高中数学课时作业十三余弦定理正弦定理应用举例新人教A版必修第二册

课时作业(十三)余弦定理、正弦定理应用举例练基础1.[2022·河北保定高一期末]一艘船航行到点A处时，测得灯塔C在其北偏东75°方向，如图所示，随后该船以15海里/小时的速度，向东南方向航行2小时后到达点B，测得灯塔C在其北偏东30°方向，此时船与灯塔C间的距离为()A．10eq\r(2)海里B．15eq\r(6)海里C．10eq\r(6)海里D．30海里2．[2022·湖南邵阳高一期末]某兴趣小组为了测量某古塔的高度，如图所示，在地面上一点A处测得塔顶B的仰角为60°，塔底C处测得A处的俯角为45°.已知山岭高CD为256米，则塔高BC为()A．256(eq\r(2)－1)米B．256(eq\r(3)－1)米C．256(eq\r(6)－1)米D．256(2eq\r(3)－1)米3．[2022·福建龙岩高一期中]甲、乙两艘渔船从点A处同时出海去捕鱼，乙渔船往正东方向航行，速度为15公里每小时，甲渔船往北偏东30°方向航行，速度为20公里每小时，两小时后，甲渔船出现故障停在了B处，乙渔船接到消息后，立刻从所在地C处开往B处进行救援，则乙渔船到达甲渔船所在位置至少需要________小时．(参考数据：取eq\r(13)＝3.6)4．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡角为15°的观礼台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部B的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10eq\r(6)米(即图中线段CD)，旗杆底部与第一排在同一水平面上．(1)求旗杆高度；(2)若国歌播放的时间约为50秒，升旗手应以约多大的速度匀速升旗？提能力5.[2022·山东菏泽高一期中]2022年北京冬奥会，首钢滑雪大跳台(如图1)是冬奥历史上第一座与工业遗产再利用直接结合的竞赛场馆，大跳台的设计中融入了世界文化遗产敦煌壁画中“飞天”的元素．某校研究性学习小组为了估算赛道造型最高点A(如图2)距离地面的高度AB(AB与地面垂直)，在赛道一侧找到一座建筑物PQ，测得PQ的高度为25.4米，并从P点测得A点的仰角为30°；在赛道与建筑物PQ之间的地面上的点M处测得A点，P点的仰角分别为75°和30°(其中B，M，Q三点共线)，该学习小组利用这些数据估算得赛道造型最高点A距离地面的高度约为(参考数据：eq\r(2)≈1.41，eq\r(3)≈1.73，eq\r(6)≈2.45)()A.58B．60C．66D．686．(多选)[2022·福建福州高一期末]一艘轮船航行到A处时看灯塔B在A的北偏东75°，距离12eq\r(6)海里，灯塔C在A的北偏西30°，距离为12eq\r(3)海里，该轮船由A沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏东60°方向，下面结论正确的有()A．AD＝24B．CD＝12C．∠CDA＝60°或∠CDA＝120°D．∠CDA＝60°7．[2022·江苏扬州高一期末]《后汉书·张衡传》：“阳嘉元年，复造候风地动仪．以精铜铸成，员径八尺，合盖隆起，形似酒尊，饰以篆文山龟鸟兽之形．中有都柱，傍行八道，施关发机．外有八龙，首衔铜丸，下有蟾蜍，张口承之．其牙机巧制，皆隐在尊中，覆盖周密无际．如有地动，尊则振龙，机发吐丸，而蟾蜍衔之．振声激扬，伺者因此觉知．虽一龙发机，而七首不动，寻其方面，乃知震之所在．验之以事，合契若神．”如图为张衡地动仪的结构图，现在相距120km的A，B两地各放置一个地动仪，B在A的东偏北75°方向，若A地地动仪正东方向的铜丸落下，B地地动仪东南方向的铜丸落下，则地震的位置距离B地________km.8．江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，求两条船之间的距离．9．如图，为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内．测得A到M，N的俯角分别为α1＝75°，β1＝30°，B到M，N的俯角分别为α2＝45°，β2＝60°，同时测得AB＝eq\r(6)km.(1)求AM的长度；(2)求M，N之间的距离．10．[2022·山东东营高一期末]如图，一条巡逻船由南向北行驶，在A处测得灯塔底部C在北偏东15°方向上，匀速向北航行20分钟到达B处，此时测得灯塔底部C在北偏东60°方向上，测得塔顶P的仰角为60°，已知灯塔高为2eq\r(3)km.(1)求巡逻船的航行速度；(2)若该船继续航行10分钟到达D处，问此时灯塔底部C位于D处的南偏东什么方向．培优生11．(多选)[2022·湖北荆州高一期中]如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50m，山坡对于地平面的坡度为θ，则下列说法正确的是()A．cosθ＝eq\r(3)－1B．cosθ＝eq\r(2)－1C．山坡A处与建筑物CD的顶端C的距离为100eq\r(2)米D．山坡A处与建筑物CD的顶端C的距离为100米12．[2022·福建宁德高一期中]在以灯塔E为中心的6海里以内有暗礁，点E正北20海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45°且与点A相距20eq\r(2)海里的位置B，经过50分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45°＋θ(其中cosθ＝eq\f(3\r(10),10)，0°<θ<90°)且与点A相距5eq\r(5)海里的位置C.(1)求该船的行驶速度(单位：海里/时)；(2)若该船不改变航行方向继续行驶，试判断它是否有触礁的危险，并说明理由．课时作业(十三)余弦定理、正弦定理应用举例1．解析：由题意可知，∠C＝45°，∠A＝60°，AB＝30海里，由正弦定理可得eq\f(BC,sinA)＝eq\f(AB,sinC)，解得BC＝15eq\r(6)海里．故选B.答案：B2．解析：由题可得∠BAD＝60°，∠CAD＝45°，故AD＝CD＝256米，BD＝eq\r(3)AD＝256eq\r(3)米，故塔高BC为BD－CD＝256(eq\r(3)－1)米，故选B.答案：B3．解析：由题可知AB＝40，AC＝30，∠BAC＝60°由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos60°＝1300，得BC＝10eq\r(13)，乙渔船到达甲渔船所在位置需要的时间为eq\f(10\r(13),15)＝eq\f(2\r(13),3)＝2.4小时．答案：2.44．解析：(1)在△BCD中，∠BDC＝30°＋15°＝45°，∠CBD＝180°－45°－105°＝30°，CD＝10eq\r(6)，由正弦定理，得BC＝eq\f(CDsin45°,sin30°)＝20eq\r(3)；在Rt△ABC中，AB＝BCsin60°＝20eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝30(米).(2)升旗速度v＝eq\f(AB,t)＝eq\f(30,50)＝0.6(米/秒).5．解析：如图所示：由题意得：∠AMB＝75°，∠PMQ＝30°，∠AMP＝75°，∠APM＝60°，∠PAM＝45°，在△PMQ中，PM＝eq\f(PQ,sin∠PMQ)＝50.8，在△PAM中，由正弦定理得eq\f(AM,sin∠APM)＝eq\f(PM,sin∠PAM)，所以AM＝25.4×eq\r(6)，在△ABM中，AB＝AM·sin∠AMB＝25.4×eq\r(6)×eq\f(\r(2)＋\r(6),4)≈60，故选B.答案：B6．解析：如图：在△ABD中，B＝45°，由正弦定理有eq\f(AD,sin45°)＝eq\f(AB,sin60°)，AD＝eq\f(12\r(6)×\f(\r(2),2),\f(\r(3),2))＝24，故A正确．在△ACD中，由余弦定理得CD2＝AC2＋AD2－2×AC×AD×cos30°，因为AC＝12eq\r(3)，AD＝24,所以CD＝12，故B正确．由正弦定理得eq\f(CD,sin30°)＝eq\f(AC,sin∠CDA)，所以sin∠CDA＝eq\f(\r(3),2)，故∠CDA＝60°或者∠CDA＝120°，因为AD>AC，故∠CDA为锐角，所以∠CDA＝60°，故C不正确，D正确．故选ABD.答案：ABD7．解析：作图如下，由题意得A＝75°，B＝60°，C＝45°，AB＝120，故eq\f(BC,sinA)＝eq\f(AB,sinC)，BC＝eq\f(120,sin45°)·sin75°，而sin75°＝sin(45°＋30°)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4)，得BC＝60eq\r(3)＋60.答案：60eq\r(3)＋608．解析：如图所示，∠CBD＝30°，∠ADB＝30°，∠ACB＝45°.∵AB＝30(m)，∴BC＝30(m)，在Rt△ABD中，BD＝eq\f(30,tan30°)＝30eq\r(3)(m).在△BCD中，CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos30°＝900，∴CD＝30(m)，即两船相距30m．9．解析：(1)如题图所示，在△ABM中，∠AMB＝180°－(α1＋α2)＝60°，由正弦定理可得，eq\f(AB,sin∠AMB)＝eq\f(AM,sin∠ABM)，AM＝eq\f(\r(6)sin45°,sin60°)＝2km.(2)∵∠ANB＝β2－β1＝30°，∠ABN＝180°－β2＝120°，∴AB＝BN＝eq\r(6)，∴AN＝3eq\r(2)，在△AMN中，∠MAN＝α1－β1＝45°，由余弦定理得，MN2＝AM2＋AN2－2AM·ANcos∠MAN，代入数据有MN2＝4＋18－2×2×3eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝10，即MN＝eq\r(10)km.10．解析：(1)在直角△BCP中，tan∠PBC＝eq\f(PC,BC)，故BC＝2.在△ABC中，∠BCA＝180°－15°－120°＝45°，由正弦定理得eq\f(BC,sin∠BAC)＝eq\f(AB,sin∠BCA)，解得：AB＝2(eq\r(3)＋1)，从A到B共花20分钟，故巡逻船的航行速度v＝6(eq\r(3)＋1)km/h.(2)在△BCD中，BC＝2，BD＝eq\r(3)＋1，∠DBC＝60°，由余弦定理可得：CD＝eq\r(6)，在△BCD中，由正弦定理得：eq\f(CD,sin∠DBC)＝eq\f(CB,sin∠CDB)，则sin∠CDB＝eq\f(\r(2),2)，而CD>CB，则∠CDB<∠DBC，故∠CDB＝eq\f(π,4)，所以此时灯塔底部C位于D处的南偏东45°方向．11．解析：∵∠CBD＝45°，∠BAC＝15°，∴∠ACB＝30°，在△ABC中，由正弦定理得BC＝eq\f(100sin15°,sin30°)＝50(eq\r(6)－eq\r(2))，在△BCD中，由正弦定理得eq\f(50（\r(6)－\r(2)）,sin∠BDC)＝eq\f(50,sin45°)，∴sin∠BDC＝eq\r(3)－1，即sin(θ＋90°)＝eq\r(3)－1，∴cosθ＝eq\r(3)－1，故A正确，B错误；在△ABC中，∠ABC＝135°，由正弦定理得：eq\f(AB,sin∠ACB)＝eq\f(AC,sin∠ABC)⇒AC＝eq\f(100×sin135°,sin30°)＝eq\f(100×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝100eq\r(2)，故C正确，D错误．故选AC.答案：AC12．解析：(1)如图，AB＝20eq\r(2)，AC＝5eq\r(5)，∠BAC＝θ，cosθ＝eq\f(3\r(10),10).由余弦定理得BC＝eq\r(AB2＋AC2－2AB·AC·cosθ)＝5eq\r(13).所以船的行使速度为eq\f(5\r(13),\f(5,6))＝6eq\r(13)(海里/小时).(2)如图所示，设直线AE与BC的延长线相交于点Q.在△ABC中，由余弦定理得cos∠ABC＝eq\f(AB2＋BC2－AC2,2AB·BC)＝eq\f(5\r(26),26).从而sin∠ABC＝eq\r(1－cos2∠ABC)＝eq\r(1－\f(25,26))＝eq\f(\r(26),26).所以sin∠AQB＝sin(45°－B)＝eq\f(\r(