高中数学课时作业十二正弦定理新人教A版必修第二册

课时作业(十二)正弦定理练基础1.[2022·山东泰安高一期中]在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.若A＝eq\f(π,4)，B＝eq\f(π,3)，a＝eq\r(2)，则b的值为()A．1B．eq\r(2)C．eq\r(3)D．22．[2022·福建龙岩高一期末]在△ABC中，已知A＝60°，a＝2eq\r(3)，b＝2eq\r(2)，则B＝()A．30°B．45°C．60°D．75°3．[2022·山东临沭高一期中]在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若eq\f(sinA,a)＝eq\f(cosB,b)，则B＝()A．eq\f(3π,4)B．eq\f(π,3)C．eq\f(π,4)D．eq\f(π,6)4．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a，b和B的值．提能力5.(多选)[2022·河北唐山高一期中]△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边．根据以下条件解三角形，恰有一解的是()A．a＝4，b＝3，A＝eq\f(π,3)B．a＝3，b＝4，A＝eq\f(π,6)C．a＝3，b＝2，A＝eq\f(2π,3)D．a＝1，b＝2，A＝eq\f(π,4)6．[2022·江苏泰州高一期末]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若eq\r(2)a＝eq\r(3)bsinA，则sinB＝()A．eq\f(\r(6),3)B．eq\f(\r(3),3)C．eq\f(\r(2),3)D．eq\f(1,3)7．[2022·湖北武汉高一期末]在△ABC中，已知(a－ccosB)cosA＝acosBcosC，那么△ABC一定是()A．等腰或直角三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等边三角形8．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2－b2＝eq\r(2)ac－c2.(1)求B；(2)若b＝5，cosC＝eq\f(\r(2),10)，求c.9.[2022·湖南长沙高一期末]在锐角△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且eq\r(3)a＝2csinA.(1)求角C的大小；(2)若c＝eq\r(7)，且ab＝6，求△ABC的周长．10．已知方程x2－bcosAx＋acosB＝0的两根之积等于两根之和，且a，b为△ABC的两边，A，B为a，b的对角，试判断△ABC的形状．培优生11.[2022·江苏南通高一期末]已知△ABC为锐角三角形，AC＝2，A＝eq\f(π,6)，则BC的取值范围为()A．(1，＋∞)B．(1，2)C．(1，eq\f(2\r(3),3))D．(eq\f(2\r(3),3)，2)12．在△ABC中，a＝eq\r(3)，A＝eq\f(π,3)，试求△ABC的周长的取值范围．课时作业(十二)正弦定理1．解析：因为A＝eq\f(π,4)，B＝eq\f(π,3)，a＝eq\r(2)，由正弦定理得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，即b＝eq\f(asinB,sinA)＝eq\f(\r(2)×\f(\r(3),2),\f(\r(2),2))＝eq\r(3).故选C.答案：C2．解析：由正弦定理得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，即eq\f(2\r(3),\f(\r(3),2))＝eq\f(2\r(2),sinB)，解得sinB＝eq\f(\r(2),2)，又b<a，可得B<A，0°<B<60°，则B＝45°.故选B.答案：B3．解析：由正弦定理可得eq\f(sinA,a)＝eq\f(sinB,b)＝eq\f(cosB,b)，则sinB＝cosB，tanB＝1，又B∈(0，π)，则B＝eq\f(π,4).故选C.答案：C4．解析：∵eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，∴a＝eq\f(csinA,sinC)＝eq\f(10sin45°,sin30°)＝10eq\r(2).B＝180°－(A＋C)＝180°－(45°＋30°)＝105°，又∵eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，∴b＝eq\f(csinB,sinC)＝eq\f(10sin105°,sin30°)＝20sin75°＝20×eq\f(\r(6)＋\r(2),4)＝5(eq\r(6)＋eq\r(2)).5．解析：对于A，由正弦定理得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，即eq\f(4,sin\f(π,3))＝eq\f(3,sinB)，解得sinB＝eq\f(3\r(3),8)<eq\f(\r(3),2)，又B<A，只有一解，正确；对于B，由正弦定理得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，即eq\f(3,sin\f(π,6))＝eq\f(4,sinB)，解得sinB＝eq\f(2,3)>eq\f(1,2)，又B>A，有两解，错误；对于C，由正弦定理得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，即eq\f(3,sin\f(2π,3))＝eq\f(2,sinB)，解得sinB＝eq\f(\r(3),3)<eq\f(\r(3),2)，又B<A，只有一解，正确；对于D，由正弦定理得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，即eq\f(1,sin\f(π,4))＝eq\f(2,sinB)，解得sinB＝eq\r(2)>1，无解，错误．故选AC.答案：AC6．解析：由题意，eq\r(2)a＝eq\r(3)bsinA，∴eq\r(2)sinA＝eq\r(3)sinBsinA，∵sinA≠0，∴sinB＝eq\f(\r(2),\r(3))＝eq\f(\r(6),3).故选A.答案：A7．解析：(a－ccosB)cosA＝acosBcosC，由正弦定理可得：(sinA－sinCcosB)cosA＝sinAcosBcosC，sinAcosA＝cosB(sinCcosA＋sinAcosC)＝cosBsinB，所以sin2A＝sin2B，所以2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝eq\f(π,2).所以△ABC是等腰或直角三角形．答案：A8．解析：(1)a2－b2＝eq\r(2)ac－c2变形为a2＋c2－b2＝eq\r(2)ac，所以cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(\r(2),2)，因为B∈(0，π)，所以B＝eq\f(π,4)，(2)因为cosC＝eq\f(\r(2),10)，且C∈(0，π)，所以sinC＝eq\r(1－cos2C)＝eq\f(7\r(2),10)，由正弦定理得：eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，即eq\f(5,sin\f(π,4))＝eq\f(c,\f(7\r(2),10))，解得c＝7.9．解析：(1)由eq\r(3)a＝2csinA及正弦定理得eq\f(a,c)＝eq\f(2sinA,\r(3))＝eq\f(sinA,sinC)，因为sinA>0，故sinC＝eq\f(\r(3),2).又∵△ABC为锐角三角形，所以C＝eq\f(π,3).(2)由余弦定理a2＋b2－2abcoseq\f(π,3)＝7，∵ab＝6，得a2＋b2＝13，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(a＝2,b＝3)))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(a＝3,b＝2)))，∴△ABC的周长为a＋b＋c＝5＋eq\r(7).10．解析：设方程的两根为x1，x2，由根与系数关系得x1＋x2＝bcosA，x1x2＝acosB，由题意得bcosA＝acosB.由正弦定理得2RsinBcosA＝2RsinAcosB，∴sinAcosB－cosAsinB＝0，即sin(A－B)＝0.在△ABC中，0<A<π，0<B<π，－π<A－B<π，∴A－B＝0，即A＝B，∴△ABC为等腰三角形．11．解析：因为△ABC为锐角三角形，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A＝\f(π,6),0<B<\f(π,2),0<\f(5π,6)－B<\f(π,2)))，解得eq\f(π,3)<B<eq\f(π,2)，所以eq\f(\r(3),2)<sinB<1.在△ABC中，由正弦定理，得eq\f(AC,sinB)＝eq\f(BC,sinA)，即BC＝eq\f(AC·sinA,sinB)＝eq\f(2×sin\f(π,6),sinB)＝eq\f(1,sinB)，由eq\f(\r(3),2)<sinB<1，得1<eq\f(1,sinB)<eq\f(2\r(3),3)，即1<BC<eq\f(2\r(3),3).所以BC的取值范围为(1，eq\f(2\r(3),3)).故选C.答案：C12．解析：由正弦定理，得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，即eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝eq\f(\r(3),\f(\r(3),2))＝2，∴b＝2sinB，c＝2sinC，∴△ABC的周长为L＝a＋b＋c＝eq\r(3)＋2sinB＋2sinC＝eq\r(3)＋2sinB＋2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－B))＝eq\r(3)＋3sinB＋eq\r(3)cosB＝eq\r(3)＋2eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B＋\f(π,6)))，又B∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c