0

,lim

f

(x)

=

lim

f

(x)xfi

a

F

(x)

xfi

a

F¢(x)\3)(证明略)说明:x

fi

ax

fi

a+,x

fi

-¥x

fi

¥

,0使用该法则的注意事项与0

型类似例4.解:¥¥

型例5.解:¥¥

型例5.x

px

pel

x=

0\

limxfi

+¥

elxx

p用夹逼准则kx

>

1机动lim

ln

x

=

0

(

p

>

0).xfi

+¥

x

px

plim

elx

=

0 (

p

>

0

,

l

>

0).xfi

+¥说明:x

fi

+¥ln

x

,+¥elx

(l

>

0)用洛必达法则„例如,极限不存在„=1例6.

求机动目录上页下页返回结束¥

型¥11cos

mx

mcos

nx

nsin

nxxfi

0+解:

原式

=

lim

sin

mx

n

sin

mxxfi0+=

m

lim

sin

nxxfi

0+=

m

lim

nxn

mx=1三、其他未定式:通分转化00¥¥0

¥取倒数转化001¥¥

0取对数转化例7.0

¥型解:¥

-

¥¥-¥型解:例8.通分转化00¥¥0

¥取倒数转化001¥¥

0取对数转化¥

-

¥例9.00

型解:利用例7通分转化00¥¥0

¥取倒数转化001¥¥

0取对数转化¥

-

¥例5目录上页下页返回结束通分转化00¥¥0

¥取倒数转化001¥¥

0取对数

转化¥

-

¥1例10.

求lim

x1-x

.xfi

11¥

型ln

x解:原式=lim

e1-xxfi

1lim

ln

x0

型0=

exfi

11-xlim

-1=

exfi

1

x=

e-1例5目录上页下页返回结束通分转化00¥¥0

¥取倒数转化001¥¥

0取对数

转化¥

-

¥1x

.例11.

求lim(1

+x)¥

0型ln(1+x)xxfi

+¥解:原式=lim

exxfi

+¥lim

ln(1+x)=

exfi

+¥¥

型¥lim

2x=

exfi

+¥

1+x=

e0

=1nn

=

en1

ln

nfi

1练习.法1分析:¥

0型法2-11

ln

nenn1

ln

neu

-1～

u内容小结洛必达法则0

型0¥

型¥1gff g

=1

1g

f1

-

1f

-

g

=

g

f

令

y

=

f

g取对数思考与练习lim

f

(x)g¢(x)f

(x)g(x)f

(x)~

xg(x)32分析:分析:3.~

xlimcos

x

=1xfi

0