山西省长治市第十八中学高三数学理期末试题含解析

山西省长治市第十八中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设，则=

A．12e

B．12e2

C．24e

D．24e2参考答案：D略2.某几何体的主视图与左视图都是边长为1的正方形，且体积为，则该几何体的俯视图可以是（

）

参考答案：C3.已知集合则为

（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：答案:A4.已知，，则A∩B=（

）A. B.或C. D.参考答案：A【分析】求出B中不等式解集确定出B，求出A与B的交集即可．【详解】，由B中不等式变形得：，

解得：，即，

∴A∩B=，

故选：A．【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．5.如图所示的方格纸中有定点，则(

)A．

B．

C．

D．参考答案：C6.是平面外的两条直线，若则“”是“”的

（

）A.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：A7.如图为从空中某个角度俯视北京奥运会主体育场“鸟巢”顶棚所得的局部示意图，在平面直角坐标系中，下列给定的一系列直线中（其中θ为参数，θ∈R），能形成这种效果的只可能是（）A．y=xsinθ+1 B．y=x+cosθC．xcosθ+ysinθ+1=0 D．y=xcosθ+sinθ参考答案：C【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】由图形分析知转化为：原点到各圆周切线的距离为定值，再利用点到直线的距离公式即可；【解答】解：由图形分析知转化为：原点到各圆周切线的距离为定值．对A：d=，此时d不是固定值，故舍去；对B：d=，此时d不是固定值，故舍去；对C：d=1，正确；对D：d=，此时d不是固定值，故舍去；故选：C8.函数在区间上的图像如图所示，则n可能是

（A）1

(B)

2

(C)

3

(D)4参考答案：A本题主要考查了函数图像、利用导数求函数最值、均值不等式等知识，属于难题。解题时根据四个选项中的n先确定函数解析式，再利用导数求出最值点即可利用排除法找到答案。由函数图像可知，当时，，，所以函数的最大值点为，所以A可能；当时，函数的图像关于直线对称，由图像知B错误；当时，，，最大值点为，股C错误；当时，，，函数的最大值点为，由图像知D不可能.故选A.9.曲线在点A处的切线与直线平行，则点A的坐标为（A）

（B）

（C）

（D）

参考答案：B10.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为

（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A－BD－C，有如下四个结论：⑴AC⊥BD；

⑵△ACD是等边三角形⑶二面角A－BC－D的大小为90°；

⑷AB与CD所成的角为60°。则正确结论的序号为

。参考答案：（1）（2）（4）略12.已知双曲线的方程为，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为（c为双曲线的半焦距长），则双曲线的离心率e为__________.参考答案：13.已知向量，，且，则的坐标是

．参考答案：或略14.已知函数f（x）=，若方程f（x）﹣a=0有两个解，则a的取值范围是．参考答案：（﹣，2]【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】画出f（x）的图象，由二次函数及幂函数的性质求得f（x）的取值范围，即可求得a的取值范围．【解答】解：由﹣2≤x＜0，f（x）=x2+x，对称轴x=﹣，则﹣2≤x＜﹣时，f（x）单调递减，﹣＜x＜0，f（x）单调递增，当x=﹣2时，取最大值，最大值为2，当x=﹣时取最小值，最小值为﹣，当0≤x≤9时，f（x）=，f（x）在[0，9]上单调递增，若方程f（x）﹣a=0有两个解，则f（x）=a与f（x）有两个交点，则a的取值范围（﹣，2]，∴a的取值范围（﹣，2]，故答案为：（﹣，2]．【点评】本题考查二次函数的及幂函数图象与性质，考查分段函数的单调性，考查数形结合思想，属于中档题．15.已知，则双曲线的离心率的取值范围是

．参考答案：

由题意知，双曲线的方程可变形为，∵，∴离心率.16.已知等差数列满足，公差为，，当且仅当时，取得最小值，则公差的取值范围是________________。参考答案：17.在平面四边形ABCD中，,则BC=

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在中，分别为角的对边，△ABC的面积S满足.（1）求角的值；

（2）若，设角的大小为用表示，并求的取值范围．参考答案：解：（1）在中，由得-------------------------------------------------------------------------------3分∵∴-------------------------------------------5分（2）由及正弦定理得，------------7分

∴--------------------------9分

∵

∴

∴--------------------10分∴，即------------------------------------------------------------12分略19.已知函数f(x)＝eax－x，其中a≠0.（1）若对一切x∈R，f(x)≥1恒成立，求a的取值集合；（2）在函数f(x)的图象上取定两点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))(x1＜x2)，记直线AB的斜率为k.问：是否存在x0∈(x1，x2)，使f′(x0)＞k成立？若存在，求x0的取值范围；若不存在，请说明理由.参考答案：解：（1）若a＜0，则对一切x＞0，f(x)＝eax－x＜1，这与题设矛盾.又a≠0，故a＞0.而f′(x)＝aeax－1，令f′(x)＝0得x＝ln.当x＜ln时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x＞ln时，f′(x)＞0，f(x)单调递增.故当x＝ln，f(x)取最小值f＝－ln.于是对一切x∈R，f(x)≥1恒成立，当且仅当－ln≥1.①令g(t)＝t－tlnt，则g′(t)＝－lnt.当0＜t＜1时，g′(t)＞0，g(t)单调递增；当t＞1时，g′(t)＜0，g(t)单调递减.故当t＝1时，g(t)取最大值g（1）＝1.因此，当且仅当＝1，即a＝1时，①式成立.综上所述，a的取值集合为{1}.（2）由题意知，k＝＝－1.令φ(x)＝f′(x)－k＝aeax－.则φ(x1)＝－

[－a(x2－x1)－1]，φ(x2)＝

[－a(x1－x2)－1].令F(t)＝et－t－1，则F′(t)＝et－1.当t＜0时，F′(t)＜0，F(t)单调递减；当t＞0时，F′(t)＞0，F(t)单调递增.故当t≠0时，F(t)＞F(0)＝0，即et－t－1＞0.从而－a(x2－x1)－1＞0，－a(x1－x2)－1＞0，又＞0，＞0，所以φ(x1)＜0，φ(x2)＞0.因为函数y＝φ(x)在区间[x1，x2]上的图象是连续不断的一条曲线，所以存在c∈(x1，x2)，使得φ(c)＝0.又φ′(x)＝a2eax＞0，φ(x)单调递增，故这样的c是唯一的，且c＝ln.故当且仅当x∈时，f′(x)>k.综上所述，存在x0∈(x1，x2)，使f′(x0)＞k成立，且x0的取值范围为20.

设各项均不为零的数列的前n项和为，且（1）求证：数列是等差数列，并写出关于n的表达式；（2）确定的值，使数列为等差数列；（3）在（2）的条件下，求数列的前n项和。参考答案：略21.(本小题满分16分)已知数列，，且满足（）.（1）若，求数列的通项公式；（2）若，且.记，求证：数列为常数列；（3）若，且.若数列中必有某数重复出现无数次，求首项应满足的条件.参考答案：（1）当时，有

……1分，也满足上式，所以数列的通项为.………3分（2）因为，所以对任意的有，所以数列是一个以6为周期的循环数列……………………5分又因为，所以所以，所以数列为常数列.……………………7分（3）因为，且，所以，且对任意的，有，

设，（其中为常数且），所以，所以数列均为以7为公差的等差数列.……………10分记，则，（其中，为中的一个常数），当时，对任意的有；…………12分当时，

①若，则对