等差数列的概念复习讲义

高二数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版选择性必修第二册)

第四章：数列

4.2.1等差数列的概念

【考点梳理】

考点一等差数列的概念

一般地，如果一个数列从第复项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列，

这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母a表示，公差可正可负可为零.

考点二等差中项的概念

由三个数a,A,h组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时，A叫做a与b的等差中项且2A="+A

考点三等差数列的通项公式

首项为公差为d的等差数列｛为｝的通项公式a„=a\+(n—\)d.

考点四从函数角度认识等差数列｛斯｝

若数列｛小｝是等差数列，首项为公差为“，

J

则an+(n—\)d=ndr[a\ld).

(I)点(小许)落在直线)，=公+3—J)上，这条直线的斜率为必在)，轴上的截距为&二a；

(2)这些点的横坐标每增加1,函数值增加正

等差数列的性质

考点一等差数列通项公式的变形及推广

设等差数列｛为｝的首项为⑶，公差为d,则

②a”=am+(n—m)d(m,〃GN*),

@d=~~〃eN*,且/w).

n-mMJ

其中，①的几何意义是点(〃，%)均在直线)=公+(0一切上.

②可以用来利用任一项及公差直接得到通项公式，不必求色.

③可用来由等差数列任两项求公差.

考点二等差数列的性质

1.若｛斯｝,｛儿｝分别是公差为d，d'的等差数列，则有

数列结论

{c+an]公差为d的等差数列（c为任一常数）

{c'an}公差为cd的等差数列（c为任一常数）

{〃“+2}公差为他的等差数列伙为常数，kWN*）

{pan+qbn}公差为诩土次二的等差数列（p,q为常数）

2.下标性质:在等差数列｛斯｝中，m+n=p+q（m,n,p,qGN*）,则4,”+。”=4>+&.

特别地，若机+”=2p（nz,n,pCN*）,则有即

3.在等差数列中每隔相同的项选出一项，按原来的顺序排成一列，仍然是一个等差数列.

4.等差数列｛斯｝的公差为则内0㈡｛斯｝为递增数列；

d<GQ｛a,,｝为递减数列；d=0-｛如｝为常数列.

【题型归纳】

题型一：利用定义法求等差数列的通项公式

1.（2021・广西•桂林中学高二开学考试）已知数列｛““｝满足q=；,

生用一〃+］，则。2021一（）

]D.」一

A.B.C.

2019202020212022

卜=2,%=1.若[

2.（2021・江苏•高二单元测试）在数列｛q｝中，c,为等差数列，则%=()

1

2

A.-B.-C.D.V2

323

3.（2021.广西师范大学附属外国语学校高二月考（理））已知数列｛。“｝满足4=（,

〃”+1—।»则.2023—()

%十1

]

A.----B.C.D-2024

202120222023

题型二：等差数列的通项公式及其应用

4.（2021•陕西•千阳县中学高二月考）记S“为等差数列｛4｝的前〃项和.若q+%=24,S6=48,则｛见｝的公差为

（）

A.1B.2

C.4D.8

5.（2021・全国•高二课时练习）已知（小｝是首项为1,公差为3的等差数列，如果即=2023,则序号〃等于（）

A.667B.668

C.669D.675

6.（2021•全国•高二单元测试）在数列也｝中，％=1,a„+l-3=a„,若凡=2020,贝1」〃=（）

A.671B.672C.673D.674

题型三：等差中项及应用

7.（2021•河南•高二月考）已知｛4｝是等差数列，且〃3-1是生和生的等差中项，则｛4｝的公差为（）

A.-2B.-1C.1D.2

8.（2021•全国•高二单元测试）在等差数列｛%｝中，出+。6=18-即），则4+6=（）

A.8B.12C.16D.20

9.（2021・全国•高二专题练习）在等差数列｛©?｝中，。|+〃4+。7=58,。2+。5+。8=44，则。3+。6+。9的值为（）

A.30B.27C.24D.21

题型四：等差数列性质的应用

10.（2021•河南•高二期中（理））在等差数列｛4｝中，4-%=2,%+%+2%）=24,则〃9等于（）

A.14B.12C.10D.8

11.（2021・贵州・凯里一中高二期中（理））在等差数列｛%｝中，4+2%+3。3+4%=100,则4+生+%+/+/=（）

A.100B.75C.50D.25

12.（2021•河南郑州•高二月考（理））已知正项等差数列｛为｝,若〃；+〃；=85,生+6=11，则〃“=（）

A.1B.2

C.〃D.2〃一1

题型五：等差数列的判定与证明

13.（2021•全国•高二课时练习）在数列｛斯｝中，ai=l,3anan-i+an-an-i=0（n>2,n£N*）.

（1）证明：数列是等差数列；

（2）求数列｛〃”｝的通项公式；

（3）若筋"+,22对任意的“N2恒成立，求实数2的取值范围.

14.（2021.全国•高二课时练习）已知数列｛斯｝满足%+1=一七，且m=3(〃WN*).

（1）证明：数列是等差数列；

（2）求数列｛小｝的通项公式.

15.（2021•江西•九江市第三中学高二期中（理））S,,为数列｛叫的前”项和，么为数列｛SJ的前”项积,己知

12,

---1--=1

s“bn-

（1）证明：数列也｝是等差数列；

（2）求数列的通项公式.

【双基达标】

一、单选题

16.（2022•全国•高三专题练习）在等差数列｛%｝中，0=2,公=3a3,则G等于（）

A.-2B.0C.3D.6

17.（2021・全国•高二课时练习）设数列｛为｝,出"｝都是等差数列，且m=25,7=75,s+历=100,那么数列｛斯+

小｝的第37项为（）

A.0B.37

C.100D.-37

18.（2021•新疆喀什•模拟预测）等差数列｛〃,7｝中，a\+3as+ai5=120,则2a9—00的值是（）

A.20B.22C.24D.8

19.（2021.四川眉山市彭山区第一中学高二开学考试）已知数列｛/｝满足可人=喜丁4=1,数列仍。满足4=1,

〃一如=L几⑵,则力8=（）

a”

A.64B.81C.80D.82

%叫-揪r

':伸将，,则%以=（）

｛〃“+1,一为偶数:

A.4039B.2021C.1011D.1010

21.（2021•全国高二课时练习）等差数列｛斯｝中,火+。6=4,则Iog2（20・2a2•…・2mo）=（）

A.10B.20C.40D.2+log25

22.（2021•北京・东直门中学高二月考）已知数列｛q』为等差数列，％=2,%=-4,那么数列｛〃“｝的通项公式为（）

A.an=-2H+10B.an=-2n+5

C.Cl=--M4-10D.u——〃+5

〃n2”2

2

23.（2021•河南新郑•高二月考（文））已知数列｛%｝中，6=:,%=%+%•%,则数列｛%｝的通项公式为（)

3「31

A.-------B.-------C2-"D.5_2〃

3H-13

24.（2021•全国•高二课时练习）设数列｛%｝满足ai=l,s=3,且2孙=（〃-1）斯_1+（〃+1）斯+1,则C120的值是（)

A.4-B.4-

55

4

C.4-D.4-

55

25.（2021.全国•高二课时练习）已知"一百+四’J‘则"的寸差中项为（

11

A.石B.0C•忑D-42

=2%(/£N

26.（2021•宁夏•六盘山高级中学高二月考（文））已知数列｛%｝的首项q=l,且各项满足公式4,M*),

则数列｛4｝的通项公式为（）

21

A.。〃=〃B.%=於C.…9D.

【高分突破】

一:单选题

27.（2021•全国•高二课时练习）下列选项中，为“数列｛q｝是等差数列”的一个充分不必要条件的是（）

A.2%=%+%（〃22）B.a；=%+]•%（“22）

C.数列｛%｝的通项公式为=2〃-3D.an+2-a„=an+｛-an_｝（n>2）

28.（2021•西臧・拉萨中学高二月考）在等差数列｛%｝中，6+3%+%=120,则3%-%的值为（）

A.6B.12

C.24D.48

29.（2021•全国•高二课时练习）设｛3｝是等差数列.下列结论中正确的是（）

A.若4|+42>0,则42+43>0B.若〃1+43<0,则0+“2<0

C.若0<41<〃2,则a2>D.若。1<0,则Q—0）（。2—〃3）>0

30.（2021・全国•高二专题练习）已知｛%｝,｛儿｝是两个等差数列，其中0=3,切=一3,且GO一历0=6,那么.0一

历o的值为（）

A.-6B.6C.0D.10

31.（2021・全国•高二课时练习）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，全书收集了246个数学问题，其中一个

问题为“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升.问中间二节欲均容各多少？”其中"欲均容'’的意思是：使容

量变化均匀，即由下往上均匀变细.该问题中由上往下数的第2节，第3节，第8节竹子的容积之和为（）

A.上17升B.72升C.1413升D.U109升

626633

32.（2021.福建省龙岩第一中学高二开学考试）用火柴棒按如图的方法搭三角形，按图示的规律搭下去，则第100

个图形所用火柴棒数为（）

二、多选题

33.（2021.全国.高二课时练习）关于等差数列，有下列四个命题，正确的是（）

A.若数列中有两项是有理数，则其余各项都是有理数

B.等差数列的通项公式是关于项数n的一次函数

C.若数列｛%｝是等差数列，则数列｛①“｝（%为常数）也是等差数列

D.若数列｛q｝是等差数列，则数列｛%｝也是等差数列

34.（2021•全国•高二课时练习）已知等差数列｛4｝满足q>0,且q+/+4+…+即”=。，则（）

A.4+4oi＞。B.%+40]＜。

C.。3+%=。D.“51＜”5()

35.（2021•全国•高二课时练习）在数列｛q｝中，若a；-a3=p（M>2,neN",P为常数），则称｛《,｝为等方差数

列，下列对等方差数列的判断正确的有（）

A.若｛4｝是等差数列，则｛%是等方差数列

B.数列｛（-1）”｝是等方差数列

C.若数列｛凡｝既是等方差数列，又是等差数列，则数列｛〃“｝一定是常数列

D.若数列｛%｝是等方差数列，则数列｛为｝（kwN*,左为常数）也是等方差数列

36.（2021•江苏・南京市第一中学高二期末）设5“是数列｛4｝的前"项和，q=l,an+l+S„Sn+l=0,则下列说法正确

的有（）

A.数列｛4｝的前八项和为S,=；

C.数列｛%｝的通项公式为4

D.数列｛q｝的最大项为％

37.（2021•江苏•高二专题练习）数列｛。,,｝满足4=1,对任意的〃eN卡都有=4+4+〃，则（）

,,111

A.数列｛4｝为等差数列B.7=---[

2“20162017

三、填空题

38.(2021•江苏・扬州中学高二期中)在数列｛%｝中，4=2,信=弧+五，则数列卜力的通项公式为.

39.(2021・全国•高二课时练习)在等差数列｛斯｝中，卬+公=2,G+m=8,则au+ai5=.

40.(2021.全国.高二课时练习)现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，

下面3节的容积共4升，则第5节的容积为升.

41.(2021•全国•高二课时练习)已知x>l,y>1,且Igx,2,igy成等差数列，则x