高中数学专题训练一-抽象函数

./高中数学专题训练〔一——抽象函数1.已知函数y=f<x><x∈R,x≠0>对任意的非零实数,,恒有f<>=f<>+f<>,试判断f<x>的奇偶性。2已知定义在[-2,2]上的偶函数,f<x>在区间[0,2]上单调递减,若f<1-m><f<m>,求实数m的取值范围3.设f<x>是R上的奇函数,且f<x+3>=-f<x>,求f<1998>的值。4.设函数f〔x对任意都有f〔=f〔,已知f〔1=2,求f〔5.已知f〔x是定义在R上的函数,且满足：f〔x+2[1－f〔x]=1+f〔x,f〔1=1997,求f〔2001的值。6.设f〔x是定义R在上的函数,对任意x,y∈R,有f〔x+y+f〔x-y=2f〔xf〔y且f〔0≠0.〔1求证f〔0=1；〔2求证：y=f〔x为偶函数.7.已知定义在R上的偶函数y=f<x>的一个递增区间为〔2,6,试判断〔4,8是y=f<2-x>的递增区间还是递减区间？8.设f〔x是定义在R上的奇函数,且对任意a,b,当a+b≠0,都有＞0〔1.若a＞b,试比较f〔a与f〔b的大小；〔2.若f〔k＜0对x∈[－1,1]恒成立,求实数k的取值范围。9.已知函数是定义在〔-∞,3]上的减函数,已知对恒成立,求实数的取值范围。10．已知函数当时,恒有.<1>求证:是奇函数;<2>若.11.已知是定义在R上的不恒为零的函数,且对于任意的都满足:.<1>求的值;<2>判断的奇偶性,并证明你的结论;<3>若,,求数列{}的前项和.12.已知定义域为R的函数满足.<1>若<2>设有且仅有一个实数,使得,求函数的解析表达式.13.已知函数的定义域为R,对任意实数都有,且,当时,>0.<1>求;<2>求和;<3>判断函数的单调性,并证明.14.函数的定义域为R,并满足以下条件:①对任意,有>0;②对任意,有;③.<1>求的值;<2>求证:在R上是单调减函数;<3>若且,求证:.15.已知函数的定义域为R,对任意实数都有,且当时,.<1>证明:;<2>证明:在R上单调递减;<3>设A=,B={},若=,试确定的取值范围.16.已知函数是定义在R上的增函数,设F.<1>用函数单调性的定义证明:是R上的增函数;<2>证明:函数=的图象关于点<成中心对称图形.17.已知函数是定义域为R的奇函数,且它的图象关于直线对称.<1>求的值;<2>证明:函数是周期函数;<3>若求当时,函数的解析式,并画出满足条件的函数至少一个周期的图象.18．函数对于x>0有意义,且满足条件减函数。〔1证明：；〔2若成立,求x的取值范围。19．设函数在上满足,,且在闭区间［0,7］上,只有．〔1试判断函数的奇偶性；〔2试求方程=0在闭区间［-2005,2005］上的根的个数,并证明你的结论．20.已知函数f〔x对任意实数x,y,均有f〔x＋y＝f〔x＋f〔y,且当x＞0时,f〔x＞0,f〔－1＝－2,求f〔x在区间[－2,1]上的值域。21.已知函数f〔x对任意,满足条件f〔x＋f〔y＝2+f〔x＋y,且当x＞0时,f〔x＞2,f〔3＝5,求不等式的解。参考答案：1.解：令=-1,=x,得f<-x>=f<-1>+f<x>……①为了求f<-1>的值,令=1,=-1,则f<-1>=f<1>+f<-1>,即f<1>=0,再令==-1得f<1>=f<-1>+f<-1>=2f<-1>∴f<-1>=0代入①式得f<-x>=f<x>,可得f<x>是一个偶函数。2.分析：根据函数的定义域,-m,m∈[-2,2],但是1-m和m分别在[-2,0]和[0,2]的哪个区间内呢？如果就此讨论,将十分复杂,如果注意到偶函数,则f<x>有性质f〔-x>=f<x>=f<|x|>,就可避免一场大规模讨论。解：∵f<x>是偶函数,f<1-m><f<m>可得,∴f<x>在[0,2]上是单调递减的,于是,即化简得-1≤m<。3.解：因为f<x+3>=-f<x>,所以f<x+6>=f<<x+3>+3>=-f<x+3>=f<x>,故6是函数f<x>的一个周期。又f<x>是奇函数,且在x＝0处有定义,所以f<x>=0从而f<1998>=f<6×333>=f<0>=0。4.解：由f〔=f〔,知f〔x=f〔≥0,x,f〔1=2,同理可得5.解：从自变量值2001和1进行比较及根据已知条件来看,易联想到函数f〔x是周期函数。由条件得f〔x≠1,故f〔x+2=f〔x+4=.所以f〔x+8=.所以f〔x是以8为周期的周期函数,从而f〔2001=f〔1=1997说明：这类问题出现应紧扣已知条件,需用数值或变量来迭代变换,经过有限次迭代可直接求出结果,或者在迭代过程中发现函数具有周期性,利用周期性使问题巧妙获解。6.证明：〔1问题为求函数值,只需令x=y=0即可得。〔2问题中令x=0即得f〔y+f〔-y=2f〔0f〔y,且f〔0=1.所以f〔y+f〔-y=2f〔y,因此y=f〔x为偶函数.说明：这类问题应抓住f〔x与f〔-x的关系,通过已知条件中等式进行变量赋值。7.解：由y=f<x>是偶函数且在〔2,6上递增可知,y=f<x>在〔－6,－2上递减。令u=2-x,则当x∈<4,8>时,u是减函数且u∈<-6,-2>,而f<u>在〔－6,－2上递减,故y=f<2-x>在〔4,8上递增。所以〔4,8是y=f<2-x>的单调递增区间。8.解：〔1.因为a＞b,所以a-b＞0,由题意得＞0,所以f〔a+f〔－b＞0,又f〔x是定义在R上的奇函数,所以f〔－b=－f〔b,f〔a－f〔b＞0,即f〔a＞f〔b〔2.由〔1知f〔x在R上是单调递增函数,又f＋f＜0,得f＜f,故＜,所以k＜令t＝,所以k＜t+,而t+≥2,即k＜2－19.解：等价于10.〔1证明：令,得令,则∴∴是奇函数。〔2∵又∵11.〔1解：令,则令,则〔2证明：令,则,∵,∴令,则∴是奇函数。〔3当时,,令,则故,所以∴∵∴,故∴12.解：<1>∵对任意,函数满足,且∴∵,∴=f<a>=a<2>∵对任意,函数满足,有且仅有一个实数,使得∴对任意,有上式中,令,则∵,故若,则,则,但方程有两个不相同的实根与题设茅盾,故若,则,则,此时方程有两个相等的实根,即有且仅有一个实数,使得∴13.〔1解：令,则〔2∵∴∴数列是以为首项,1为公差的等差数列,故==<3>任取,则=∴∴函数是R上的单调增函数.14.<1>解:∵对任意,有>0,∴令得,<2>任取任取,则令,故∵函数的定义域为R,并满足以下条件:①对任意,有>0;②对任意,有;③∴∴∴函数是R上的单调减函数.<3>由〔1〔2知,,∴∵∴,而∴∴15.<1>证明:令,则∵当时,,故,∴,∵当时,∴当时,,则<2>证明:任取,则∵,∴0<,故<0,又∵∴,故∴函数是R上的单调减函数.<3>∵由〔2知,是R上的减函数,∴∵B={}=又∵,∴方程组无解,即直线的内部无公共点∴,故的取值范围是-16.<1>任取,则F=[∵,∴∴又∵函数是定义在R上的增函数,∴,故∴>0∴是R上的增函数;<2>设为函数=的图象上任一点,则点关于点<的对称点为N<>,则,故∵把代入F得,=-∴函数=的图象关于点<成中心对称图形.17.<1>解:∵为R上的奇函数,∴对任意都有,令则∴=0<2>证明:∵为R上的奇函数,∴对任意都有,∵的图象关于直线对称,∴对任意都有,∴用代得,∴,即∴是周期函数,4是其周期.<3>当时,当时,,当时,,∴图象如下：y-2-10123456x18.<1>证明：令,则,故〔2∵,令,则,∴∴∴成立的x的取值范围是。19．解:〔1由f<2-x>=f<2+x>,f<7-x>=f<7+x>得函数的对称轴为,从而知函数不是奇函数,由,从而知函数的周期为又,故函数是非奇非偶函数;<2>由又故f<x>在[0,10]和[-10,0]上均有有两个解,从而可知函数在[0,2005]上有402个解,在[-2005.0]上有400个解,所以函数在[-2005,2005]上有802个解.20.解：设,∵当,∴,∵,∴,即,