可测函数的定义与性质概述

第11讲可测函数的定义与性质目的：熟练掌握可测函数的定义，熟悉其性质，掌握常见的一些可测函数。重点与难点：可测函数的引入，性质的证明。第11讲可测函数的定义与性质基本内容：一．可测函数的定义为了定义新的积分，我们已经对Rn中的一般集合定义了测度概念，但同时也看到了，Rn中的确存在一些集合，它们是不可测的，因此，有必要对定义于Rn中某个可测子集E上的函数f，考察形如第11讲可测函数的定义与性质

的集合这可测性,假如对一切的上述集合都是可测的，则下面的和式就有意义了（见本书的引言），从而可以讨论其极限的存在性，本章的目的，就是研究使得集合第11讲可测函数的定义与性质

对一切都可测的函数之结构。（1）关于∞的运算由于我们允许函数值取，所以需作一些规定，我们所讨论的函数都是指单值实函数，并且规定（i）（ii）对任意第11讲可测函数的定义与性质（iii）对任意（iv）但是第11讲可测函数的定义与性质

及是没有意义的，因此，不允许作这种运算。（2）定义定义1假设是可测集，是E上的函数，如果对任意常数a，集合都是可测集，则称f是E上的可测函数。第11讲可测函数的定义与性质问题1：为了定义函数的Lebesgue积分，须要求这些函数满足什么条件？问题2：列举几类可测函数的例子？第11讲可测函数的定义与性质（3）简单函数的可测性定义设是可测集,E1，E2，…，En

是E的互不相交的可测子集，且

C1,C2，…,Cn是常数，则称E上的函数为简单函数。第11讲可测函数的定义与性质记为的特征函数，则显然有命题1对任意可测集E，E上的简单函数是可测的。证明：设是E上的简单函数，不失一般性，假设第11讲锯可多测函崇数的毒定义刊与性堵质（若摊，则眯将看作辱某个Ek），往械证对朵任意是可付测集山。显兽然，第11讲束可戏测函觉数的锈定义迷与性裁质所以是可岁测集产。证呜毕。（4）非泊负函逼数可需测性朝的等密价定捕义如果螺可测例函数妖，则邻称其反为非柄负可测醒函数挑。定理1如果借是急可测崖集上边的非喝负函符数，则下博列各驻陈述寻相互冶等价汤：第11讲蒜可犹测函做数的宜定义揉与性模质（i）扇在E上非者负可危测；（ii）存危在E上的独非负耐简单块函数体列使得证明针，其皆中第11讲距可稍测函格数的臭定义威与性亏质是E上的码非负灵简单翁函数顾，满扶足则对印任意逃实数a及任退意术是可测语集，潮但故稼是次可测针集。(i调)(i德i)假设f是E上的材非负膀可测熄函数镰，即第11讲浴可燥测函艘数的掠定义瓜与性醋质任意债实数a,是可灶测集,不难锻看到故镇是可蓄测集厉，于轮是对雄任意咏常数a，b，集龟合也是驴可测棕的。第11讲祝可烟测函捞数的崭定义回与性峡质对任掘意正孩整数m及令则是互招不相膜交的慢可测联集，牙且定义菜简单严函数第11讲凳可泊测函电数的桨定义勿与性愚质可以匆证明迎（请知读者牙自行验证类）。托下面懒证明若摸使伏则对凡任意，所善以若牲则可宗取正宰整数帅则当时，第11讲兼可输测函冒数的扮定义避与性期质因此弟。锣证毕削。由于境定理1中（i）与(i侮i)的等鸽价性皮，所以，权也可看将（ii）作昆为非抛负可攀测函瞒数的丛定义温。第11讲毒可矿测函洗数的点定义光与性渣质（5）一怀般可具测函姥数的宁等价滤定义而对井一般秤的实剂值函晨数，鼻可以求作的企正负顾部分辜解：第11讲孔可价测函番数的托定义隐与性搜质则,于是柄又可些利用的可令测性玻来定湿义的f的可绸测性膛。即并称杜可测单当且盆仅当范都是阴可测搏函数歉。可跳以证背明该鹿定义少与定御义1是等它价的脊。第11讲队可嗓测函降数的幸定义零与性位质定理2设是Rn中可宜测集E个的沸函数乞，则在E上可介测当浩且仅控当下高列条件之皱一成愿立。(i厉)对任君意常坑数a,可测闻；(i银i)对任搏意常略数a,可测淋；第11讲麦可皇测函幅数的帮定义堂与性逃质(i冤ii奸)对任境意常嗽数a,可测躬；证明嘉：因棋为第11讲叹可浩测函臭数的避定义枕与性胡质故丸可为测(i个)(i怒i)(i毙ii纸)可测映。证毕餐。问题3：可潜否用E{冲x|颗f(倾x)地=α闻}(场α∈奏R)的可所测性甘作为苍可测借函数榜的定芳义？摧为什蜜么？第11讲泉可撤测函忍数的盛定义意与性特质问题4：可肺否用E{司x|马α≤叛f(损x)默<β兄}的可转测性溪作为搁可测澡函数嫂的定违义？问题5：若f是可假测函伶数，鹅则E{猛f(稳x)营=±垦∞}是否千可测更？第11讲宿可化测函鬼数的离定义纲与性绍质命题2若鞋是E上的耐可测传函数皮，则都是俱可测够集。证明乐由立得副证明趣。第11讲耻可移测函永数的盈定义由与性璃质二．么可测殃函数谱的性释质（1）几估乎处时处相亩等的概函数下面全讨论减可测端函数笑的基号本性堤质。一般顿地，欠如果E是可亿测集膏，到是回与x有关旱的命折题，蜂且存框在E的零滩测子坏集E0，使妹得对氏任意准，命冤题成朝立，破则说在E上几临乎处翁处成辫立。第11讲坊可冠测函锅数的寸定义热与性迟质性质1如果梢两个冷函数炕与摔在上几愚乎处珠处相催等，枪则当神其中哑一个克在E上可女测时战，另来一个孕也可倚测。证明乱：假揉设跨可援测，损则对员任意昆实数是可寇测集不，由丝式于是零鬼测集头，且第11讲虚可珍测函暑数的奖定义煌与性抽质故矩是竭可测厅集与一悄个零哑测集顽的并价，它购当然励可测项。证伯毕。第11讲龄可挺测函虚数的浅定义患与性宾质从性逃质1可以拥看到香，函茂数的仆可测未性与替其在某零测纱集上镰的取骗值无瓶关，环因此收，讨郑论的谊函数菠的可蛮测性获允许同在任袄何零孤测集蚂上改制变其蕉值，秒比如旅，我洲们来腰看看Di勇ri射ch际le管t函数兰。第11讲简可训测函秀数的脚定义掘与性矮质由于款，误故可牛以在杂上联重新蹦定义D的值招，从孤而得幸新的吐函数这是绘常值投函数贺，它撇与腹几扔乎处献处相洗等，顷所以蕉与扩的性可测箱性相爽同。秀尽管处处某不连驾续，须但和牌一个尚常值撤函数导却是凝几乎映处处红相等猛的。罩在第势四章柔中将害会看拥到，便这样全的函需数虽史然不是Ri浮em引an拦n可积闪的，摇却是陶最简阿单的Le来be鸟sg点ue可积遍函数窜。事携实第11讲侦可递测函骗数的晒定义牺与性便质上，丈它正脖是我气们前护面定递义的煤简单军函数泛。（2）可测鞭函数北定义饮域的军分割性质2如果哀是E上的元可测浴函数瓣，E0是E的可包测子币集，跌则兰也是E0上的老可测惕函数韵。反巨之，蹲如果细已知抵在每灰一个Ei上都押可测波，i=1悠,2哭,3响,…,则悲在浑可测截。第11讲绍可雀测函牌数的馋定义蚊与性胆质证明肉：由立得塘性质2。由于篮我们取允许没可测尝函数彼取值禾为本，所进以讨茅论两醉个可晕积函币数的翻和、懂差、坚商的灰可第11讲鉴可漫测函父数的寸定义总与性任质测性扮，需依假定编这些起运算宰是被共允许阵的。（3）可测概函数贝的和膜与差忍的可桂测性性质3若猫，泰都是E上的觉可测旷函数庙则（i）且在E上可唱测。(i济i)当殊在E上几砍乎处欧处有甩意义踢时，在E上可浅测；第11讲恨可交测函污数的捕定义召与性墓质证明艘：若庆，兔则骄，它谜当然窑在E上可团测。脂若薯，则删对任费意从而剂由依的可张测性第知忧可测率。第11讲史可掘测函涨数的赠定义丧与性裤质若棒则故丛仍可烤测。重（i）证嫂毕。为证(i点i)，不众妨设腰处处碑有意致义，将R1中的好全体疫有理扭数排溉成序压列糟，则棒对任意第11讲约可亡测函益数的半定义集与性羡质由答的必可测泡性知兰上式航最后的一项恢是可卡测集丽，从违而危可测点，即可测。第11讲够可赞测函蛾数的臣定义烫与性恩质问题6：已知糕两