高中数学课时作业15平行直线与异面直线新人教B版必修第四册

课时作业(十五)平行直线与异面直线一、选择题1．若a，b为异面直线，则()①a∩b＝∅，且a不平行于b；②a⊂平面α，b⊂平面β，且α∩β＝l；③a⊂平面α，b⊂平面β，且α∩β＝∅；④不存在平面α能使a⊂α，且b⊂α成立．A．①②④ B．①③④C．②③ D．①④2．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是侧面AA1D1D，侧面CC1D1D的中心，G，H分别是线段AB，BC的中点，则直线EF与直线GH的位置关系是()A．相交 B．异面C．平行 D．垂直3．(多选)a，b，c是空间中的三条直线，下列说法中正确的是()A．若a∥b，b∥c，则a∥cB．若a与b相交，b与c相交，则a与c也相交C．若a，b分别在两个相交平面内，则这两条直线可能平行、相交或异面D．若a与c相交，b与c异面，则a与b异面4．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G，H，M，N分别是棱AB，BC，A1B1，BB1，C1D1，CC1的中点，则下列结论正确的是()A．直线GH和MN平行，GH和EF相交B．直线GH和MN平行，MN和EF相交C．直线GH和MN相交，MN和EF异面D．直线GH和EF异面，MN和EF异面二、填空题5．如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________.6．空间两个角α，β，且α与β的两边对应平行，且α＝60°，则β＝________．7．在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，若AC＝BD，则四边形EFGH为________形．三、解答题8．在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为BC和AD的中点，将平面CDFE沿EF翻折起来，使CD翻折到C′D′的位置，G，H分别为AD′和BC′的中点．求证：四边形EFGH为平行四边形．9．在如图所示的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，E1，F1分别是棱AB，AD，B1C1，C1D1的中点．求证：(1)四边形EFF1E1为平行四边形；(2)∠EA1F＝∠E1CF1.[尖子生题库]10．如图所示，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD各边上的点，且有AE∶EB＝AH∶HD＝m，CF∶FB＝CG∶GD＝n.(1)证明：E，F，G，H四点共面；(2)m，n满足什么条件时EFGH是平行四边形；(3)在(2)的条件下，若AC⊥BD，试证明EG＝FH.课时作业(十五)平行直线与异面直线1．解析：②③中α可能与β相交也可能平行，①④符合异面直线的定义．答案：D2．解析：如图，连接AD1，CD1，AC，因为E，F分别为AD1，CD1的中点，由三角形的中位线定理知EF∥AC，GH∥AC，所以EF∥GH.答案：C3．解析：由平行线的传递性知A正确；若a与b相交，b与c相交，则a与c可能平行、相交或异面，B错误；易知C正确；若a与c相交，b与c异面，则a与b可能相交、平行或异面，故D错误．答案：AC4．解析：易知GH∥MN，又∵E，F，M，N分别为所在棱的中点，由平面基本事实3可知EF，DC，MN交于一点，故选B.答案：B5．解析：题干图①中，GH∥MN，因此，GH与MN共面．题干图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面．题干图③中，连接MG，GM∥HN，因此，GH与MN共面．题干图④中，G，M，N三点共面，但H∉平面GMN，所以GH与MN异面．答案：②④6．答案：60°或120°7．答案：菱8．证明：∵EF为梯形ABCD的中位线，∴EF∥AB，且EF＝eq\f(1,2)(AB＋CD).又GH为梯形ABC′D′的中位线，∴GH∥AB，且GH＝eq\f(1,2)(AB＋C′D′).又C′D′＝CD，∴EF綊GH.∴四边形EFGH为平行四边形．9．证明：(1)连接BD，B1D1，在△ABD中，因为E，F分别为AB，AD的中点，所以EF綊eq\f(1,2)BD，同理E1F1綊eq\f(1,2)B1D1，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，因为AA1綊DD1，AA1綊BB1，所以B1B綊DD1，所以四边形BDD1B1是平行四边形，所以BD綊B1D1，所以EF綊E1F1.所以四边形EFF1E1为平行四边形．(2)取A1B1的中点M，连接BM，F1M，因为MF1綊B1C1，B1C1綊BC，所以MF1綊BC，所以四边形BCF1M是平行四边形，所以MB∥CF1，因为A1M綊EB，所以四边形EBMA1是平行四边形，所以A1E∥MB，所以A1E∥CF1，同理可证：A1F∥E1C，又∠EA1F与∠F1CE1两边的方向均相反，所以∠EA1F＝∠E1CF1.10．解析：(1)证明：因为AE∶EB＝AH∶HD，所以EH∥BD，又CF∶FB＝CG∶GD，所以FG∥BD，所以EH∥FG，所以E，F，G，H四点共面．(2)当且仅当EH綊FG时，四边形EFGH为平行四边形．因为eq\f(EH,BD)＝eq\f(AE,AE＋EB)＝eq\f(m,m＋1)，所以EH＝eq\f(m,m＋1)BD，同理FG＝eq\f(n,n＋1)BD，由E