2022-2023学年上海市静安区高二（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2022-2023学年上海市静安区高二（下）期末数学试卷一、单选题（本大题共3小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.(2x−1A.−120 B.120 C.−60 2.已知物体的位移S(单位：m)与时间t(单位：s)满足函数关系S=2A.2π(m/s) B.−3.如图，封闭图形的曲线部分是长轴长为4，短轴AB的长为2的半个椭圆，设P是该图形上任意一点，则与线段AP的长度的最大值最接近的是(

)A.2.1

B.2.2

C.2.3

D.2.4二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）4.以x=1为准线的抛物线的标准方程是______．5.7个人站成一排，如果甲、乙2人必须站在两端，有______种排法．6.过点(0,1)的直线l与圆x2+y7.若双曲线C的渐近线方程为y=±32x，且过点(−28.已知曲线y=ex1−x上一点P9.一个口袋内装有大小相同的7个白球和2个黑球.从口袋内随机取出3个球，则其中至少取到2个白球的概率为______．10.类比教材中对圆双曲线的“对称性”和“范围”的研究，写出曲线C：4−x11.已知某食品罐头的体积是常量，其包装是金属材质的圆柱形，假设该圆柱形的高和底半径分别为h和r，为了使制作包装的金属材料最省，h：r的值为______．三、解答题（本大题共5小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）12.(本小题10.0分)

设椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点(13.(本小题10.0分)

如图是一座类似于上海卢浦大桥的圆拱桥示意图，该圆弧拱跨度AB为500m，圆拱的最高点H离水面AB的高度为100m，桥面CD离水面AB的高度为50m．

(1)建立适当的平面直角坐标系，求圆拱所在圆的方程；

14.(本小题11.0分)

设a>0，函数f(x)=alnxx15.(本小题11.0分)

(1)已知m是自然数，n是正整数，且m≤n.求证组合数性质：Cn+1m=Cnm+16.(本小题14.0分)

在平面直角坐标系xOy中，设A(−1,0)、B(1,0)，动点P满足：k1⋅k2=m，其中m是非零常数，k1、k2分别为直线PA、PB的斜率．

(1)求动点P的轨迹Γ的方程，并讨论Γ的形状与m值的关系；

(2)当答案和解析1.【答案】D

【解析】【分析】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中的特定项，属于基础题．

求出二项展开式的通项公式，令x的指数为0，求解r的值，即可求得常数项．【解答】解：(2x−1x)6的展开式的通项公式Tr+1=C6r(2x)

2.【答案】A

【解析】解：S′=2πcosπt，

∴t=2时，S′=3.【答案】C

【解析】解：以AB为x轴，AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，如图：

由题意a=2，b=1，且椭圆焦点在y轴上，所以半椭圆方程为y24+x2=1(y≥0)，

A(−1,0)，B(1,0)，设点P的坐标为(x0,y0)4.【答案】y2【解析】解：根据题意，要求抛物线的准线方程为x=1，

则抛物线的开口向左，且p2=1，

则抛物线的标准方程为：y2=−4x；5.【答案】240

【解析】解：7个人站成一排，如果甲、乙2人必须站在两端，先排甲，乙有A22=2种排法，

在排剩余5人，有A55=120种排法，

故共有2×1206.【答案】0或43【解析】解：根据题意，圆x2+y2+4x+3=0，即(x+2)2+y2=1，其圆心为(−2,0)，半径r=1，

若直线l过点(0,1)且与圆x2+y2+4x+3=0相切，则直线l的斜率一定存在，

设直线l的斜率为7.【答案】2【解析】解：因为双曲线C的渐近线方程是y=±32x，故可设双曲线的方程为：9x2−4y2=m(m≠0)，

把点(−2,0)代入双曲线方程可得m=36−0=36，

所以双曲线方程为9x2−8.【答案】x−【解析】解：由y=ex1−x，得y′=ex1−x−ex⋅121−x，

∴9.【答案】1112【解析】解：一个口袋内装有大小相同的7个白球和2个黑球．从口袋内随机取出3个球，

则其中至少取到2个白球的概率为C72C21C93+C10.【答案】关于y轴对称，x∈[−【解析】解：由4−x2+y3=1得x∈[−2,2]，

因为4−x2∈[0,2]，

∴y3=1−4−x2∈[−1,1]，即y∈[−1,1]，

在曲线方程中，以−x代x，得11.【答案】2

【解析】解：设食品罐头的体积是V(V为常数)．

由题意可得πr2h=V，

圆柱的表面积S=2πr2+2πrh=2πr2+2Vr

=2πr2+Vr12.【答案】解：(1)由题意得：b=4,ca=35，又因为a2=b2+c2，解得a=5，(2分)

椭圆C的方程为x225+y216=1..(4分)

(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y=45(x−3)，

设直线被椭圆C所截线段的端点为A(x1,y1)、B(x2,【解析】(1)利用椭圆的离心率以及椭圆经过的点，转化求解椭圆方程即可．

(2)13.【答案】解：(1)以线段AB所在的直线为x轴，以线段AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，

则由题意，可得B(250,0)、H(0,100)，D(a,50)，a>0，

则圆心E在y轴上，设E(0,h)，

设要求的圆的方程为x2+(y−h)【解析】(1)建立坐标系，得到B、H的坐标，用待定系数法求出圆的标准方程．

(2)把点D的坐标代入圆的方程，求出点D的横坐标，可得C14.【答案】解：(1)由题意得f′(x)=a(1−lnx)x2，且函数定义域为(0,+∞)，

∵a>0，∴判断1−lnx的符号，

由f′(x)=0得x=e，由f′(x)>0得0<x<e，由f′(x)<0得x>e，

∴f(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减；

(2)由(1)得f(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减，

∴当2a≤e，即0<a≤e2时，函数f(【解析】(1)首先求出函数的导数，然后令f′(x)=0，解出函数的极值点，最后根据导数判断函数的单调性，从而求解；

(2)由(1)15.【答案】解：(1)因为m是自然数，n是正整数，且m≤n，

所以Cn+1m=(n+1)!m!(n−m+1)!，

Cnm+Cnm−1=n!m!(n−m)!+n!(m−1【解析】本题根据组合及组合数的性质，即可推导出公式．

本题考查组合及组合数性质的应用，属于中档题．

16.【答案】解：(1)设点P(x,y)，

因为k1、k2分别为直线PA、PB的斜率且k1⋅k2=m，

所以yx+1⋅yx−1=m，

所以y2=mx2−m，

所以mx2−y2=m，

所以x2−y2m=1，

所以动点P的轨迹方程为x2−y2m=1，

当m>0时，轨迹为双曲线，

当m<0时，轨迹为椭圆．

(2)当m=−4时，轨迹Γ的方程为x2+y24=1，

设C(x1,y1)，D(x2,y2)，

联立y=kx+bx