高考复习-三角函数的定义（精讲）（基础版）（解析版）

3.1三角函数的定义(精讲)(基础版)

恩傩男囹

角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一

定义个位置所成的图形

角彳一，转方向―正角一逆时针旋转、负角一顺时时旋转、零角

-终边位置象限角、轴线角

设〃是Tff意角，a€R,它的终边OP与圆相交于点.£),

JUsina=—,cosa=—,tana=^(x^0)

定乂卜-----------r-r---------x---------------------------------

所有与角a终边相同的角，连同角a在内，可构成一个集合

--------------S={B|B=a+2k兀，k€z}.终边相同的角不一定相等，

终边相一但相等的角其终边一定相同

同的笛

口诀一全正、二正弦、三正切、四余弦

三三角函数值正负判断第一象限全部正，第二象限正弦正

解析第三象限正切正，第四象限余弦正

角

函

数

定

义

三

角

，^角函数线可以看作是三角函数的几何表示.正弦线的起点都在X轴上,

函

数1余弦线的起点若是原点，正切线的起点都是(1,0).

线

定义把长度等于生径长的图弘所对的圆心角叫做1瓠度的角，弧度记作rad.

国=4弧长用/表示)

角a的瓠度数公式

r

孤角度与弧度的换算01°=—rad；②lrad=l“

度180

制

弧长公式弧长/=|如

扇形面积公式

公式

角

考点一扇形的弘长与面积三考点三象限的判断

数

函

义

定

考点二三角函数的定义考点四三角函数线

例题到析

考点一扇形的弧长与面积

【例1-1］（2021•安徽黄山市）若一扇形的圆心角为144°,半径为10cm,则扇形的面积为cm2.

【答案】40〃.

【解析】扇形的圆心角为144°,半径为10cm,所以扇形的面积为5=史・万-102=40乃（CH?）.

36017

故答案为：40〃.

【例1-2】（2022•全国・贵阳一中二模）已知圆锥的母线长为3,其侧面展开图是一个圆心角为2年4的扇形，则

该圆锥的底面半径为.

【答案】1

【解析】因为圆锥的母线长为3,所以侧面展开图扇形的半径为3,设该圆锥的底面半径为，

所以有用-3=2夕=田，故答案为：1

【例1-3］（2022•全国•高三专题练习）中国传统扇文化有着深厚的底蕴，一般情况下，折扇可以看做是从一

个圆形中前下的扇形制作而成的，当折扇所在扇形的弧长与折扇所在扇形的周长的比值为叵1时，折扇的

2

外观看上去是比较美观的，则此时折扇所在扇形的圆心角的弧度数为（）

75+1

D.V5-1

2

【答案】A

由题意得七二与1,变形可得

【解析】设扇形的弧长为/，半径为"，圆心角的弧度数为

2（1）

-=^7=^+1,因为/=ar,所以折扇所在扇形的圆心角的弧度数为石+1.故选：A.

/-3-V5

【一隅三反】

1.（2022.浙江浙江.二模）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中有这样一个问题：“今有

宛田，下周三十步，径十六步.问为田几何？”其意思为：”有一块扇形的田，弧长为30步，其所在圆的直径

为16步，问这块田的面积是多少平方步？”该问题的答案为平方步.

【答案】120

【解析】由题意得：扇形的弧长为30,半径为8,所以扇形的面积为：S==jx30x8=120,

故答案为：120

2.（2022•全国•高三专题练习）已知扇形的周长是6,面积是2,则扇形的圆心角的弧度数。是（）

A.1B.4C.1或4D.2或4

【答案】C

2r+/=6

[r=1

【解析】设扇形所在圆的半径为人由扇形的周长是6,面积是2,可得1,。解得/=4或

-lr=2

[2

又由弧长公式，可得/=ar,即。=,，当厂=1,/=4时，可得a=4；当r=2,/=2时，可得a=l,

r

故选：C.

3.（2022•全国•高三专题练习）如图所示，扇环的两条弧长分别是4和10,两条直边4D与BC的长

都是3,则此扇环的面积为（）

A.84B.63C.42D.21

【答案】D

【解析】设扇环的圆心角为a,小圆弧的半径为，由题可得劭=4且a（r+3）=10,解得c=2,r=2,从

而扇环面积S=：x2x（52-22）=21.故选：D.

4.（2022・全国•高三专题练习）《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健

的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁

饼者的手臂长约为JTT米，肩宽约为7gT米，"弓”所在圆的半径约为1.25米，则掷铁饼者双手之间的距离约为

48

()

A.1.012米B.1.768米C.2.043米D.2.945米

【答案】B

【解析】由题得：弓所在的弧长为：f++茨济

二两手之间的距离金丽吟='31.768.故选：B.

考点二三角函数的定义

【例2-1](2022•江西•芦溪中学)已知点网4,-3)是角a终边上的一点，则sina=()

43

B.C.--D.

55

【答案】D

【解析】因点尸(4,一3)是角a终边上的一点，则/=4+(-3)2=5,所以sina=-^=-].故选：D

【例2-2](2022•安徽)在平面直角坐标系中，若角夕的终边经过点"-si吟,cos。＞贝"夕=(

)

A.1B.--C,显D.一立

2222

【答案】D

_1厂

.7C7Tn2v2

【解析】由角，的终边经过点P-sm—,cos—所以COS8=-『F=鼠.故选：D.

63

V4+4

3

【例2-3】（2022・湖南・长沙-中高三阶段练习）若角。的终边过点尸即，-3）,且tana="则机的值为

()

A.--B.[C.--D.3

2222

【答案】A

一331

【解析】***tana--=-,m=一一,故选：A.

8m42

【例2-4](2022•北京四中高三阶段练习)角。的终边过点。(2,4),则tanR+?卜()

A.—B.—3C.-D.3

33

【答案】B

八冗

tan夕+tan

=^^=-3.故选:

【解析】角8的终边过点*2,4),...tan9=2,tan6+?4B.

1一tan，八tan—万1—2

4

【一隅三反】

1.（2022・四川成都）如图，角。以3为始边，它的终边与圆。相交于点P,点夕的坐标为（1,-2）,则tana=

()

【答案】A

【解析】根据三角函数定义，lana=2===-2.故选：A

X1

2.（2022・安徽）已知角a的终边上有一点尸（力则cos2e=（）

A.--B.1C.--D.也

2222

【答案】B

【解析】依题意cosa=-^=3,cos2a=2cos2a-l=』.故选：B

V3+122

4

3.（2022.河南新乡.二模（理））已知点A是。的终边与单位圆的交点，若A的横坐标为-二，则cos2a=（)

A.-B.--C.—D.--

552525

【答案】C

4-7

【解析】由题意知，cosa=--，所以cos2a=28520-1=^.故选：C

525

4.（2022・重庆巴蜀中学）己知角a的终边过点尸（3,〃?）（〃?*0）,且sina=1，贝ijcosa的值为（）

A.±-B.-C.±-D.-

5555

【答案】B

mmm

【解析】因为角。的终边过点「（3,m）（机工0）,且sina=?,故可得W=解得病=16,则

5〉，9+〃/

5.（2022.河南洛阳）已知角。的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点

P(cos150+sin15°,cos150-sin15°),则tana=().

A.2-后B.2+6C.@D.73

3

【答案】C

・&力上一▼皿AA,'，、，，目cos15-sinl51-tan15tan45-tan15

【解析】由ih切函数的定乂得tana=--------------------=-------------=---------------------

cos15+sinl51+tan151+tan15tan45

=tan(45—15j.故选：C

考点三象限的判断

【例3-1］（2022・重庆•高三开学考试）若tan6>0,则下列三角函数值为正值的是（）

A.sin。B.cos。C.sin20D.cos20

【答案】C

qinf)

【解析】tan0=----->0=>sin0cos^>0=>sin20=2sin0cos0>0,所以C选项正确.

cos。

当6=2时，tan>0,sin0<0,cos^<0,cos20=cos—=cos—=0,所以ABD选项错误.故选：C

422

【例3-2](2022•全国•高三专题练习)若a是第四象限角，则江一。是第()象限角.

A.-B.二C.三D.四

【答案】c

IT7T

【解析】.「a是第四象限角，二・——卜2k7r<a<2k7r,kQZ,/.-2%乃<-a<—2kn-\—,kQZ,

22

3

7t—2kn<7i—a<—2k7i-\—乃，k^Z,故兀一a是第三象限角.故选：C

2

【例3-3]（2022.浙江•高三专题练习）已知6是第三象限角，满足|sin*=-sing,则|•是（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【解析】。是第三象限角，.,.万+2&花<6•〈当+2SkwZ,则>&乃<2c今+&T，keZ,即|■为第二或

第四象限角，又Ising|=_sing,.・.?为第四象限角.故选：D.

【一隅三反】

1.（2022•山东枣庄•高三期末）6为第三或第四象限角的充要条件是（）.

A.sinOcOB.cos6<0C.sinaandcOD.cos^tan^<0

【答案】D

【解析】对于A：第三或第四象限角，以及终边在y轴负半轴，故A错误；

对于B：第二或第三象限角，以及终边在x轴负半轴，故B错误；

对于C：第二或第三象限角，故C错误；

对于D：第三或第四象限角，故D正确.故选：D

2.（2022•甘肃酒泉♦高三期中）若角。满足tan6>0,sin6<0,则角6所在的象限是（）.

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【解析】由tan。〉。知，。是•、三象限角，由sin（9<0知，。是三、四象限角或终边在y轴负半轴上，

故夕是第三象限角.故选：C

3.（2022•全国・高三专题练习（理））角a的终边属于第一象限，那么!■的终边不可能属于的象限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【解析】；角a的终边在第一象限，

2%乃<a<g+2k万，keZ,则当<[<[+当，k&Z,

23363

当％=3n（neZ）时，此时年Ci的终边落在第一象限，

当氏=3〃+1（〃eZ）时，此时与的终边落在第二象限，

当％=3〃+2（〃eZ）时，此时气的终边落在第三象限，

综上，角a的终边不可能落在第四象限，

故选：D.

-sin28<0

4.（2022•昆明市）若〈八八，则。是（）

cos夕<0

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

【答案】B

【解析】因为sin26>=2sin6»cos8<0,又cos6»<0,所以sin6>0,所以。是第二象限角.故选：B

5.（2021•湖南高三月考）已知sin6>（）,cos（e-〃）〉0,贝是（）

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

【答案】B

【解析】由cos（8—乃）>（）得cos（（9-%）=cos（%-e）=-cose>0,则cos6<0,

又sin6>>0,所以6是第二象限角.故选：B.

考点四三角函数线

【例4-1]（2022•全国•高三专题练习）已知0<x<2万，且sinxvcosx,则x的取值范围是（）.

s4、3TT■,_.TC3/r、,5zr7乃、一，八、__4、5TT_、

A.[0,一）u（Z—，乃]B.（一,—）=（—，—）C.（乃,2%）D.r[/0,—）。（Z—,2加

44444444

【答案】D

【解析】画出单位圆以及sinx=MP,cosx=OMr

从图中可知X的取值范围是［0，£）5苧，2加

44

故选：D.

【例4-2］（2022•全国•高三专题练习）若一个<a<一£,从单位圆中的三角函数线观察sina,cosa,tana

42

的大小是（）

A.sina<tana<cosaB.cosa<sina<tana

C.sina<cosa<tanaD.tana<sina<cosa

【答案】C

【解析】如图所示

作出角a的正弦线MP,余弦线OM,正切线4T,因为一y<a<一y，所以均为负值，且皿>|明,

AT为正值，|。叫>明”，故有sinaVcosaVtana.

故选：C

【例4-3］（2022•河南・南阳市第二完全学校高级中学高一阶段练习）已知a=g,b=sing,c=cosg,"=tan；,

则a,A,c,d的大小关系是（)

A.b<a<c<dB.a<b<c<d

C.b<a<d<cD.a<b<d<c

【答案】c

【解析】先证明：当0<x<三时，sinx<x<tanx

2

如图，角x终边为OP,其中点尸为角x的终边与单位圆的交点，PMLx轴，交x轴与点

A点为单位圆与x轴的正半轴的交点，轴，交角x终边于点T,

则有向线段为角x的正弦线，有向线段AT为角x的正切线，设弧以=/=xXl=x,

由图形可知：SZXOAPVS扇形OAP<SZ\OA7,

H\\-xOAxMP<-xOAxl<-xOAxAT

222

所以,xOAxsinxV'xOAxx<'xOAxtanx,[!|Jsinx<x<tanx

222

.111

所以sin—<-<tan—

333

又由函数丫=1311%在上单调递增，所以tan，<tan，

I2；32

1万G

tan—vtan—=—

263

又由函数y=cosx在上单调递减，则cos1>cos&=3>立

I2；2623

1731

所以cos—>——>tan—

232

所以sin!<1<tan工<cos-,^b<a<d<c

3322

故选：C.

【一隅三反】

1.（2020•安徽•合肥市庐阳高级中学高三阶段练习（理））设0WxW2乃，使sinxN：且cosx<正同时成立

22

的X取值范围是（）

A.信金B.C.

L66」|_64J|_64_

【答案】D

IJr57r

【解析】因为0WxW2%,由正弦曲线得：sinx±彳时，xe

2166.

由余弦曲线得:

所以sinx411.cosx<也同时成立的x的取值范围是x苧

22（46

故选：D

JJT

2.（2022•全国偎三专题练习）已知a=sin：,Z?=sin—,c=tan2,贝!]

26

A.a<