高考数学唯一零点求值问题（解析版）

唯一零点求值问题

一、单选题

1.(2023-全国•高三专题练习)已知函数/O)=|x+2|+ex+2+e-2T+a有唯一零点,则实数a=()

A.1B.-1C.2D.-2

【答案】D

【解析】设ff(x)=f(x—2)=|r|+er+e-T+a,定义域为R,

：.g[—x)—|—x|+e-1+ex+a=|x|+ex+e~x+a=g(rr),

故函数g(rr)为偶函数，则函数/(立一2)的图象关于？轴对称，

故函数/(⑼的图象关于直线6=-2对称，

•.7(x)有唯一零点，

.•J(-2)=0,即a=-2.

故选：D.

2.(2023•全国•方三明/练习)已知函数/(c)=e"r+eA*：-a(sin:r+cos:r)有唯一零点，则a=()

A.—B.—C.V2D.1

ee

【答案】C

【解析】令/(c)=eJ1+e1r—a(sinx+cosx)=0,则e1•+亚一,=，^asin(/+亍)，

记1一：="则ez+e-z=V2asin(t+*)=V^QCOS"令g⑴=e'+e＜贝[g(—t)=已一+e',，g(t)=

g(一£)，所以g(t)是偶函数，图象关于g轴对称，因为/(0只有唯一的零点，所以零点只能是£=0,于

是V2a=2,a=A/2

故选:C

3.(2023-全国-方三专题练习)已知函数gQ),八⑸分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且gQ)+

x2020

h(x)=e^+sinx—%,若函数/(%)=3'-'-Aff(x-2020)-2矛有唯一零点，则实数4的值为

A.-1或/B.1或—C.-1或2D.-2或1

【答案】A

【解析】已知g(c)+h(x)=e"+sinc—①，①

且g(4),h(x)分别是R上的偶函数和奇函数，

则ff(-x)+h(-x)=e~x+sin(-x)+x,

得：ff(x)—h(x)=e~“一sinx+z,②

①+②得:gQ)=亘芳;，

由于|田一2020|关于a;=2020对称，

则3|X-2O2O|关于工=2020对称，

<;(x)为偶函数，关于y轴对称，

则g(a:-2020)关于1=2020对称,

由于/3)=3*2。2。1一沏(工—2020)—2万有唯一零点，

则必有*2020)=0,g(())=l,

即"(2020)=3°—网(0)—2矛=1-4一2矛=0,

解得：A=-1或

故选：A.

4.(2023-全国•高三专题练习)已知函数/(立)=2e|3C-2|-ya(2T-2+22-1)-有唯一零点，则负实数a

=()

A.-2B.-yC.-1D.-■1■或-1

【答案】A

［解析】函数/(a)=2e|x-21-ya(21-2+2?-)一/有唯一零点，

设/—2=t,

则函数y=2el(l-ya(2z+2-‘)-a2有唯一零点，

则2泗一/a⑵+2-')=〃

设g(力)=2e”—}a(2'+2g(-t)=2e—今次2一'+2')=g⑴，,g⑴为偶函数，

,/函数/U)有唯一零点，

:.y=g(t)与g=a?有唯一的交点，

此交点的横坐标为0,2—a=a2,解得a=-2或a=1(舍去)，

故选A.

5.(2023-全国•方三专题练习)已知函数/(。)=3e"U—a(2^+21-1)-a2有唯一零点，则负实数a=

()

A.—T-B.—C.-3D.-2

O/

【答案】C

［解析】注意到直线c=l是9=3炭一"和y=+21r的对称轴，故a;=1是函数/(z)的对称轴，

若函数有唯一零点，零点必在x=1处取得，所以/(I)=3-2a—a?=0,又aV0,解得a=-3.

选C.

6.(2023・全国・高三阶4史练习)已知函数/3)=/-2±+&(尸1+6-，巧有唯一零点，则(1=()

A.—J-B.1C.JD・1

【答案】c

【解析】因为f(x)=x2—2x+a([T+e-r:+l)=(①一1)2+a(ex-14-e~x+l)—1,设±=7一1,则

f⑸—g[t｝=户+Q(e'+。一’)-1,因为g(£)=g(—t),所以函数g(t)为偶函数,若函数/Q)有唯一零

点,则函数g(t)有唯一零点，根据偶函数的性质可知，只有当力=0时，g(t)=0才满足题意，即久=1

是函数/(2)的唯一零点，所以2a—1=0,解得a=/.故选：C.

7.(2023春•云南曲清•高三曲靖一中校考阶段练习)已知函数/(c)=皿(27+2-短)+d-c有唯一

零点，则小的值为()

A.—B.《C.qD.《

【答案】D

【解析】/㈤有零点，则m(2a：-^+2~,+^)=—x2+x=—^x—y)2+

令t=c—十，则上式可化为m(2f+2-()=—严+

-廿+/

因为2'+2T>0恒成立，所以小=布端-,

-/++—(―i)2+y—12+4-

令帅=”2；12T，则MF=—声”一=,2T.=”(£)，

故”t)为偶函数，

因为/(⑼有唯一零点，所以函数九(。的图象与y=m有唯一交点，

结合％(t)为偶函数，可得此交点的横坐标为0,

1

故m=九(0)=0占；=/

故选:D

8.(20234k-山西♦高三统考)已知数列｛斯｝的首项供=1,函数/(c)=/+a”+iCos2/—(2册+1)有唯

一零点，则通项％=()

A.3ntB.2"TC.2n-1D.3n-2

【答案】C

【解析】'."(一z)=(—x)'+a„+1cos(-2rc)—(2a”+1)=a?+an+|Cos2x—(2a„+1)=/(x),

.-./(x)为偶函数，图象关于y轴对称，

."./(a；)的零点关于y轴对称，又/(立)有唯一零点，.../(T)的零点为①=0,

即/(0)=drt+1-(2%+1)=0,0n+1=2M+1,即an+,+1=2(an+1),

又5+1=2,.•.数列｛%+1｝是以2为首项，2为公比的等比数列,

，%+1=2"加“=2"-1.

故选：C.

9.(2023-全国•赤三专题练习)已知函数gQ),乂立)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且gQ)+

/i(c)=e，+c,若函数/(c)=e"U+雨(c—1)-2万有唯一零点，则正实数义的值为()

A.JB.JC.1D.2

【答案】C

I解析】由题设,厅”管广:丁立，可得:如=丐J

由f(z)=e"7+Ag(x—1)—2#,易知：fQ)关于8=1对称.

当a)1时，f(x)=以-1+4(e1-1+e'-1)-2A2,则f'(x)=成一】+-j(ex-l-e"，)>0,

所以/(T)单调递增，故xv1时/(H)单调递减，且当刀趋向于正负无穷大时/(刀)都趋向于正无穷大，

所以/3)仅有一个极小值点1,则要使函数只有一个零点，即/(1)=o,解得4=1.

故选:C

10.(2023春•辽宁•方三校或者期末)已知函数gQ),九3)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且

g(x)+h(x)=e”+/—①若函数/Q)=2上一泌—Ah(x-2022)-6矛有唯一零点，则实数4的值为

()

A.—•1或)B.1或—•C.—■或］D.-2或1

【答案】C

x3

【解析】由题意，函数gQ),h(x)分别是奇函数和偶函数，且g(c)+h(x)=e+x—xy

可存,(工)+八(工)=或+/一工解得八("=Y+e-'

「仟(g(-z)+似—土)=_9(/)+八3)=©-，-/+工'解仔()_2，

则h(—a?)=-,=人(工)，所以h⑸为偶函数，

又由函数f3)=2*2叫一属(工一2022)-6不关于直线?=2022对称,

且函数/①)有唯一零点，可得了(2022)=0,即2°一1X驾或-6万=0,

即1—4—6#=0,解得;1=4■或;1=—今.

故选：C.

11.(2023春•福庵泉州•商三福堂看德化第一中学校考开学考试)已知函数/㈤=sin(多r)+

a(e，T+ef+i)有唯一零点，则a=()

A.-1B.—C.D.1

【答案】B

【解析】因为函数/(①)=sin(yX)+矶61+6-"1),

令0-1=力，

则9(t)=sin(^-(t+1))+a(d+eT)=cos(-^-t)+a(eA+e-r)为偶函数,

因为函数/(")=sin(y3；)+a(ex-1+e-'x+1)有唯一零点，

所以g⑴=cos(yZ)+a(ez+e-£)有唯一零点,

根据偶函数的对称性，则g(0)=l+2a=0,

解得。=一力，

故选:B

12.(2023-全国•高三专题练习)已知函数/Q)=in(l+为—ln(a-⑼有唯一零点，则a=

A.0B.—C.1D.2

【答案】C

【解析】函数/(立)的定义域为(—l,a),则a>-1,/(x)=2x----£-----―,

XIxXCL

则〃⑸=2+房可+苫尸0，

所以，函数r(M在(一1,。)上为增函数，

当/->—1,时，/'(1)T—8,当/TQ一时，/'(Z)->4-00,

则存在x€(-l,a)，使得r(j)=2x-=0,则」=[[-2x,

()ud/0II1--LU>Ct—“0vl/QI10

当—ivivg时，r(出)<0,此时函数/(①)单调递减,

当的VIVa时，户(1)>0,此时函数/(I)单调递增，

，/3)min=/(g)=就一1"(1+10)-In(a-g),

由于函数/Q)=x2—ln(l+x)—ln(a—a?)有唯一零点，

则/3)min=/0“)=就一ln(l+的)-ln(a-与)=0,

1_1

由<a-x()—一+1-2g>(),解得一]</<瓜;\,

12x-

所以，xo-ln(l+□?„)+In—=xo-ln(l+x())+ln(—2a;())=x'o+In0

二二2

(L雹)\LLQI1一(%+I)的+1.

=0,

令0(乃=/+ln"：'一等f]，其中TV/V

,(1=9(6+1)2)2Q+2)[2Q+2)_4二+81+2-+4

0㈤一一*1—2/—24L3+1)3」-"(2/+2工—1)3+1)-(2/+2立一1)(立+1)

_以“/+1尸+2(2—/)

(2x2+2x—l)(x+1)'

,/—1<x<—则2s2+2x—1V0,工+1>0,2—re?>0,贝i]d(工)<0,

所以，函数夕(工)在(-4,-巡11)上单调递减，且尹(0)=0,Ax()=0,

从而可得看=1,解得a=l.

故选：C.

13.(2023春•宣庆九龙城•赤三堂庆市育才中学校考阶段练习)已知函数g(c)AQ)分别是定义在R上

的偶函数和奇函数，且9(工)+h(x)=e"+z,若函数/(JC)=2^+Ag(x—1)—6/P有唯一零点，则正

实数4的值为()

A.4B.4C.2D.3

【答案】A

・〃”，，・，,一,(。(①)+八(6)=e"十9

【解析】由已知条件可知｛/X,,Z\_工(、.'

[g[-x)-\-n\—x)=e-x=g(x)—h([x)

由函数奇偶性易知g(c)=C-^e一

令Mx)=2㈤+〃g(z)-GA2,Mx)为偶函数.

当/>0时，/(①)=24n2+工>o,

小㈤单调递增,当x<0时,力(％)单调递减,力(土)仅有一个极小值点0,/(%)

Mx)图象右移一个单位，所以仅在1处有极小值，

则函数只有1一个零点，即f(i)=0,

解得

故选:A

14.(2023-全国-高三专题练习)已知函数/(。)=x2-2x+a(eA】++cos(x-1)-1有唯一零点，

则Q=()

A.1B.—C.~z~D.

【答案】D

【解析】因为,f(x)=(工一I)2+a(e£T+e-d))+cos(z-1)-2,

令力一1=1则g(±)=t2+a(c'+e-t)+cost-2,

因为函数/Q)=x2—2x+a(ex-1+e-x+1)+cos(①一1)—1有唯一零点，

所以g〃)也有唯一零点，且g«)为偶函数，图象关于g轴对称，由偶函数对称性得g(0)=0,所以2a+

1—2=0,解得a=*,

故选：D.

15.(2023•全国•高三专题练习)若函数/(入)=鼠一3|+e，T+e3f+小有唯一零点，则实数m的值为

()

A.0B.-2C.2D.-1

【答案】B

【解析】设g(z)=/(x+3)=㈤+e，+e~+m,

g(—x)—|—x|+e-I+e:r+m=|x|+e'r+e~x+m=g(x)

故函数g(x)为偶函数，则函数/(t+3)的图像关于“轴对称，故函数/(立)的图像关于直线土=3对

称，

•."(工)有唯一零点

.,./(3)=0,即小=-2,

经检险,/(c)=\x—Sl+e1-3+e3-1—2仅有1个零点工=3.

故选：B.

16.(2023春•广西•高三校我考阶段练习)已知关于c的函数fQ)=2一2阳+比一1|+〃+b—4有唯

一零点rc=a,则a+b=()

A.-1B.3C.一1或3D.4

【答案】B

【解析】/(①)=b(x—1>+比一1|+"2-4,令t=£—1,

则有g(t)=况?+-4是偶函数,

若只有唯一零点，则必过原点,即g(0)=0,从而b=±2.

当b=-2时，有3个零点,舍去.

故b=2,此时t=a—1=0,则a=l,故a+b=3.

故选:B

17.(2023舂•广东广州•商三广州大中校考)已知函数9包),％3)分别是定义在R上的偶函数和奇函

数，且gQ)+h(x)=e"+sine—c,若函数/(工)=BUM—雨(土一2021)-2矛有唯一零点，则实数4

的值为()

A.-1或专B.1或一/C.一1或2D.-2或1

【答案】A

【解析】已知g(%)+五(宓)=e*+sinr-i，①

且g(z),h(x)分别是H上的偶函数和奇函数，

则g(一%)-Fh(—x)=e"~"+sin(一勿)+x,

得:g(x)—h[x)=e~x—sinx+rc,②

①+②得:gQ)=e贷_,

由于上一2021|关于±=2021对称，

则3-202“关于卬=2021对称,

g(6)为偶函数，关于“轴对称，

则g(x-2021)关于I=2021对称,

由于f⑺=3*2侬―勿此-2021)-2矛有唯一零点，

则必有f(2021)=0,g(0)=l,

即:/(2021)=3"—而(0)—2矛=1-4-2矛=(),

解得：4=T或｝.

故选：A.

二、填空题

18.(2023•上海•高三专题练习)若函数/(乃=3罔一力㈤+m2-23€兄)有唯一零点，则实数小的值

为.

【答案】±1

【解析】•.,±eR,f(—x)=3^®*-m|-s|+m2—2=f(x)

是偶函数

根据偶函数的性质，可得/(0)=(),3"+n?-2=(),解得m=士1

当771=1时，此时/(c)=3同一㈤一1,有唯一零点;

当m=-1时，此时/(1)=3㈤+㈤-1,也有唯一零点；

故m=±l时有唯一零点.

故答案为：±1

19.(2023-上海•高三专题练习)若函数/(⑼=2M-a\x\+a2-2(xeR)有唯一零点，则实数a的值为_

【答案】-1

【解析】因为xGR、又./(―土)=2-a|一工|+<?-2=/(c),所以函数为偶函数.

因为函数有一个零点，根据偶函数的性质，可得/(0)=0,所以20+/-2=0,解得a=±1.

当a=1,此时/⑸=2闺一㈤一1,知/(春方⑵V0,f㈤有零点(n=1),不符合题意：

当Q=-1,此时/(1)=2㈤+国-1在(0,4-00)上单调递增，/(1)>/(0)=(),根据偶函数对称性，符合

题意；所以Q=-1.

故答案为：一1

20.(2023-全国-高三专题练习)若函数/(力)=2j;2-81n3；-14x-m有唯一零点，则实数m的值______

【答案】-16E2—24

【解析】由题意，函数,f(N)=2/-81nrr—141-Tn有唯一零点，

即方程2/一811137—14%=m有唯一^数解，

令h[x)=2x2—81nl—14x,则h![x)=4z-摹-14=~~、?为土。,z>0,

当％>4时，h!(x)>0,当0V力V4时，矶⑦)<0,

所以从力)在(4,+8)上单调递增，在(0,4)上单调递减，

则函数月(1)在k=4处取得最小值，最小值为九(4)=-161n2—24,

要使得函数f(i)=2x2—81nx—14x—m有唯一零点，则m=-161n2—24.

故答案为：-161n2-24.

21.(2023-全国-高三假期作业)已知函数/(⑼=x2-2x+Me—+e-x+i)有唯一零点，则a=

【答案】/

【解析】/(Z)=x2—2x+a(eir_1+e-l+1)=(x—I)2—1+a(eJ_|+e_a:+1)

设t=;r-1,则/⑴=/-l+a(e'+e-')

定义域为R,

f(-t)=(-i)2-1+a(e-t+e9=f(t)

所以f(t)为偶函数，

所以/(土)的图像关于立=1成轴对称

要使/(①)有唯一零点，

则只能41)=0,

即12-2xl+a(e°+e°)=()

解得a=*

故答案为：｝.

三、双空题

22.(2023-淅江•高三专题练习)已知函数/Q),gQ)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且满足/3)

+g(x)=2,一c,则/(0)的值为:若函数从⑼=2,1-2021-Af(x-2021)-2矛有唯一零

点,则实数4的