第二章小结与复习1

PAGEPAGE1第二章小结与复习1第一篇：第二章小结与复习1第二章小结与复习（第一课时）学习目标：1.使学生对本章的知识的知识更系统，更全面。2.进一步加深学生对本章基础知识的理解及基本技能（主要是计算）的掌握学习重点难点：本章基础知识的归纳，总结，基础知识的运用学习过程：快乐自学：阅读教材P77，了解本章知识脉络。一、复习引入：1．主要概念：(1)关于单项式，你都知道什么?(2)关于多项式，你又知道什么?复习单项式的定义、单项式的系数、次数的定义，多项式的定义以及多项式的项、同类项、次数、升降幂排列等定义。(3)什么叫整式?单项式（定义系数次）数整式多项式（项同类项次升数降幂排列）2．主要法则：①在本章中，我们学习了哪几个重要的法则?分别如何叙述?②归纳总结：去（添）括号。整式的加减合并同类项。二、探究新知：1．例题：例1：找出下列代数式中的单项式、多项式和整式。xyz3，4xy，m1a2n2，x2+x+1x，0，1x22x，m，―2.01×105例2：指出下列单项式的系数、次数：ab，―x2，3xy5，x535yz3。注意事项：系数应包括前面的“+”号或“―”号，次数是“指数之和”。3223例3：指出多项式a―ab―ab+b―1是几次几项式，最高次项、常数项各是什么？例4：化简，并将结果按x的降幂排列：(1)(2x4―5x2―4x+1)―(3x3―5x2―3x)；(2)―［―(―x+)］―(x―1)；(3)―3(x2―2xy+y2)+121212(2x2―xy―2y2)。注意事项：(1)去括号(包括去多重括号)的问题；(2)数字与多项式相乘时分配律的使用问题。三、小结：学完本章后我的收获是还有没解决的问题是达标检测：1.在,中，单项式有：.多项式有__________________________。2.一种商品每件a元，按成本增加20XX出的价格是3.已知-7x2ym是7次单项式则m=。4.已知-5xmy3与4x3yn能合并，则mn=。5.7-2xy-3x2y3+5x3y2z-9x4y3z2是次项式，其中最高次项是，最高次项的系数是，常数项是，是按字母作幂排列。6.已知x－y=5,xy=3，则3xy-7x+7y=。7.已知A=3x+1,B=6x-3，则3A-B=。8.计算①（a3-2a2+1）-2(3a2-2a+1)②x-2(1-2x+x2)+3(-2+3x-x2)29.已知ab=3,a+b=4，求3ab－[2a-(2ab-2b)+3]的值。10.若(x＋ax－2y＋7)―(bx―2x＋9y－1)的值与字母x的取值无关，求a、b的值。2211.求5ab-2[3ab-(4ab2+ab)]-5ab2的值，其中a=，b=-12.如图所示，由一些点组成形如三角形的图形，每条“边”（包括两个顶点）有n（n>1）个点，每个图形总的点数S是多少？当n=7，100时，S是多少？15.如图所示的规律摆下去，用S表示相应的图中的点数，请表示出第n个图中的点数S。并计算第20XX个图中的点数。选做、已知A4x5xyy,Bx3xy5y，求：（1）A-5B的值；（2）-5A+2B的值。22228、已知xy2xy，求参考答案：4x5xy4y的值。xxyy4322、1.2a3、54、55、125、114-9xyz－97x升6、－267、3x+68、第二篇：集合复习与小结集合复习与小结教学目标巩固集合、子、交、并、补的概念、性质和记号及它们之间的关系．教学重点正确应用其概念和性质做题．教学难点正确应用其概念和性质做题．教学过程复备栏本单元主要介绍了以下三个问题：1．集合的含义与特征；2．集合的表示与转化；3．集合的基本运算．一、集合的含义与表示（含分类）1．具有共同特征的对象的全体,称一个集合．2．集合按元素的个数分为:有限集和无穷集两类．3．集合的表示．二、集合表示法间的转化高中数学解题的关键也是看“四化”．三、集合的基本运算1．子集：AB定义为，对任意x∈A，有x∈B.表现图为A在B中包含着.2．补集：CSA={x|x∈S,且xA}.表现图为整体中去掉A余下的部分.3．交集：A∩B={x|x∈A,且x∈B}.表现图示为A与B的公共部分.4．并集：A∪B={x|x∈A,或x∈B}.表现图示为A与B合加在一起部分附表：集合的三种运算：运算类型交集并集补集定义由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．记作AB（读作‘A交B’），即AB=｛x|xA，且xB｝．由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集．记作：AB（读作‘A并B’），即AB={x|xA，或xB})．设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）记作，即CSA=韦恩图示性质AA=AAΦ=ΦAB=BAABAABBAA=AAΦ=AAB=BAABＡABB(CSA)(CSB)=CS(AB)(CSA)(CSB)=CS(AB)A(CSA)=UA(CSA)=Φ．容斥原理有限集A的元素个数记作card(A).对于两个有限集A，B，有card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)．四、例题选讲例1定义集合A-B={x|x∈A,且xB}，则当A∩B=时，A-B=_________；A∩B不空时呢？解：（1）A；（2）CU(A∩B).例2给出下列说法：（1）方程+|y+2|=0的解集为{-2,2}；（2）集合{y|y=x2-1,x∈R}与集合{y|y=x-1,x∈R}的公共元组成的集合为{0，-1}；（3）区间（-∞，1）与（a，+∞）无公共元素.其中正确的个数为___________.解：对于（1），解集应为有序实数对，错；对于（2）{y|y=x2-1,x∈R}=与集合{y|y=x-1,x∈R}=R，公共元素不只0与-1两个，错；对于（3）区间（-∞，1）与（a，+∞）无公共元素取决于1与a的大小，错.故正确的个数是0.例3已知集合M={x|x=3m+1,m∈Z}，N={y|y=3n+2,n∈Z},若x0∈M,y0∈N，则x0，y0与集合M、N的关系是.解：方法一：变为文字描述法M={被3除余数为1的整数}，N={被3除余数为2的整数}，余数为1×余数为2→余数为2，故x0y0∈N,x0y0M．方法二：变为列举法M={„,-2,1,4,7,10,13,},N={„,-1,2,5,8,11,„}M中一个元素与N中一个元素相乘一定在N中，故x0y0∈N,x0y0M方法三：直接验证）设x0=3m+1,y0=3n+2,则x0y0=9mn+6m+3n+2=3(3mn+2m+n)+2,故x0y0∈N,x0y0M．例4已知集合A={x|=1}是单元素集，用列举法表示a的取值集合B解：集合B表示方程=1有等根或仅有一个实数根时a的取值集合．⑴有等根时有：x2-x-2-a=0①且x2-2≠0②；①△=1-4(-a-2)=0,a=-9/4,此时x=1/2适合条件②，故a=-9/4满足条件；⑵仅有一个实数根时，x+a是x2-2的因式，而=，∴a=±.当a=时,x=1+,满足条件；当a=时,x=1也满足条件．综上，．五、回顾小结本节课对集合一章进行了总结，要在理解集合相关概念的基础上学会运用集合语言描述数学对象，更为清晰地表达数学思想.六．布置作业教后反思第三篇：向量小结与复习高中数学教案第五章平面向量（第23课时）课题：5.13向量小结与复习（2）教学目的：1.熟悉向量的性质及运算律；2.能根据向量性质特点构造向量；3.熟练平面几何性质在解题中应用；4.熟练向量求解的坐标化思路.5.认识事物之间的内在联系；6.认识向量的工具性作用，加强数学在实际生活中的应用意识.教学重点：向量的坐标表示的应用；构造向量法的应用.教学难点：构造向量法的适用题型特点的把握授课类型：复习课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学方法:启发引导式针对向量坐标表示的应用，通过非坐标形式解法与坐标化解法的比较来加深学生对于向量坐标表示的认识，同时要加强学生选择建立坐标系的意识.对于“构造向量法”的应用，本节例题选择了本章的重点内容数量积的坐标表示，目的要使学生把握坐标表示的数量积性质的形式特点，同时增强学生的解题技巧，提高解题能力教学过程：一、讲解范例：例1利用向量知识证明下列各式22(1)x＋y≥2xy22(2)｜x｜＋｜y｜≥2x·y分析：(1)题中的结论是大家所熟悉的重要不等式，以前可用求差法证得，而利用向量知识求证，则需构造向量，故形式上与向量的数量积产生联系.(2)题本身含有向量形式，可根据数量积的定义式并结合三角函数性质求证.证明：(1)设a＝（x，y），b＝（y，x）则a·b＝xy＋yx＝2xy222222｜a｜·｜b｜＝xyxyxy又a·b＝｜a｜·｜b｜cosθ(其中θ为a，b夹角)≤｜a｜·｜b｜22∴x＋y≥2xy(2)设x，y的夹角为θ，则x·y＝｜x｜·｜y｜cosθ≤｜x｜·｜y｜≤22xy222∴｜x｜＋｜y｜≥2x·y22评述：(1)上述结论表明，重要不等式a＋b≥2ab，无论对于实数还是向量，都成立.(2)在(2)题证明过程中，由于｜x｜，｜y｜是实数，故可以应用重要不等式求证.例2利用向量知识证明22222(a1b1＋a2b2)≤（a1＋a2）·（b1＋b2）分析：此题形式对学生较为熟悉，在不等式证明部分常用比较法证明，若利用向量知识求证，则关键在于根据其形式与数量积的坐标表示产生联系，故需要构造向量.证明：设a＝（a1，a2），b＝（b1，b2）则a·b＝a1b1＋a2b2，222222｜a｜＝a1＋a2，｜b｜＝b1＋b2∵a·b＝｜a｜·｜b｜cosθ≤｜a｜·｜b｜.(其中θ为a，b夹角)222∴（a·b）≤｜a｜·｜b｜22222∴（a1b1＋a2b2）≤（a1＋a2）·（b1＋b2）评述：此题证法难点在于向量的构造，若能恰当构造向量，则利用数量积的性质容易证明结论.这一技巧应要求学生注意体会.例3已知ｆ（x）＝x2求证：｜ｆ（a）－ｆ（b）｜＜｜a－b｜(a≠b）分析：此题若用分析法证明，则需采用平方的手段以去掉绝对值，但由于ｆ（a）、ｆ（b）是含有根式的式子，故需再次平方才能达到去根号的目的.也可考虑构造向量法，利用向量的性质求证.下面给出两种证法.证法一：∵ｆ（a）＝a2，ｆ（b）＝b2，∴要证明｜ｆ（a）－ｆ（b）｜＜｜a－b｜只需证明｜a2－b2｜＜｜a－b｜2222222即1＋a＋1＋b－2(1a)(1b)＜a＋b－2ab22即(1a)(1b)＞1＋ab2222只需证明（(1a)(1b)）＞（1＋ab）即1＋a＋b＋ab＞1＋2ab＋ab22即a＋b＞2ab22∵a＋b≥2ab又a≠b22∴a＋b＞2ab∴｜ｆ（a）－ｆ（b）｜＜｜a－b｜证法二：设a＝（1，a），b＝（1，b）则｜a｜＝a2，｜b｜＝b2222222a－b＝（O，a－b）｜a－b｜＝｜a－b｜由｜｜a｜－｜b｜｜≤｜a－b｜，（其中当｜a｜＝｜b｜即a＝b时，取“＝”，而a≠b∴｜｜a｜－｜b｜｜＜｜a－b｜即｜a2－b2｜＜｜a－b｜∴｜ｆ（a）－ｆ（b）｜＜｜a－b｜.评述：通过两种证法的比较，体会“构造向量法”的特点，加深对向量工具性作用的认识.上述三个例题，主要通过“构造向量”解决问题，要求学生在体验向量工具性作用的同时，注意解题方法的灵活性.下面，我们通过下面的例题分析，让大家体会向量坐标运算的特点，以及“向量坐标化”思路在解题中的具体应用.例4已知：如图所示，ABCD是菱形，AC和BD是它的两条对角线.求证AC⊥BD.分析：对于线段的垂直，可以联想到两个向量垂直的充要条件，而对于这一条件的应用，可以考虑向量式的形式，也可以考虑坐标形式的充要条件.证法一：∵AC＝AB＋AD，BD＝AD－AB，∴·＝（＋）·（－）＝｜｜－｜｜＝O∴⊥证法二：以OC所在直线为x轴，以B为原点建立直角坐标系，设B(O，O)，A(a，b)，C（c，O）222则由｜AB｜＝｜BC｜得a＋b＝c∵AC＝BC－BA＝（c，O）－（a，b）＝（c－a，－b），22＝＋＝（a，b）＋（c，O）＝（c＋a，b）∴·＝c－a－b＝O222∴⊥即AC⊥BD评述：如能熟练应用向量的坐标表示及运算，则将给解题带来一定的方便.通过向量的坐标表示，可以把几何问题的证明转化成代数式的运算，体现了向量的数与形的桥梁作用，有助于提高学生对于“数形结合”解题思想的认识和掌握.例5若非零向量a和b满足｜a＋b｜＝｜a－b｜.证明：a⊥b.分析：此题在综合学习向量知识之后，解决途径较多，可以考虑两向量垂直的充要条件的应用，也可考虑平面图形的几何性质，下面给出此题的三种证法.证法一：(根据平面图形的几何性质)设＝a，＝b，由已知可得a与b不平行，由｜a＋b｜＝｜a－b｜得以、为邻边的平行四边形OACB的对角线和相等.所以平行四边形OACB是矩形，∴OA⊥OB，∴a⊥b证法二：∵｜a＋b｜＝｜a－b｜22∴（a＋b）＝（a－b）2222∴a＋2a·b＋b＝a－2a·b＋b∴a·b＝O，∴a⊥b证法三：设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），22｜a＋b｜＝(x1x2)(y1y2)，22｜a－b｜＝(x1x2)(y1y2)，22∴(x1x2)(y1y2)22＝(x1x2)(y1y2)，化简得：x1x2＋y1y2＝O，∴a·b＝O，∴a⊥b.例6已知向量a是以点A(3，－1)为起点，且与向量b＝（－3，4）垂直的单位向量，求a的终点坐标.分析：此题若要利用两向量垂直的充要条件，则需假设a的终点坐标，然后表示a的坐标，再根据两向量垂直的充要条件建立方程.解：设a的终点坐标为（ｍ，ｎ）则a＝（ｍ－3，ｎ＋1）由题意3(m3)4(n1)022(m3)(n1)1①②由①得：ｎ＝21（3ｍ－13）代入②得425ｍ－15Oｍ＋2O9＝O1911m,m,1255或解得n2.n8.1255∴a的终点坐标是（192118,)或(,)5555评述：向量的坐标表示是终点坐标减去起始点的坐标，所以向量的坐标与点的坐标既有联系又有区别，二者不能混淆.上述例题，主要体现了两向量垂直的充要条件的应用，在突出本章这一重点知识的同时，应引导学生注意解题方法的灵活性，尤其是向量的坐标化思路在解题时的应用，将几何与代数知识沟通起来.二、课堂练习：1.已知a＝（1，O），b＝（1，1），当λ为何值时，a＋λb与a垂直.解：a＋λb＝（1，O）＋λ（1，1）＝（1＋λ，λ）∵（a＋λb）⊥a∴（a＋λb）·a＝O∴（1＋λ）＋O·λ＝O∴λ＝－1即当λ＝－1时，a＋λb与a垂直.2.已知｜a｜＝，｜b｜＝2，a与b的夹角为3O°，求｜a＋b｜，｜a－b｜.2222解：｜a＋b｜＝（a＋b）＝a＋2a·b＋b22＝｜a｜＋2·｜a｜·｜b｜cos3O°＋｜b｜＝（）＋2×3×2×232＋2＝32∴｜a＋b｜＝，∵｜a－b｜＝（a－b)＝a－2a·b＋b22＝｜a｜－2｜a｜·｜b｜·cos3O°＋b＝（3）－2××2×222222＋2＝∴｜a－b｜＝3.已知｜a｜＝3，｜b｜＝2，a与b的夹角为6O°，c＝3a＋5b，d＝ｍa－3b.当ｍ为何值时，c与d是否垂直?解：若c⊥d，则c·d＝O∴（3a＋5b）（ｍa－3b)＝O22∴3ｍ｜a｜＋（5ｍ－9）a·b－15｜b｜＝O22∴3ｍ｜a｜＋（5ｍ－9）｜a｜｜b｜cos6O°－15｜b｜＝O即27ｍ＋3（5ｍ－9）－6O＝O，解得ｍ＝29.144.已知a＋b＝c，a－b＝d求证：｜a｜＝｜b｜c⊥d证明：(1)c⊥d22（a－b）＝Oa－b＝O（a＋b）a2＝b2｜a｜＝｜b｜，(2)｜a｜＝｜b｜（a－b）＝Oc⊥d.a2＝b2a2－b2＝O（a＋b）三、小结通过本节学习，要求大家进一步熟悉向量的性质及运算律，熟悉平面几何性质在解题中的应用，能够掌握向量坐标化的思路求解问题，掌握构造向量并利用向量性质解题、证题的方法.四、课后作业：五、课后记及备用资料：1.三角形内角和性质定理：在△ABC中，A、B、C分别为三个内角，则A＋B＋C＝18O°推论(1)B＝6O°2B＝A＋C推论(2)若A＜9O°，则有sinB＞cosC，cosB＜sinC，tanB＞cotC，cotB＜tanC.推论(3)sin（A＋B）＝sinC，cos（A＋B）＝－cosC，tan（A＋B）＝－tanC，cot（A＋B）＝－cotC.ABCABCcos,cossin,2222推论(4)ABCABCtancot,cottan.2222sin2.三角形内角和性质应用举例例1△ABC中，若tanBtanCac,求证：A、B、C成等差数列.tanBtanCa证明：由条件得sin(BC)sinAsinC，sin(BC)sinA由推论(3)得sin（B＋C）＝sinA.∴sin（B－C）＝sinA－sinC∴sin（B－C）－sin（B＋C）＝－sinC，即2cosBsinC＝sinC∵sinC≠O，∴cosB＝1，∴B＝.23故由推论(1)得2B＝A＋C.所以A、B、C成等差数列.例2在锐角△ABC中，求证：sinA＋sinB＋sinC＞cosA＋cosB＋cosC证明：∵△ABC是锐角三角形，∴A＜9O°，根据推论(2)有：sinB＞cosC①B＜9O°，根据推论(2)有：sinC＞cosA②C＜9O°，根据推论(2)有sinA＞cosB③∴①＋②＋③得：sinA＋sinB＋sinC＞cosA＋cosB＋cosC.例3已知△ABC，求证(a－b)cotCAB＋(b－c)cot＋(c－a)cot＝O.222证明：根据正弦定理和推论(4)，有CABABAB＝2Ｒ(sinA－sinB)tan＝4Ｒsinsin，2222C∴（a－b）cot＝2Ｒ（cosB－cosA）2A同理，（b－c）cot＝2Ｒ（cosC－cosB）；2B（c－a）cot＝2Ｒ（cosA－cosC).2CAB三式相加可得（a－b）cot＋（b－c）cot＋（c－a）cot＝O.222(a－b)cot第四篇：圆的小结与复习第一周周清1.已知⊙O的半径r，圆心O到直线l的距离为d，当d=r时，直线l与⊙O的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．以上都不对2.已知⊙O的半径为10cm，如果一条直线和圆心O的距离为10cm，那么这条直线和这个圆的位置关系为（）A相离B．相切C．相交D．相交或相离3.正方形ABCD的边长为3cm，以Ａ为圆心，３cm长为半径作⊙Ａ，则点Ａ在⊙Ａ____，点Ｂ在⊙Ａ____，点Ｃ在⊙Ａ______，点Ｄ在⊙Ａ_______。4.⊙O的直径为12，圆心O到直线l的距离为12，则直线l与⊙O的位置关系是_________5.如图，⊙O的半径OC=5cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A、B两点，AB=8cm，则l沿OC所在直线向下平移__________cm时与⊙O相切．6.圆心O到直线L的距离为d，⊙O半径为r，若d、r是方程x2-6x+m=0的两个根，且直线L与⊙O相切，求m的值．7.如图，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，且CD⊥AB，已知CD=20XXM=4，求AB.ACMBO8.如图，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，且CD⊥AB，已知AB=20XXM=4，求CD.ACMBDOD9.如图，∠O=30°，C为OB上一点，且OC=6，试判断以点C为圆心，半径为3的圆与OA的位置关系.10.已知△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF，若AB为⊙O的直径，∠CAE=∠B,求证：EF是⊙O的切线.11.如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，点C在⊙O上，CA=CD，∠CDA=30°．试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由.12.如图：在△ABC中，∠A=50°，（1）若I是外心，求∠I的度数。（2）若I是内心，求∠I的度数。13.求边长为6的正三角形的外接圆的半径和内接圆的半径。14.求边长为3,4,5的三角形的外接圆的半径和内接圆的半径。第五篇：线段和角小结与复习线段和角的小结与复习线段和角小结与复习(教案)课时：2课时执教：张伟姓名班级教学目标12345教学重点和难点重点是理解本章的知识结构，掌握本章的全部定和公理；难点是理解本章的数学思想方法。教学设计过程一、本章的知识结构二、本章中的概念1线段的概念。2345三、本章中的公理和定理12四、