湖南省永州市进宝塘镇第一中学2021年高三数学理月考试卷含解析

湖南省永州市进宝塘镇第一中学2021年高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若向量的夹角为120°，，，则（

）A. B. C.1 D.2参考答案：C【分析】由，代入已知条件，即可解得.【详解】因为，又，，，所以，解得(舍去)或.故选C.【点睛】本题考查求平面向量的模,常用方法是用数量积或求解.2.设直线的方程是，从1，2，3，4，5这五个数中每次取两个不同的数作为A、B的值，则所得不同直线的条数是

（

）A．20

B．19

C．18

D．16参考答案：答案：C3.若x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最小值为(

) A．2 B．4 C．﹣2 D．﹣4参考答案：C考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最小值．解答： 解：作出不等式对应的平面区域（阴影部分），由z=2x﹣y，得y=2x﹣z，平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z经过点A（0，2）时，直线y=2x﹣z的截距最大，此时z最小．此时z的最小值为z=0﹣2=﹣2，故选：C．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．4.已知、均为锐角，若的

（

）

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：答案：C5.在四边形ABCD中，若，且，则四边形ABCD是（

）A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.梯形参考答案：A【分析】根据向量相等可知四边形ABCD为平行四边形；由数量积为零可知，从而得到四边形为矩形.【详解】，可知且

四边形为平行四边形由可知：

四边形为矩形本题正确选项：【点睛】本题考查相等向量、垂直关系的向量表示，属于基础题.6.命题的否定A.

B.C.

D.参考答案：D略7.从装有大小相同的2个红球和6个白球的袋子中，每摸出2个球为一次试验，直到摸出的球中有红球（不放回），则试验结束.（1）求第一次试验恰摸到一个红球和一个白球概率；（2）记试验次数为，求的分布列及数学期望．参考答案：（1）；（2）的分布列为1234

略8.已知整数数列共5项，其中，且对任意都有，则符合条件的数列个数为（）A．24

B．36

C．48

D．52参考答案：9.设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的值是最大值为12，则的最小值为（）A． B． C． D．4参考答案：A【考点】基本不等式；二元一次不等式（组）与平面区域．【分析】已知2a+3b=6，求的最小值，可以作出不等式的平面区域，先用乘积进而用基本不等式解答．【解答】解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线ax+by=z（a＞0，b＞0）过直线x﹣y+2=0与直线3x﹣y﹣6=0的交点（4，6）时，目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大12，即4a+6b=12，即2a+3b=6，而=，故选A．10.函数的最小值为（

）A.1003×1004

B.1004×1005

C.2006×2007

D.2005×2006参考答案：答案：A解析：由绝对值的几何意义知x=1004时，取得最小值：此时的最小值为

2×（1003+1002+……+1）=1003×1004

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（5分）若a＞0，b＞0，且+=，则a3+b3的最小值为．参考答案：考点： 基本不等式．专题： 不等式的解法及应用．分析： 由条件利用基本不等式求得ab≥4，再利用基本不等式求得a3+b3的最小值．解答： 解：∵a＞0，b＞0，且且+=，∴=+≥2，∴ab≥2，当且仅当a=b=时取等号．∵a3+b3≥2≥2=4，当且仅当a=b=时取等号，∴a3+b3的最小值为4．故答案为：点评： 本题主要考查基本不等式在最值中的应用，要注意检验等号成立条件是否具备，属于基础题．12.已知二次函数，不等式的解集的区间长度为6(规定：闭区间[a，b]的长度为)，则实数m的值是_______.参考答案：【分析】根据题意的解集为，分析可得和是方程的两根，将二次函数根与系数的关系与相结合，可得的值．【详解】根据题意的解集为，则和是方程即的两根，则，，不等式的解集的区间长度为6，即，则有，解可得，故答案为．【点睛】本题主要考查函数的零点与方程根的关系，涉及一元二次不等式的解法，属于基础题．13.从集合{1，2，3，4，5，6}中随机抽取一个数为a，从集合{2，3，4}中随机抽取一个数为b，则b＞a的概率是．参考答案：考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：所有的数对（a，b）共有6×3=18个，而满足b＞a的数对用列举法求得有6个，由此求得所求事件的概率．解答：解：所有的数对（a，b）共有6×3=18个，而满足b＞a的数对（a，b）有（2，1）、（3，1）、（3，2）、（4，1）、（4，2）、（4，3），共计6个，故b＞a的概率是=，故答案为．点评：本题考主要查古典概型问题，可以列举出试验发生包含的事件和满足条件的事件，列举法，是解决古典概型问题的一种重要的解题方法，属于基础题．14.＝

。参考答案：15.已知（其中、是实数，是虚数单位），则

参考答案：3略16.已知，则的值等于

．参考答案：17.若函数f（x）=k?cosx的图象过点P（，1），则该函数图象在P点处的切线倾斜角等于．参考答案：．【分析】把点P（，1）代入解析式求出k的值，由求导公式求出f′（x），由导数的几何意义求出切线的斜率，再由斜率与倾斜角的关系求出倾斜角．【解答】解：因为f（x）=k?cosx的图象过点P（，1），所以1=k?cos，解得k=2，则f（x）=2cosx，所以f′（x）=﹣2sinx，所以在点P（，1）处的切线斜率是﹣2sin=﹣，则在P点处的切线倾斜角是，故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某餐厅通过查阅了最近5次食品交易会参会人数x（万人）与餐厅所用原材料数量y（袋），到如下统计表：

第一次第二次第三次第四次第五次参会人数x（万人）13981012原材料y（袋）3223182428

（1）根据所给5组数据，求出y关于x的线性回归方程；（2）已知购买原材料的费用C（元）与数量t（袋）关系为，投入使用的每袋原材料相应的销售收入为700元，多余的原材料只能无偿返还，据悉本次交易大会大约有15万人参加.根据（1）中求出的线性回归方程，预测餐厅应购买多少袋原材料，才能获得最大利润，最大利润是多少？（注：利润L=销售收入－原材料费用）..参考公式：，.参考数据：，，.参考答案：(1).（2）餐厅应该购买36袋原材料，才能使利润获得最大，最大利润为11520元.试题分析：（1）根据公式求出b，再将样本中心代入求出a，进而得到回归方程；（2），利润为赚的钱减去花出去的钱，根据分段函数的表达式，分段列出利润表达式，分别讨论利润的最值，最终取分段函数中较大的利润值.解析：(1)由所给数据可得：，，，，则关于线性回归方程为.(2)由(1)中求出线性回归方程知，当时，，即预计需要原材料袋，因为，所以当时，利润，当时，；当时，利润，当时，.综上所述，餐厅应该购买36袋原材料，才能使利润获得最大，最大利润为11870元.19.（本小题满分12分）等差数列的前n项和为，满足：（I）求；（II）数列满足，数列的前项和为，求证.参考答案：20.巳知函数f（x）=ax2－bx－1nx，其中a，b∈R。

（I）当a=3，b=-1时，求函数f（x）的最小值；

（Ⅱ）若曲线y=f（x）在点（e，f(e））处的切线方程为2x－3y－e=0（e=2.71828…为自然对数的底数），求a，b的值； （Ⅲ）当a>0，且a为常数时，若函数h（x）=x[f（x）+1nx]对任意的x1>x2≥4，总有成立，试用a表示出b的取值范围；参考答案：解：因为，所以，令，所以f(x)在上单调递减，在上单调递增，则f(x)在处取得最小值为；（Ⅱ）因为①，又因为切点(e，f(e))在直线2x－3y－e=0上，所以切点为，所以②，联立①②解得.（Ⅲ）由题意，对于任意，总有成立，令，则函数p(x)在x∈[4，＋∞)上单调递增，所以上恒成立.构造函数，则，所以F(x)在上单调递减,在上单调递增.(1)当时，F(x)在上单调递减，在上单调递增.所以F(x)的最小值为；(2)当时F(x)在(4，＋∞)上单调递增，，综上，当时，当时，略21.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系xOy有相同的长度单位，曲线C的极坐标方程为．（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）设曲线C与直线l交于A、B两点，且M点的坐标为(3,4)，求的值．参考答案：解：（1）：，C：，即所以C的普通方程是（2）将直线方程化为参数方程：带入C的普通方程得：，设A，B对应的参数分别是，，则，所以22.已知如图5，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为矩形，且PA=AD=1,AB=2,,.(1)求证：平面平面；(2)求三棱锥D－PAC的体积；(3)求直线PC与平面ABCD所成角的正弦值．

图5参考答案：(1)证明：∵ABCD为矩形∴且--------------------------------------1分∵

∴且

--------------------2分∴平面,又∵平面PAD∴平面平面-----------------------------------------5分(2)∵----------------------------------7分由（1）知平面，且

∴平面-------------8分∴----10分（3）解法1：以点A为坐标原点，AB所在的直线为ｙ轴建立空间直角坐标系如右图示，则依题意可得,,可得,----------------------------12分平面ABCD的单位法向量为，设