3样本区间估计

3样本区间估计对未知参数作区间估计就是确定两个统计量1(x1,x2，使得P1(x1,x2,01,xn)2(x1,x2,,xn),xn)1,xn)2(x1,x2,是预先给定的数.称随机区间1,2为的置信水平(可靠性)为1的置信区间。第三章参数估计区间估计:P1(x1,x2,,xn)2(x1,x2,,xn)1大样本估计小样本估计极限分布精确分布n=50n无要求任意总体正态总体N,2W2回顾：随机变量X具有数学期望，方差0X则称Y为X的标准化变量.由中心极限定理，若X1,X2,,Xn独立同分布，则2Xk1nkn近似n~N(0,1)Xk1nk近似~Nn,n21nXk2nk1~N(0,1)X~N,近似近似n/n目录前一页后一页退出第三章参数估计3.2大样本估计(n=50,对总体的分布无要求用极限分布进行参数的区间估计)极限分布1(中心极限定理)设X1,,Xn，独立同分布的随机变量序列，且EXk,DXk20,(k1,2,)EX,DXX2n,X~N(0,1),~N(0,1)近似S近似nn第三章参数估计3.2大样本估计(n=50,对总体的分布无要求用极限分布进行参数的区间估计)3.2.1用极限分布1对总体均值进行区间估计设(x1,x2,,xn)为抽自均值为方差为。2的总体的简单(x)随机样本则有:UX近似~N(0,1)2-Ua2Uan01,U,PUU或PUU1-(x)1.6450.10PU1.9600.050.012.576PUU1-2-Ua2UaPX-U/n1-PXU/nXU/n1XPU1-/nnn是的置信度为1的置信区间.随机区间[X-U,XU]第三章参数估计PXU/nXU/n1-的点估计为x绝对误差限为△=Uaon相对误差限为精度为A=1-△'可靠性为1-a的区间估计为:△Ua△==xnxx-△x+△2当总体方差未知时，用样本方差代替总体方差1n22(XX)n1i1i是一致估计.当总体方差2未知时，XU~N(0,1)S近似nXPU1-S/nPUU1-SPX-UnPXUS/nXUS/n1-随机区间[X-USn,XUSn]是的置信度为1的置信区间.第三章参数估计例3.1.设采用重复抽样从某林地的全部林木组成的总体抽取了n60株林木组成样本，样本的树高观测数据如下(单位：m)22.323.123.924.826.426.624.823.923.223.821.419.818.320.021.518.722.426.623.924.818.827.120.625.022.523.523.925.323.522.621.520.625.824.023.522.621.820.819.520.922.122.723.624.523.621.322.418.721.315.422.917.8试以95%的可靠性对该林地上的全部林木的平均高进行估计。19.120.319.8第三章参数估计解:计算样本的均值、均方差并查表x=22.145,S=2.524U0.05=1.96的点估计为x=22.145Sn=1.962.52460=0.639绝对误差限为△=U0.05相对误差限为0.639△===0.029x22.145精度为A=1-△'=1-0.029=0.971的区间估计为：x-△,x+△=[22.145-0.639,22.145+0.639]=[21.506,22.784]第三章参数估计例1续欲使估计精度提高到98%,问应至少再抽多少个样本单元？UaS1.962.524=124.76A=1n==xn(1-A)x1-0.9822.14522UaS需要再抽取125-60=65第三章参数估计置信度、置信区间、精度、样本容量之间的关系？1-a=UaanUa△==xnxA=1-△'(1)置信区间不唯一，在置信度固定的条件下，置信区间越短，估计精度越高.⑵在置信度固定的条件下，n越大，置信区间越短，估计精度越高.(3)在样本量n固定时，置信度越大，置信区间越长，估计精度越低.(4)在固定置信度时，要提高估计精度，就要增大样本量n.第三章参数估计极限分布2(中心极限定理)设X1,,Xn一独立同分布的随机变量序列，Xi~B(1,p),则中心极限定理：EXip,DXip(1p)p(1p)EXp,DX,nXp~N(0,1)p(1p)近似nw,pW例如，调查电视收视率。共需调查n户家庭，其中收看该电视节目的家庭数m是随机变量。设,X2,,Xn表示每户人家是否收看该节目。，nDmnp(1p)mXi~B(n,p)i1n1,收看Xi,i1,2,0,未收看Emnp若n充分大，则由中心极限定理mXi~B(n,p)~N(np,np(1p))i1n近似mXi~B(n,p)~N(np,np(1p))i1n近似所以mnpnp(1p)令mpnXi1mp近似n~N(0,1)p(1p)ninX,有ppp(1p)n近似近似~N(0,1)或者令Xw,pW有wWW(1W)n~N(0,1)第三章参数估计3.2.2~W1-W/n用极限分布2对总体频率进行区间估计近似w-W(x)N0,12-Uaw-WPUa=1-aW1-W/n2Uamw=代替Wn,wWw(1w)n近似~N(0,1)P|w-W|Uaw1-w/n=1-aPw-Uaw1-w/nWw+Uaw1-w/n=1-aPw-Uaw1-w/nWw+Uaw1-w/n=1-a第三章参数估计△=Uaw1-w/n△△=wA=1-△'1-aw-△w+△为估计某针阔混交林中阔叶林所占的比例火抽取200个观测点作观测,结果有68个点为有阔叶林的林地.试以95%的可靠性给出W区间估计.第三章参数估计解：计算样本的频率并查表W的点估计为w=0.34w(1-w)=1.96U0.05=1.960.340.66200w=0.34A=U0.05n△0.065△==0.1912w0.34=0.065绝对误差限为相对误差限为精度为A=1-△'=1-0.1912=0.8098W的区间估计为w-,w+=0.34-0.065,0.34+0.065=0.275,0.405第三章参数估计在上例中如要求估计精度提高为90%,可靠性仍为95%,问至少还需再抽取多少个样本?(1-w)w1A1-1-UwnwU1-w1.961-0.34n745.7(1-A)w(1-0.9)0.34需要再抽取746-200=54622第三章参数估计区