初中中考总复习数学《圆综合复习》（基础、提高）巩固练习、知识讲解

中考总复习：圆综合复习一巩固练习（基础）

【巩固练习】

一、选择题

1.如图，在。。中，OA=AB,OC±AB,则下列结论错误的是（）

A.弦AB的长等于圆内接正六边形的边长B.弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长

C.AC=BCD.ZBAC=30°

2.如图，。。的直径AB长为10,弦AC长为6,NACB的平分线交。。于D,则CD长为（）

A.7B.7&C.872D.9

第2题第3题

3.如图，AB是。0的弦，半径0C_LAB于点D,且AB=6cm,0D=4cm,则DC的长为（）

A.5cmB.2.5cmC.2cmD.1cm

4.已知：。。的半径为13cm,弦AB〃CD,AB=24cm,CD=10cm,则AB,CD之间的距离为（）

A.17cmB.7cmC.12cmD.17cm或7cm

5.（2015•西藏）已知。Ch与。。2相交，且两圆的半径分别为2cm和3cm,则圆心距O1O2可能是（）

A.1cmB.3cmC.5cmD.7cm

6.一个圆锥的侧面展开图是半径为1的半圆，则该圆锥的底面半径是（）

7.在。。中直径为4,弦AB=2J5,点C是圆上不同于A,B的点，那么/ACB度数为.

8.如图，AABC内接于。0,AC是。。的直径，/ACB=50°,点D是84c上一点，则/D=

9.如图，在aABC中，AB为。。的直径，/B=60°,ZC=70°,则/BOD的度数是度.

10.若两圆相切，圆心距是7,其中一圆的半径为10,则另一个圆的半径为.

11.(2015•盐城校级模拟)如图，将一个圆心角为120°,半径为6cm的扇形围成一圆锥侧面(OA、0B

重合)，则围成的圆锥底面半径是cm.

12.如图，在4X4的方格纸中(共有16个小方格)，每个小方格都是边长为1的正方形.0、A、B分别

是小正方形的顶点，则扇形0AB的弧长等于.(结果保留根号及五)

三、解答题

13.(2014秋•北京期末)如图，AB为的直径，直线1与。。相切于点C,过点A作AD_L1于点D,

交。0于点E.

(1)求证：ZCAD=ZBAC；

(2)若sinNBAC=WBC=6,求DE的长.

14.如图，AB是。。的直径，弦CD_LAB与点E,点P在。0上，Z1-ZC.

(1)求证：CB/7PD；

3

(2)若BC=3,sinP=-,求。。的直径.

5

15.如图，己知。01与。都过点A,AOi是。02的切线，交于点B,连接AB并延长交。。2于点

C,连接02c.

(1)求证：02cJ_06

(2)证明：AB•BC=202B・B0I；

(3)如果AB・BC=L2,02c=4,求A(h的长.

16.如图，在等腰梯形ABCD中，AD〃BC.0是CD边的中点，以0为圆心，0C长为半径作圆，交BC边

于点E.过E作EH_LAB,垂足为H.已知。。与AB边相切，切点为F.

⑴求证:OE〃AB；

(2)求证：EH=-AB；

2

BH14BH

(3)若——=-,求——的值.

BE4CE

【答案与解析】

一、选择题

1.【答案】D；

【解析】•/OA=AB=OB,；./A0B=60°.

又；C01AB,AZBOC=-ZAOB=lx60°=30°.

22

又ZB0C和ZBAC分别是对的圆心角和圆周角，

ZBAC=-ZBOC=-x30°=15°.

22

D错.

2.【答案】B；

【解析】连接AD,BD,由AB是。0的直径得NACB=NADB=90°,故NACD=NBCD=45°,BC=8,

AD=BD=5A/2.由△ACDs^OCB,得生=乌，即CO•CD=6X8=48.

COBC

由△DOBsaDBC,得乌=也，即OD•CD=5&x50=5O.

BdOD

：.CO•CD+OD•CD=(CO+OD)•CD=CD?=98.

CD=A/98=7V2.

3.【答案】D；

【解析】连接AO,由垂径定理知AO=!AB=3,

2

所以Rt^AOD中，AO=y]OD2+AD2=A/42+32=5.所以DC=OC-OD=OA-OD=5-4=1.

4.【答案】D；

[解析】如图，在RtAOAE中，OE=yJo^-AE2=V132-122=5(cm).

在RtaOCF中，OF=>JoC2-CF2=V132-52=12(cm).

EF=OF-OE=12-5=7(cm).

同理可求出0G=12(cm).

EG=5+12=17(cm).

则AB,CD的距离为17cm或7cm.

5.【答案】B；

【解析】两圆半径差为1,半径和为5,

两圆相交时，圆心距大于两圆半径差，且小于两圆半径和，

所以，符合条件的数只有B.

6.【答案】C；

【解析】圆锥底面的周长等于其侧面展开图半圆弧的长度，设圆锥底面圆的半径为r,

贝ij2万r='x2乃x1,

2

•_l

•・/r——.

2

二、填空题

7.【答案】120°或60°；

【解析】如图，过0作OD_LAB于D,

o

在RtZXODB中，OB=2,BD=~x2A/3=V3.

2

sinZDOB=—=—.

OB2

ZD0B=60°,：.ZA0B=60°X2=120°.

如图中点C有两种情况：

ZACB=工x120°=60°或ZACB=-(360°—120°)=120°.

22

8.【答案】40。；

【解析】VAC是。。的直径，

?.ZABC=90",ZA=40°,ZD=ZA=40°.

9.【答案】100；

【解析】在aABC中，ZA=180°-ZB-ZC=180°-60°-70°=50°,

OA=OD,二/0DA=NA=50°,ZB0D=ZA+Z0DA=100°.

10.【答案】3或17；

【解析】显然两圆只能内切，设另一圆半径为r,则"-10|=7,二r=3或17.

11.【答案】2；

【解析】设此圆锥的底面半径为r,

根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得，2nr」20兀.6,厂2金.

180

故答案为2.

12.【答案】叵兀；

【解析】ZA0B=45°+45°=90。，0A=V22+22=272.

三、解答题

13.【答案与解析】

(1)证明：连接OC,

D

E

••CD为。。的切线,

OC±CD,

AD_LCD,

■,OCIIAD,

ZCAD=ZACO.

又；OC=OA,

ZACO=ZOAC,

ZCAD=ZOAC,

即NCAD=ZBAC.

(2)过点B作BFJ_1于点F,连接BE,

AB为。O的直径，

ZAEB=90°,

又AD_L1于点D,

ZAEB=ZADF=ZBFD=90°,

四边形DEBF是矩形，

DE=BF.

AB为。O的直径，

ZACB=90°,

ZACD+ZBCF=90°.

•••ZADC=90°,

ZACD+ZCAD=90°,

ZBCF=ZCAD.

ZCAD=ZBAC,

ZBCF=ZBAC.

在RSBCF中，BC=6,

sinzBCF=^=sinZBAC=£

BC5

BF=

•-15BC-5'

DE=BF=2

5

14.【答案与解析】

(1)证明：,/BD=BD,：.ZBCD=ZP.

又：Z1=ZBCD,,Z1=ZP.

CB〃PD.

(2)解：连接AC.

AB为。。的直径，.•./ACB=90°.

又；CD1AB,，BC=BD.

ZA=ZP,；.sinA=sinP.

在RtZXABC中，sinA=---,

AB

3BC_3

sinP=—,~AB~5

5

又：BC=3,AB=5,

即。。的直径为5.

15.【答案与解析】

⑴证明：：AOi是。0?的切线，,OiA_LAOz,

Z02AB+ZBA0I=90°.

又02A=OzC,OiA=OiB,

,Z02CB=Z02AB,Z02BC=ZAB0I=ZBA0I.

...Z02CB+Z02BC=Z02AB+ZBA0I=90°.

O2C±O2B,即OzCLOQz.

(2)证明：延长(M)“交。Oi于点D,连接AD.

BD是OOi的直径，

ZBAD=90".

又由(1)可知NB0£=90°,

NBAD=/B02C,又/ABD=/()2BC,

.O2BBC

"益一茄.

AB-BC=O2B•BD.又BD=2B0”

:.AB•BC=20?B•BO,.

⑶解:由⑵证可知ND=NC=N02AB,即ND=N02AB.

又/A0ZB=/D02A,

/.AA02B^AD02A.

.AO2O2B

DO202A

:.AO2=O2B•02D.

O2C=O2A,

02c2=O2B•02D.①

又由(2)AB•BC=O2B-BD.②

由①一②得2即=。

02c2-A3•BC=O2B,42-12262.

:.02B=2,又02B•BD=AB•BC=12,

:.BD=6.

:.2A0i=BD=6,

・・・A0i=3.

16.【答案与解析】

(1)证明：在等腰梯形ABCD中，AB=DC,AZB=ZC.

,:0E=0C,,Z0EC=ZC.

・・・ZB=Z0EC.・・・0E〃AB.

(2)证明：连接OF,如图.

。。与AB切于点F,I.0F1AB.

,/EII1AB,・・・OF〃EH.

又丁OE〃AB,I.四边形OEHF为平行四边形.

・・・EH=OF.

•••OF=-CD=-AB,

22

EH=-AB.

2

⑶解:连接DE,如图.

,/CD是直径，/DEC=90°.

ZDEC=ZEI1B.

又•:/B=NC,AEHB^-ADEC.

BHBE

~CE~^D'

BH1n,

---=一，设BH=k,

BE4

BE=4k,EH=ylBE2-BH2=715k,

CD=2EH=2V15k.

BH_4k2V15

CE—2岳「15

中考总复习：圆综合复习一巩固练习（提高）

【巩固练习】

一、选择题

1.（2015•杨浦区三模）已知半径分别是3和5的两个圆没有公共点，那么这两个圆的圆心距d的取值

范围是（）

A.d>8B.d>2C.0Wd<2D.d>8或d<2

2.如图，等腰梯形ABCD内接于半圆I）,且AB=1,BC=2,则0A=（）

1+百亚3+/1+亚

.--------------D.7乙------U.--------

232

3.如图，在Rt/XABC中，NC=90°,/B=30°BC=4cm,以点C为圆心，以2cm的长为半径作圆,

则。C与AB的位置关系是（）

A.相离B.相切C.相交D.相切或相交

4.已知圆6、圆的半径不相等，圆。的半径长为3,若圆上的点A满足AOi=3,则圆Oi与圆Oz的

位置关系是（）

A.相交或相切B.相切或相离C.相交或内含D.相切或内含

5.如图所示，在圆0内有折线0ABC,其中0A=8,AB=2,NA=/B=60°,则BC的长为（）

A.19B.16C.18D.20

6.如图，MN是半径为0.5的。。的直径,点A在。0上，NAMN=30°,B为AN弧的中点，P是直径MN

A.---B.>/2C.1D.2

2

二、填空题

7.如图，分别以A,B为圆心，线段AB的长为半径的两个圆相交于C,D两点，则NCAD的度数为.

8.如图，现有圆心角为90°的一个扇形纸片，该扇形的半径是50cm.小红同学为了在圣诞节联欢晚会

上表演节目，她打算剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作成一个底面半径为10cm的圆锥形纸帽（接

9.如图，AB±BC,AB=BC=2cm,0A与OC关于点0中心对称，则AB、BC、CO,0A所围成的面积

是cnf.

10.如图，以。为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，C为切点，若两圆的半径分别为3

cm和5cm,贝！IAB的长为cm.

11.将半径为4cm的半圆围成一个圆锥，在圆锥内接一个圆柱(如图所示)，当圆柱的侧面的面积最大

时，圆柱的底面半径是cm.

12.(2015•安徽模拟)如图，在aABC中，NABC和NACB的平分线相交于点0,过点0作EF〃BC交AB

于E,交AC于F,过点0作ODJ_AC于D.下列四个结论：

①NB0C=90°+1ZA；②以E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切；③设OD=m,

2

AE+AF=n,则SAM尸mn；④EF是△ABC的中位线.其中正确的结论是.

三、解答题

13.(2015•滕州市校级模拟)如图，已知点E在AABC的边AB上，ZC=90°,/BAC的平分线交BC于

点D,且D在以AE为直径的上.

(1)证明：BC是。0的切线；

(2)若DC=4,AC=6,求圆心0到AD的距离；

(3)若tan/DAC="|，求寻的值.

ot>u

14.如图，在RtaABC中，ZABC=90°,斜边AC的垂直平分线交BC于点D,交AC于点E,连接BE.

(1)若BE是ADEC外接圆的切线，求NC的大小；

(2)当AB=1,BC=2时,求aDEC外接圆的半径.

15.如图，。。是AABC的外接圆，FH是。0的切线，切点为F,FH〃BC,连接AF交BC于E,NABC的

平分线BD交AF于D,连接BF.

(1)证明:AF平分NBAC；

(2)证明:BF=FD；

(3)若EF=4,DE=3,求AD的长.

16.如图，已知：AC是。0的直径，PA±AC,连接OP,弦CB〃OP,直线PB交直线AC于D,BD=2PA.

(1)证明：直线PB是。。的切线；

(2)探究线段P0与线段BC之间的数量关系，并加以证明；

(3)求sin/OPA的值.

【答案与解析】

一、选择题

1.【答案】D:

【解析】没有公共点的两个圆的位置关系，应该是内含和外离，

当内含时，这两个圆的圆心距d的取值范围是d<R-r,即d<2；

当外离时，这两个圆的圆心距d的取值范围是d>R+r,即d>8.

故选D.

2.【答案】A；

【解析】作BELAD,CF±AD,垂足分别是E,F,连接BD,

B__________r

AEOFD

贝|JAE=DF,ZABD=90°,EF=BC=2,

设AE=x,则AD=2+2x.

AR

由△ABEsAADB可得一=——，

ABAD

解得x=T心.

12+2x

AD=2+2x=1+£,则OA=--------

2

3.【答案】B；

【解析】如图，过C作CD_LAB于D,

在RtZ\CBD中，BC=4cm,NB=30°,

,CD=-BC=-x4=2(cm).

22

又。C的半径为2cm,

d=r.

直线AB与。C相似.

4.【答案】A；

【解析】因为A0i=3,所以点A在圆。上，又因为点A在圆亮上,

所以圆与圆的位置关系是相交或相切.

5.【答案】D；

【解析】延长A0交BC于D点，过0作OELBD于E.

•:ZA=ZB=60°,；.ZADB=60°.

Z\DAB是等边三角形，BD=AB=12.

在RtZ\ODE中，0D=12-8=4,Z0DE=60°，

DE=OD•cos600=4x-=2,BE=10,故BC=2BE=2X10=20.

2

6.【答案】A；

【解析】过B作BB'_LMN交。0于B',连接AB'交MN于P,此时PA+PB=AB'最小.

连A0并延长交。0于C,连接CB',在RtaACB'中，AC=1,ZC=-x90°=45°,

2

=ACsin45°=lx—=—

22

二、填空题

7.【答案】120°；

【解析】连接BC,BD,则AABC与△ABD都是等边三角形，故NCAB=NDAB=60°,

所以NCAD=60°+60°=120°.

8.【答案】18；

【解析】设被剪去的扇形纸片的圆心角为0度，

则由题意丝辿生x50=2x乃X10.

180

，9=18.

9.【答案】2；

【解析】连接AC,因为0A与0c关于点。中心对称，所以A,0,C三点共线，S弧形AO=S弧形°，

所以所求圆形的面积=4ABC的面积=LAB・BC='x2x2=2(cm2).

22

10.【答案】8；

【解析】连接0C,0A,则0C垂直平分AB,由勾股定理知—OC?=,52—32=4,

所以AB=2AC=8.

11.【答案】1;

【解析】如图是几何体的轴截面，由题意得0D=0A=4,2nCD=4n,

则OC=yjoCr-CCT=V42-22=273.

设EF=x,EC=y,由△OEFs/\OCD得」=2“二”,

22G

•*.y——2.-j3->/3x.

S圆柱便］而积=2%肛=2W(2G-V3x)=-26%，-2x)=-2A/3^(X-I)2+2&兀.

当x=l时，S有最大值26乃.

12.【答案】①②;

【解析】如图

VZABC和/ACB的平分线相交于点0,

.,.ZABC=2Z1,ZACB=2Z2,

而NABC+NACB+/A=180°,

.,.2Z1+2Z2+ZA=18O°,

/.Zl+Z2=90o-1ZA,

2

又：/1+/2+/8(«：=180°,

.•.180°-ZB0C=90o-1ZA,

2

AZB0C=90°+1ZA,所以①正确；

：EF〃BC,

/.Z1=Z3,/2=/4,

而Nl=NEB0,Z2=ZFC0,

/.ZEB0=Z3,Z4=ZFC0,

.,.EB=E0,FC=F0,

：.BE+FC=EF,

...以E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切，所以②正确；

连0A,过。作0GLAE于G,如图，

•.•点0为^ABC的内心，

...0A平分NBAC,

:.0G=0D=m,

/•SAAEF=SAOAE+SAOAi-=~AE*m+-lAFeni=i(AE+AF)•ni=-lmn,所以③不正确；

2222

VEB=E0,FC=F0,

若EF是AABC的中位线，则EB=AE,FC=AF,

AAE=E0,AF=F0,

・・・AE+AF=E0+F0=EF,这不符合三角形三边的关系，所以④不正确.

故答案为：①②.

三、解答题

13.【答案与解析】

解：(1)连接0D,

••1AD平分NBAC,

ZBAD=ZDAC,

•••OA=OD,

ZBAD=ZODA,

ZODA=ZDAC,

ACIIOD,

ZC=90°,

ZODC=90°,

即BC是00的切线.

(2)在RtAADC中，ZACD=90°,由勾股定理,

得:AD=7AC2+DC2=V62+42=2V13,

作OF_LAD于F,根据垂径定理得知日仙印^

可证△AOF-△ADC

.OFAF.OFV13

"DC^AC''T=6

o__

OF下压；

(3)连接ED,

AD平分NBAC,

ZBAD=ZDAC,

AE为直径，

ZADE=90°,

在RtAAED中，tanzEAD=^3=tanZDAC=2,

AD3

•••ZAED=90°,

ZEDB+ZADC=90°,

ZDAC+ZADC=90°,

:.ZEDB=NDAC=NEAD,

,/ZB=ZB,

△BED—△BDA»

.BE_DE_2

"BD^AD^3'

14.【答案与解析】

(1)VDE垂直平分AC,；./DEC=90°.

DC为ADEC外接圆的直径.

DC的中点0即为圆心.

连接0E,又知BE是。。的切线，

ZEB0+ZB0E=90°.

在RtAABC中，E是斜边AC的中点，

BE=EC.

ZEBC=ZC.

又：NBOE=2/C,Z./C+2NC=90°.

ZC=30°.

(2)在RtAABC中，AC=ylAB2+BC2=45,

：.EC=-AC=~.

22

ZABC=ZDEC=90°,AABC^ADEC.

.ACBC.5

••=.••=—.

DCEC4

ZWEC外接圆的半径为

8

15.【答案与解析】

⑴证明:连接OF.

FH是。。的切线，

0FXFH.

FI1/7BC,

OF垂直平分BC.

:.BF=FC.

：.AF平分NBAC.

(2)证明：由⑴及题设条件可知

Z1=Z2,Z4=Z3,Z5=Z2,

/l+N4=/2+/3.

Z1+Z4=Z5+Z3,即NFDB=FBD.

BF=FD.

⑶解:在4BFE和4AFB中,

•.*Z5=Z2=Z1,ZBFE=ZAFB,

JABFE^AAFB.

.BFAF

FEBF

FAzi_竺

~4~T

3竺-73

44

16.【答案与解析】

(1)证明：连接0B.

BC〃OP,

ZBCO=ZPOA,ZCBO=ZPOB.

又；OC=OB,二ZBCO=ZCBO.

ZPOB=ZPOA.

又：PO=PO,OB=OA,

APOB^APOA.

/PB0=/PA0=90°.

PB是。0的切线.

3

⑵解:2PO=3BC.(写PO=-BC亦可)

2

证明：APOB^APOA,PB=PA.

BD=2PA,BD=2PB.

BC〃PO,；.ADBC^ADPO.

.BCBD2

"~PO~~PD~1>'

：.2PO=3BC.

(3)解：ADBC^ADPO,

/①即。c=2。。,

DOPD33

DC=2OC.

设OA=x,PA=y,则OD=3x,OB=x,BD=2y.

在RSOBD中，由勾股定理，得(3x)2=x?+(2y)2,Bp2x2=y2.

,:x>0,y>0,

/.y=y[lx,OP=yjx2+y2=yj?>x.

OA_x_\y/3

sinZOPA

op一石一忑一石

中考总复习：圆综合复习一知识讲解（基础）

责编：常春芳

【考纲要求】

1.圆的基本性质和位置关系是中考考查的重点，但圆中复杂证明及两圆位置关系中证明定会有下降趋

势，不会有太复杂的大题出现；

2.今后的中考试题中将更侧重于具体问题中考查圆的定义及点与圆的位置关系，对应用、创新、开放探

究型题目，会根据当前的政治形势、新闻背景和实际生活去命题，进一步体现数学来源于生活，又应用

于生活.

【知识网络】

【考点梳理】

考点一、圆的有关概念

1.圆的定义

如图所示，有两种定义方式：

①在一个平面内，线段0A绕它固定的一个端点。旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形

叫做圆.固定的端点0叫做圆心，以0为圆心的圆记作。0,线段0A叫做半径；

②圆是到定点的距离等于定长的点的集合.

要点诠释：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小.

2.与圆有关的概念

①弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦；如上图所示线段AB,BC,AC都是弦.

②直径：经过圆心的弦叫做直径，如AC是。。的直径，直径是圆中最长的弦.

③弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，如曲线BC、BAC都是。。中的弧，分别记作BC,

BAC.

④半圆：圆中任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆，如AC是半圆.

⑤劣弧：像8C这样小于半圆周的圆弧叫做劣弧.

⑥优弧：像这样大于半圆周的圆弧叫做优弧.

⑦同心圆：圆心相同，半径不相等的圆叫做同心圆.

⑧弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形.

⑨等圆：能够重合的两个圆叫做等圆.

⑩等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.

⑪圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角，如上图中/AOB,/BOC是圆心角.

⑫圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角，如上图中/BAC、NACB都是圆周角.

考点二、圆的有关性质

1.圆的对称性

圆是轴对称图形，经过圆心的直线都是它的对称轴，有无数条.圆是中心对称图形，圆心是对称中

心，又是旋转对称图形，即旋转任意角度和自身重合.

2.垂径定理

①垂直于弦的直径平分这条弦，且平分弦所对的两条弧.

②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.如图所示：

要点诠释：在图中⑴直径CD,(2)CD±AB,(3)AM=MB,(4)AC=BC,(5)AD=BD.若上述5个

条件有2个成立，则另外3个也成立.因此，垂径定理也称“五二三定理”.即知二推三.

注意：(1)(3)作条件时，应限制AB不能为直径.

3.弧、弦、圆心角之间的关系

①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；

②在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相

等.

4.圆周角定理及推论

①圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一

半.

②圆周角定理的推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.

要点诠释：圆周角性质的前提是在同圆或等圆中.

考点三、与圆有关的位置关系

1.点与圆的位置关系

如图所示.d表示点到圆心的距离，r为圆的半径.点和圆的位置关系如下表：

点与圆的位置关系d与r的大小关系

点在圆内d<r

点在圆上d=r

点在圆外d>r

要点诠释：

(1)圆的确定：

①过一点的圆有无数个，如图所示.

②过两点A、B的圆有无数个，如图所示.

③经过在同一直线上的三点不能作圆.

④不在同一直线上的三点确定一个圆.如图所示.

------7

c

(2)三角形的外接圆

经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个.经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接

圆.三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.这个三角形叫做这个圆的内接三角形.三角形的外心

就是三角形三条边的垂直平分线交点.它到三角形各顶点的距离相等，都等于三角形外接圆的半径.如

图所示.

2.直线与圆的位置关系

①设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离，直线与圆的位置关系如下表.

②圆的切线.

切线的定义：和圆有唯一公共点的直线叫做圆的切线.这个公共点叫切点.

切线的判定定理：经过半径的外端.且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

友情提示：直线/是。0的切线，必须符合两个条件：①直线/经过。。上的一点A；②0A，/.

切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.

切线长定义：我们把圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长.

切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两

条切线的夹角.

③三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形内切圆的圆心叫做三角形

的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形，三角形的内心就是三角形三个内角平分线的交点.

要点诠释：

找三角形内心时，只需要画出两内角平分线的交点.

三角形外心、内心有关知识比较

图形名称确定方法性质

外心（三三角形三①OA=OB=

角形外边垂直平0。②外心不

接圆的分线的一定在三角形

圆心）交点的内部

A内心（三三角形三

角形内个内角平②CM、QB、CC分

切圆的分线的别平分N&C、

D圆心）交点

3.圆与圆的位置关系

在同一平面内两圆作相对运动，可以得到下面5种位置关系，其中R、r为两圆半径（R》r）.d为圆

心距.

位置关系图形公共点个数R、r与d的关系

外离衰0d>R+r

外切G1cl=R+r

相交2R—r<Cd<R+，

内切(f)1d=R-r

内含(g)0dVR-r

要点诠释：

①相切包括内切和外切，相离包括外离和内舍.其中相切和相交是重点.

②同心圆是内含的特殊情况.

③圆与圆的位置关系可以从两个圆的相对运动来理解.

④“n-m”时，要特别注意，n>r2.

考点四、正多边形和圆

1.正多边形的有关概念

正多边形的外接圆（或内切圆）的圆心叫正多边形的中心.外接圆的半径叫正多边形的半径，内切圆

的半径叫正多边形的边心距，正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等，这个角叫正多边形的中心角,

正多边形的每一个中心角都等于随.

n

要点诠释：

通过中心角的度数将圆等分，进而画出内接正多边形，正六边形边长等于半径.

2.正多边形的性质

任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两圆是同心圆.正多边形都是轴对称图形，偶

数条边的正多边形也是中心对称图形，同边数的两个正多边形相似，其周长之比等于它们的边长（半径

或边心距）之比.

3.正多边形的有关计算

定理：正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形.

正n边形的边长a、边心距r、周长P和面积S的计算归结为直角三角形的计算.

360°a“=2R-sin幽

nn

心片+国,P„=n.an,S„〃=g匕.4.

考点五、圆中的计算问题

1.弧长公式：1=出,其中/为n°的圆心角所对弧的长，R为圆的半径.

180

2.扇形面积公式：5旧=竺”，其中S周=!/R.圆心角所对的扇形的面积，另外■东.

川360扇2扇2

3.圆锥的侧面积和全面积：

圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的半径等于圆锥的母线长，弧长等于圆锥底面圆的周长.

圆锥的全面积是它的侧面积与它的底面积的和.

要点诠释：

在计算圆锥的侧面积时要注意各元素之间的对应关系，千万不要错把圆锥底面圆半径当成扇形半径.

考点六、求阴影面积的几种常用方法

（1）公式法；（2）割补法；（3）拼凑法；（4）等积变形法；（5）构造方程法.

【典型例题】

类型一、圆的有关概念及性质

.（2015•石景山区一模）如图，A,B,E为。。上的点，。0的半径0CLAB于点D,若/CEB=30°,

0D=l,则AB的长为（）

A.5/3B.4C.2^3D.6

【思路点拨】

连接OB,由垂径定理可知，AB=2BD,由圆周角定理可得，ZC0B=60o,在Rt^DOB中，0D=l,则

BD=lXtan600=F，故AB=2仃

【答案】c；

【解析】

连接0B,

：AB是。0的一条弦，0C1AB,

•,.AD=BD,即AB=2BD,

VZCEB=30°,

.,.ZC0B=60°,

VOD=1,

/.BD=1Xtan60°=5/3-

•,.AB=2«,

故选C.

【总结升华】弦、弦心距，则应连接半径，构造基本的直角三角形是垂径定理应用的主要方法.

举一反三：

【变式】如图，。0的直径CD=5cm,AB是。0的弦，AB1CD,垂足为M,OM：0D=3：5.则AB的长是（）

A、2cmB、3cmC、4cmD>2"icm

【答案】

解：连接OA,

；CD是。。的直径，AB是。0的弦，ABXCD,

/.AB=2AM,

CD=5cm,

OD=OA=—CD=-X5=—cm,

222

VOM：0D=3：5,

=y/oA2-OM2=J(g)2_g)2=2,

，在RtZXAOM中,AM

/.AB=2AM=2X2=4cm.

故选c.

类型二、与圆有关的位置关系

C2.如图所示，已知AB为。0的直径，直线BC与。0相切于点B,过A作AD/70C交于点D,

连接CD.

(1)求证：CD是。。的切线；

(2)若AD=2,直径AB=6,求线段BC的长.

【思路点拨】

要证明DC是。。的切线，因为点D在。0上，所以连接交点与圆心证垂直即可.

【答案与解析】

(1)证明：如图(2),连接0D.

AD/70C,二N1=N3,/2=/A,

，OA=OD,

/3=/A,Nl=/2.

,/OD=OB,OC=OC.

ACOD^ACOB,

ZCDO=ZCBO=90°,

/.CD是OO的切线.

(2)

(2)解：连接BD,：AB是00的直径,

/ADB=90°.

在ADAB和aBOC中，

ZADB=ZOBC,/A=/2,

ADBD

△ADABA^ABOC,——=——

OBBC

OB•BD

BC=

-AD

在Rt^DAB中，由勾股定理得

BD=^AB2-AD2=V62-22=472.

...BC=3x4立=6血.

2

【总结升华】

如果已知直线经过圆上一点，那么连半径，证垂直；如果已知直线与圆是否有公共点在条件中并没

有给出，那么作垂直，证半径.

举一反三：

【变式】如图所示，已知CD是△ABC中AB边上的高，以CD为直径的。0分别交CA、CB于点E、F,点

G是AD的中点.求证：GE是。。的切线.

证法1：连接0E、DE(如图(D).

CD是。。的直径，

NAED=NCED=90°.

G是AD的中点，.IEG=-AD=DG.

2

Z1=Z2.

,/0E=0I),/.N3=N4.

Z1+Z3=Z2+Z4,

即/OEG=NODG=90°.

GE是。0的切线.

(1)(2)

证法2：连接OE、ED(如图⑵).

在aADC中，ZADC=90°,

:.ZA+ZACD=90°.

又•:CD是。。的直径，

:.ZAED=ZCED=90°.

在4AED中，ZAED=90°,G是AD中点,

:.AG=GE=DG,:.ZA=ZAEG.

又；OE=OC,I.ZOEC=ZACD.

又ZA+ZACD=90°,

・・・ZAEG+Z0EC=90°.

・•.Z0EG=90°,OE±EG.

・・・GE是。。的切线.

类型三、与圆有关的计算

C3.在一节数学实践活动课上，老师拿出三个边长都为5cm的正方形硬纸板，他向同学们提出

了这样一个问题：若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上，用一个圆形硬纸板将其盖住，这样的圆形

硬纸板的最小直径应有多大？问题提出后，同学们经过讨论，大家觉得本题实际上就是求将三个正方形

硬纸板无重叠地适当放置，圆形硬纸板能盖住时的最小直径.老师将同学们讨论过程中探索出的三种不

同摆放类型的图形画在黑板上，如下图所示：

(1)通过计算(结果保留根号与“).

(I)图①能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径应为cm；

(II)图②能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为cm；

(III)图③能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为cm；

(2)其实上面三种放置方法所需的圆形硬纸板的直径都不是最小的，请你画出用圆形硬纸板盖住三个

正方形时直径最小的放置方法，(只要画出示意图，不要求说明理由)，并求出此时圆形硬纸板的直径.

【思路点拨】

(1)(I)连接正方形的对角线BD,利用勾股定理求出BD的长即可；

(II)利用勾股定理求出小正方形对角线的长即可；

(III)找出过A、B、C三点的圆的圆心及半径，利用勾股定理求解即可；

(2)连接OB,ON,延长OH交AB于点P,则OP_LAB,P为AB中点，设0G=x,则0P=10-x,再根据勾

股定理解答.

【答案与解析】

解：(1)(I)如图连接BD,

①

AD=3X5=15cm,AB=5cm,

，BD=山式田WJHicm；

（II）如图所示，

②

三个正方形的边长均为5,

...A、B、C三点在以0为圆心，以0A为半径的圆上，

OA=V52+5a=5V5cm,

•••能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为10V5cm；

CE±AB,AC=BC,

CE是过A、B、C三点的圆的直径，