高一数学函数知识点总结

高一数学函数知识点总结

函数复习主要知识点一、函数的概念与表示1.映射映射是指两个集合之间的一种对应关系，其中一个集合中的每个元素都对应着另一个集合中唯一的元素。如果这种对应关系满足一定的条件，则可以称为映射。映射通常用符号f:A→B表示，其中A和B分别表示两个集合，f表示对应的规律或函数。2.函数函数是一种特殊的映射关系，它由三个要素构成：定义域、对应法则和值域。其中，定义域是指函数的自变量可以取的值的集合，对应法则是指函数的自变量和因变量之间的关系，值域是指函数的因变量可以取的值的集合。如果两个函数的三个要素相同，则可以认为它们是同一个函数。二、函数的解析式与定义域1.求函数的定义域求函数的定义域的主要依据有四个：分式的分母不为零，偶次方根的被开方数不小于零，对数函数的真数必须大于零，指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1。根据这些依据，可以求出函数的定义域。2.求函数的定义域的两个难点问题求函数的定义域时，有两个难点问题。第一个问题是如何处理复合函数的定义域，需要注意复合函数的定义域是由内层函数的定义域和外层函数的定义域共同决定的。第二个问题是如何处理含有绝对值符号的函数，需要根据绝对值的性质来确定函数的定义域。三、函数的值域1.求函数值域的方法求函数值域的方法有四种：直接法、换元法、判别式法和分离常数法。其中，直接法适用于简单的复合函数，换元法适用于根式内外皆为一次式的函数，判别式法适用于分母为二次且x∈R的分式，分离常数法适用于分子分母皆为一次式的函数（x有范围限制时需要画图）。5种求函数值域的方法包括单调性法、图象法、利用对号函数、几何意义法和直接法。其中，二次函数必须画草图求其值域，含绝对值函数则可以利用几何意义法求解。此外，函数的奇偶性也是求解函数值域的重要方法。要判断函数的奇偶性，可以根据定义和性质进行判断。偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称。若函数的定义域关于原点对称，则函数在原点处取值为0。此外，奇函数与奇函数相加、偶函数与偶函数相加均为偶函数，奇函数与偶函数相加为奇函数。举例来说，对于一个定义在（-∞，+∞）上的偶函数f(x)，当x∈（-∞，）时，f(x)=x-x^4，则当x∈（，+∞）时，f(x)=-2x+b。而对于一个定义域为R的奇函数f(x)=（2+a）/（x+1），可以求出a=0，b=0。此外，若对于任意的t∈R，不等式f(t-2t)+f(2t-k)<恒成立，则k的取值范围为(-∞，0)。另外，若奇函数f(x)(x∈R)满足f(2)=1，f(x+2)=f(x)+f(2)，则f(5)=f(1)。在判断函数单调性时，需要比较函数f(x)和g(x)的单调性。在M上，如果f(x)与g(x)的单调性相同，那么y=f(g(x))在M上是增函数。例如，如果f(x)是减函数，则y=f(g(x))在M上是减函数。例1：判断函数f(x)=-x（x∈R）的单调性。该函数的导数为f'(x)=-1，恒小于0，因此f(x)在R上是单调递减的。例2：函数f(x)对任意的m,n∈R，都有f(m+n)=f(m)+f(n)-1，并且当x>0时，f(x)>1。证明：f(x)在R上是增函数；如果f(3)=4，则解不等式f(a+a-5)<2。⑴证明：设a<b，则f(b)-f(a)=f(b-a)=f((b-3)+(a-2))=f(b-3)+f(a-2)-1>1+1-1=1，因此f(x)在R上是单调递增的。⑵由f(3)=4可得f(6)=7，因此f(a+a-5)<2化为f(2a-5)<-5，即f(2a-5)+f(7-2a)<-4。由于f(x)在R上是单调递增的，因此f(2a-5)+f(7-2a)>f(2)+f(3)=5，因此不等式无解。例3：函数y=log(6+x-2x)/log10的单调增区间是________。由于log函数的定义域是(0,∞)，因此6+x-2x>0，解得x<6。又因为log函数的导数是1/x，恒大于0，因此y=log(6+x-2x)/log10在区间(-∞,6)上是单调递增的。例4：已知f(x)=⎧⎨⎩(3a-1)x+4a,x<1;logax,x>1。如果f(x)在(-∞,∞)上是减函数，那么a的取值范围是（）。由于f(x)在(-∞,∞)上是减函数，因此f'(x)在(-∞,∞)上恒小于0。当x<1时，f'(x)=3a-1<0，解得a<1/3；当x>1时，f'(x)=1/(xlna)<0，解得a>1。因此a的取值范围是(0,1)。六、函数的周期性：1.定义：如果f(x+T)=f(x)（T≠0），则f(x)是周期函数，T是它的一个周期。注意：nT也是f(x)的周期。推广：如果f(x+a)=f(x+b)，则f(x)是周期函数，b-a是它的一个周期。对照记忆：f(x+a)=f(x-a)说明：f(a+x)=f(a-x)说明：周期是2af(x+a)=-f(x)；f(x+a)=f(x)说明：周期是2a例1：已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x)，则f(6)的值为（）。由于f(x)是奇函数，因此f(6)=f(2+4)=-f(2)=f(0)=0。例2：定义在R上的偶函数f(x)，满足f(2+x)=f(2-x)，在区间[-2,0]上单调递减，设a=f(-1.5)，b=f(2)，c=f(5)，则a,b,c的大小顺序为_____________。由于f(x)是偶函数，因此f(-1.5)=f(1.5)，a=f(1.5)；f(2)=f(0)=b；f(5)=f(-3)，因为f(x)在[-2,0]上单调递减，所以f(-3)>f(-2)>f(-1)>f(0)=b，因此c>f(-3)>a>b。例3：已知f(x)是定义在实数集上的函数，且f(x+2)=(1+f(x))/(1-f(x))，如果f(1)=2/3，则f(2005)=。由于f(x+2)=(1+f(x))/(1-f(x))，因此f(x+4)=(1+f(x+2))/(1-f(x+2))，代入f(x+2)得f(x+4)=(1-f(x))/(1+f(x))，因此f(x+4)=-f(x)，因此f(x)是周期函数，其周期为4。因此f(2005)=f(2005-501×4)=f(1)=2/3。例4：已知f(x)是(-∞,∞)上的奇函数，f(2+x)=-f(x)，当x≤1时，f(x)=x，