一元二次不等式及其解法一元二次不等式的解法

【课标要求】1．了解一元二次不等式的概念．2．理解一元二次不等式、一元二次方程与二次函数的关系．3．对给定的一元二次不等式，尝试设计求解的程序框图．【核心扫描】1．一元二次不等式的解法和三个“二次”关系的理解．(重点)2．含参数的一元二次不等式的解法．(难点)3．体会数形结合思想，转化思想在不等式中的应用．第1课时

一元二次不等式的解法3.2

一元二次不等式及其解法一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是__的不等式，称为一元二次不等式．二次函数、二次方程、二次不等式之间的关系自学导引1．2．Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象2没有实数根{x|x<x1或∅x>x2}：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)具备哪些条件时，解集为R或∅？提示：当a>0，Δ<0时，解集为R.当a<0，Δ≤0时，解集为∅.解一元二次不等式的常见方法(1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤：①化不等式为标准形式：ax2＋bx＋c>0(a>0)，或ax2＋bx＋c<0(a>0)；②求方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c图象的简图；③由图象得出不等式的解集．(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解．当m<n时，若(x－m)(x－n)>0，则可得x>n或x<m；若(x－m)(x－n)<0，则可得m<x<n.有口诀如下：大于取两边，小于取中间．名师点睛1．含参数的一元二次型的不等式在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑：(1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a>0，a<0，a＝0.(2)关于不等式对应的方程根的讨论：二根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ<0)．(3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1>x2，x1＝x2，x1<x2.2．

题型一一元二次不等式的解法求下列一元二次不等式的解集．(1)x2－5x>6；(2)4x2－4x＋1≤0；(3)－x2＋7x>6.[思路探索]先将二次项系数化为正，再求对应方程的根．并根据情况结合二次函数图象，写出解集．解

(1)由x2－5x>6，得x2－5x－6>0.∴x2－5x－6＝0的两根是x＝－1或6.∴原不等式的解集为{x|x<－1或x>6}．(2)4x2－4x＋1≤0，即(2x－1)2≤0，【例1】(3)由－x2＋7x>6，得x2－7x＋6<0，而x2－7x＋6＝0的两个根是x＝1或6.∴不等式x2－7x＋6<0的解集为{x|1<x<6}．当所给不等式是非一般形式的不等式时，应先化为一般形式，在具体求解一个一般形式的一元二次不等式的过程中，要密切结合一元二次方程的根的情况以及二次函数的图象．解下列不等式(1)2x2－x＋6>0；(3)(5－x)(x＋1)≥0.解

(1)∵方程2x2－x＋6＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×2×6<0，∴函数y＝2x2－x＋6的图象开口向上，与x轴无交点．∴原不等式的解集为R.(2)原不等式可化为x2－6x＋10<0，∵Δ＝62－40＝－4<0，∴原不等式的解集为∅.(3)原不等式可化为(x－5)(x＋1)≤0，所以原不等式的解集为{x|－1≤x≤5}．【变式1】解关于x的不等式(a∈R)：(1)2x2＋ax＋2>0；(2)ax2－(a＋1)x＋1<0.[思路探索](1)对相应方程的判别式进行讨论，按照一元二次不等式的解法求解；(2)先对不等式中二次项的参数讨论，再按照不等式的求法求解．解

(1)Δ＝a2－16，下面分情况讨论：①当Δ<0，即－4<a<4时，方程2x2＋ax＋2＝0无实根，所以原不等式的解集为R.②当Δ≥0，即a≥4或a≤－4时，方程2x2＋ax＋2＝0的两个根为

题型二

解含参数的一元二次不等式【例2】含参数不等式的解题步骤为：(1)将二次项系数化为正数；(2)判断相应的方程是否有根(如果可以直接分解因式，可省去此步)；(3)根据根的情况写出相应的解集．(若方程有两个相异实根，为了写出解集还要比较两个根的大小)．另外，当二次项含有参数时，应先讨论二次项系数是否为0，这决定不等式是否为二次不等式．解关于x的不等式ax2－2(a＋1)x＋4>0.解

(i)当a＝0时，原不等式可化为－2x＋4>0，解得x<2，所以原不等式的解集为{x|x<2}．【变式2】已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为(1,2)，试求关于x的不等式bx2＋ax＋1>0的解集．审题指导

可知1,2是方程x2＋ax＋b＝0的两根，故由根与系数的关系可求出a，b的值，从而得解．

题型三

三个“二次”间对应关系的应用【例3】【题后反思】求一般的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集，可由二次函数的零点与相应一元二次方程根的关系，先求出一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，再根据函数图象与x轴的相关位置确定一元二次不等式的解集．因此一元二次不等式解集的区间端点，就是其对应的函数的零点，也就是其对应的方程的根．已知不等式ax2－bx＋2<0的解集为{x|1<x<2}，求a，b的值．解法一由题设条件知a>0，且1,2是方程ax2－bx＋2＝0的两实根．【变式3】若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0的解集为R，求实数a的取值范围．误区警示

忽略二次项系数为零而出错【示例】当a－2＝0时，原不等式不是一元二次不等式，不能应用根的判别式，应当单独检验不等式是否成立．[正解]当a－2＝0，即a＝