2022年湖南省湘潭市砂塘中学高二数学理下学期期末试题含解析

2022年湖南省湘潭市砂塘中学高二数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列四个散点图中，相关系数最大的是

A

B

C

D参考答案：C2.直线x=0的倾斜角的大小为（

）A．0

B.

C.

D.不存在参考答案：B略3.执行右边的程序框图所得的结果是A．

B．

C．

D． 参考答案：A略4.等比数列{an}中，a2=9，a5=243，{an}的前4项和为(

)A．81 B．120 C．168 D．192参考答案：B【考点】等比数列的性质．【专题】计算题．【分析】根据等比数列的性质可知等于q3，列出方程即可求出q的值，利用即可求出a1的值，然后利用等比数列的首项和公比，根据等比数列的前n项和的公式即可求出{an}的前4项和．【解答】解：因为==q3=27，解得q=3又a1===3，则等比数列{an}的前4项和S4==120故选B【点评】此题考查学生灵活运用等比数列的性质及等比数列的前n项和的公式化简求值，是一道中档题．5.命题p：a≥1；命题q：关于x的实系数方程x2﹣2x+a=0有虚数解，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：B【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据复数的有关性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：若关于x的实系数方程x2﹣2x+a=0有虚数解，则判别式△＜0，即8﹣4a＜0，解得a＞2，∴p是q的必要不充分条件，故选：B6.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若，，则数列{nan}的前n项和为（

）A． B．C． D．参考答案：D当时，不成立，当时，，两式相除得，解得：，，即，，，，两式相减得到：，所以，故选D．7.“x=2”是“（x﹣2）?（x+5）=0”的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】操作型；对应思想；简易逻辑；推理和证明．【分析】解方程“（x﹣2）?（x+5）=0”，进而结合充要条件的定义可得答案．【解答】解：当“x=2”时，“（x﹣2）?（x+5）=0”成立，故“x=2”是“（x﹣2）?（x+5）=0”的充分条件；当“（x﹣2）?（x+5）=0”时，“x=2”不一定成立，故“x=2”是“（x﹣2）?（x+5）=0”的不必要条件，故“x=2”是“（x﹣2）?（x+5）=0”的充分不必要条件，故选：B．【点评】本题考查的知识点是充要条件，熟练掌握充要条件的概念，是解答的关键．8.函数的大致图像为（

）参考答案：A略9.展开式中不含项的系数的和为（

）A.-1

B.0

C.1

D.2参考答案：B略10.以椭圆的长轴端点为焦点、以椭圆焦点为顶点的双曲线方程为

（）A.

B.

C.

D.参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知是定义域为的奇函数，在区间上单调递增，当时，的图像如右图所示：若：，则的取值范围是

参考答案：12.如图，函数的图象在点处的切线方程是，则__________．参考答案：0由题意可知，，故．13.设函数，，不等式对恒成立，则的取值集合是

．参考答案：14.已知直线的一个方向向量为，则直线的斜率为

参考答案：略15.设是抛物线上两点，且满足OA⊥OB，则等于________．参考答案：略16.若函数图像的一条对称轴为，则实数m的值为

参考答案：

17.设数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，{Sn+nan}为常数列，则an=．参考答案：【考点】数列递推式．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】由已知求出S1+a1=2，可得Sn+nan=2，当n≥2时，（n+1）an=（n﹣1）an﹣1，然后利用累积法求得an．【解答】解：∵数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，∴S1+1×a1=1+1=2，∵{Sn+nan}为常数列，∴由题意知，Sn+nan=2，当n≥2时，Sn﹣1+（n﹣1）an﹣1=2两式作差得（n+1）an=（n﹣1）an﹣1，从而=，∴（n≥2），当n=1时上式成立，∴．故答案为：．【点评】本题考查数列的通项公式的求法，训练了累乘法求数列的通项公式，是中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）求C上的点到l距离的最小值．参考答案：（1）；；（2）【分析】（1）利用代入消元法，可求得的直角坐标方程；根据极坐标与直角坐标互化原则可得的直角坐标方程；（2）利用参数方程表示出上点的坐标，根据点到直线距离公式可将所求距离表示为三角函数的形式，从而根据三角函数的范围可求得最值.【详解】（1）由得：，又整理可得的直角坐标方程为：又，的直角坐标方程为：（2）设上点的坐标为：则上的点到直线的距离当时，取最小值则【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值问题.求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化为三角函数的最值求解问题.19.(本小题满分12分)已知椭圆的离心率，A，B分别为椭圆的长轴和短轴的端点，为AB的中点，O为坐标原点，且.(1)求椭圆的方程;(2)过(-1,0)的直线交椭圆于P,Q两点,求△POQ面积最大时直线的方程.参考答案：（1），

（2）20.（1）求函数f（x）=（x＜﹣1）的最大值，并求相应的x的值．（2）已知正数a，b满足2a2+3b2=9，求a的最大值并求此时a和b的值．参考答案：【考点】基本不等式；函数的最值及其几何意义．【专题】函数思想；配方法；不等式．【分析】（1）由题意可知，由x＜﹣1，﹣（x+1）＞0，由基本不等式的性质，即可求得函数f（x）的最大值，及x的值；（2）由2a2+3b2=9，即平方和为定值，求积的最大值，可以根据条件配成平方和为定值的形式，再用基本为等式求最大值，要注意取等号的条件．【解答】解：（1），=，∵x＜﹣1，∴x+1＜0，∴﹣（x+1）＞0，∴∴，当且仅当时，f（x）取最大值1．…（6分）（2）解：a，b都是正数，，，当且仅当2a2=3+3b2，又2a2+3b2=9，得时，有最大值．…（12分）【点评】本题考查了基本不等式求最值，注意利用配凑法将平方和凑成定值，本题难度不大，属于中档题．21.（本小题满分13分）

椭圆的一个顶点是，且离心率为，圆，是过点P且互相垂直的两条直线，其中直线交圆于A，B两点，直线与椭圆的另一交点为D．

(I)求椭圆的标准方程；

(Ⅱ)求△ABD面积的最大值及取得最大值时直线的方程．参考答案：22.某工厂制造一批无盖长方体容器，已知每个容器的容积都是9立方米，底面都是一边长为2米，另一边长为x米的长方形，如果制造底面的材料费用为2a元/平方米，制造侧面的材料费用为a元/平方米，设计时材料的厚度忽略不计．（1）试将制造每个容器的成本y（单位：元）表示成底面边长x（单位：米）的函数；（2）如何设计容器的底面边长x（单位：米）的尺寸，使其成本最低？参考答案：【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】（1）设长方体容器的高为h（h＞0），依据题意知2xh=9，所以h=，从而写出该容器成本y（单位：元）表示成底面边长x（单位：米）的函数；（2）利用基本不等式，即可得到所求的最值和对应的x的值．【解答】解：（1）设长方体容器的高为h（h＞0），依据题意知2xh=9，所以h=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣3分容器的侧面积为4h+2xh，容器底面积为2x，所以y=4ax+a（4h+2xh）=2a（2x+）+9a（x＞0）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣8分（2）令f（x）=2x+（x＞0