2024历届中考数学压轴题解析(名校版)

【文库独家】历届中考压轴题1、（浙江金华，23，10分）在平面直角坐标系中，如图1，将n个边长为1的正方形并排组成矩形OABC，相邻两边OA和OC分别落在x轴和y轴的正半轴上，设抛物线y=ax2+bx+c(a<0)过矩形顶点B、C.（1）当n＝1时，如果a=－1，试求b的值；（2）当n＝2时，如图2，在矩形OABC上方作一边长为1的正方形EFMN，使EF在线段CB上，如果M，N两点也在抛物线上，求出此时抛物线的解析式；（3）将矩形OABC绕点O顺时针旋转，使得点B落到x轴的正半轴上，如果该抛物线同时经过原点O，①试求出当n=3时a的值；②直接写出a关于n的关系式.图1图1图2图3……2、（福建福州，22，14分）已知,如图11,二次函数图象的顶点为,与轴交于、两点(在点右侧),点、关于直线:对称.(1)求、两点坐标,并证明点在直线上;(2)求二次函数解析式;(3)过点作直线∥交直线于点,、分别为直线和直线上的两个动点,连接、、,求和的最小值.图11图11备用图3、（山东日照，24，10分）如图，抛物线y=ax2+bx（a0）与双曲线y=相交于点A，B.已知点B的坐标为（-2，-2），点A在第一象限内，且tan∠AOx=4.过点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C．（1）求双曲线和抛物线的解析式；（2）计算△ABC的面积；（3）在抛物线上是否存在点D，使△ABD的面积等于△ABC的面积．若存在，请你写出点D的坐标；若不存在，请你说明理由．4、（甘肃兰州，28，12分）如图所示，在平面直角坐标系xoy中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线经过点A、B和D（4，）。（1）求抛物线的表达式。（2）如果点P由点A出发沿AB边以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q由点B出发，沿BC边以1cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动。设S=PQ2（cm2）。①试求出S与运动时间t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；②当S取时，在抛物线上是否存在点R，使得以点P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由。（3）在抛物线的对称轴上求点M，使得M到D、A的距离之差最大，求出点M的坐标。xyxyAOBPQCD答案一、解：（1）由题意可知，抛物线对称轴为直线x=，∴,得xyOCEAxyOCEABMNFyxOCyxOCAB由对称性可知抛物线经过点B（2，1）和点M（，2）∴解得∴所求抛物线解析式为；……4分（3）①当n=3时，OC=1，BC=3，设所求抛物线解析式为，xyOABCD过C作CD⊥OB于点D，则RtxyOABCD∴,设OD=t，则CD=3t，∵，∴，∴,∴C（，）,又B（，0）， ∴把B、C坐标代入抛物线解析式，得解得:a=；……2分②.……2分二、【答案】解:(1)依题意,得解得,∵点在点右侧∴点坐标为,点坐标为∵直线:当时,∴点在直线上(2)∵点、关于过点的直线:对称∴过顶点作交于点则, ∴顶点 把代入二次函数解析式,解得 ∴二次函数解析式为(3)直线的解析式为 直线的解析式为 由解得即,则∵点、关于直线对称∴的最小值是,过作轴于D点。过点作直线的对称点,连接,交直线于则,,∴的最小值是,即的长是的最小值∵∥∴在由勾股定理得∴的最小值为（不同解法参照给分）三、（1）把点B（-2，-2）的坐标，代入y=，得：-2=，∴k=4．即双曲线的解析式为：y=．设A点的坐标为（m，n）。∵A点在双曲线上，∴mn=4．…①又∵tan∠AOx=4，∴=4，即m=4n．…②又①，②，得：n2=1,∴n=±1.∵A点在第一象限，∴n=1,m=4，∴A点的坐标为（1，4）把A、B点的坐标代入y=ax2+bx，得：解得a=1，b=3；∴抛物线的解析式为：y=x2+3x；（2）∵AC∥x轴，∴点C的纵坐标y=4，代入y=x2+3x，得方程x2+3x-4=0，解得x1=-4，x2=1（舍去）．∴C点的坐标为（-4，4），且AC=5，又△ABC的高为6，∴△ABC的面积=×5×6=15；（3）存在D点使△ABD的面积等于△ABC的面积.过点C作CD∥AB交抛物线于另一点D．因为直线AB相应的一次函数是：y=2x+2，且C点的坐标为（-4，4），CD∥AB，所以直线CD相应的一次函数是：y=2x+12.解方程组得所以点D的坐标是（3，18）四、【答案】（1）由题意得A（0，－2），B（2，－2），抛物线过A、B、D三点得解得抛物线的表达式为（2）①S=PQ2=（0≤t≤1）②由解得t=或t=（不合题意，舍去）此时，P（1，－2），B（2，－2），Q（2，）若以点P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形，则R（3，）或（1，－）或（1，）经代入抛物线表达式检验，只有点R（3，）在抛物线上所以抛物线上存在点R（3，）使得以点P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形。（3）过B、D的直线交抛物线对称轴于点M，则