高三数学基础版-等差数列-教师版讲义

教师姓名学生姓名年级局二上课时间

学科数学课题名称等差数列

一、知识梳理

1、等差数列的基本概念

(1)定义：4-a,—=d,(nN2),或—=d

(2)递推关系式：%=4一+d(“N2)或％+d

(3)等差中项，。,4力成等差数歹!|024=。+60A是。与力的等差中项

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(4)通项公式a„=ai+(n-l)d—用累加法或数学归纳法得到，

a“=dn+a「d。当时，/是关于〃的一次式；当4=0时，4是一个常数

an=An+B---形式

=a,”+(九-任意两项的关系

%二%=d,表示/与项数”的对称关系

n-m

(5)前〃项和.

①数列｛%｝的前n项和S”=q+%+%++〃〃,(〃£M)；

②数列｛%｝的通项与前n项和S“的关系：4=<§=：>2.

③设等差数列｛%｝的首项为j公差为d,则前n项和

s=?(&+乌),倒序相加法

"2

是两个最基本的量

。d(d\

S„^-n-2+a,--\n,当时，s“是关于"的二次式且常数项为0；

2\2J

当d=0时(4二0),S,="q是关于"的正比例式.

2

Sn=An+Bn,用于待定系数

2、常见题型

(1)基本法

等差数列的通项公式及前〃和公式中，涉及到5个元素：1、d、11、。“及S“，其中可、〃称

作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

(2)新的等差数列的生成

①若｛%｝、｛以｝是等差数列，则｛也｝、｛3“+P”｝(晨〃是非零常数)，而｛2｝成等比数

列；

②在等差数列｛%｝中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即与,ap+k,ap+2k4+,*,…为

等差数列，公差为kd.特别地,S“,S2“-S“,S3“-S2",…也成等差数列

③若等差数列储,｝的前〃项和S“，则［2］是首项为S1,公差为4的等差数列；

〃2

2

④若也』是等比数列，且。">0,则{logc。”}是等差数歹U.其中c>0且CH1

(3)等差数列的证明与判定

①定义”,川-an=d(d为常数)

②%-4=(n>2)»

(4)等差数列前八项和最值的求法。

法一：“首正”的递减等差数列中，前八项和的最大值是所有非负项之和：“首负”的递增等差数列

中，前〃项和的最小值是所有非正项之和。

由不等式组32。(或［确定出前多少项为非负(或非正)；

4+14。11%+iNOj

法二：因等差数列前八项是关于"的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特

殊性”eN*。此法是运用了哪种数学思想？(函数思想)

(5)如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差

数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数.

二、典型例题

知识点1、等差中项

例1、三个数成单增的等差数列，和为12,积为48,求这三个数.

答案：2^4、6

试一试：

1、已知三数成单增的等差数列，其和为21,平方和为179,求这三个数.

答案：3,7,11

小结：为减少运算量，要注意设元的技巧，此处体现对称美

如奇数个数成等差，可设为…，a-2d,a—d,a,a-}-d,a+2d•"(公差为d)；

偶数个数成等差，可设为…，a-—+a+3",…(公差为24)

知识点2、项与通项公式

①4=4+(〃—)”一一用累加法或数学归纳法得到，

②a〃=d…、-d。当时，4是关于”的一次式；当4=0时，"“是一个常数

③q,=A〃+8一—形式，用于待定系数

@a„=a,„+{n-m)d---任意两项的关系

⑤上2=表示/与项数”的对称关系

n-m

例3、首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是—

题型：an=ax+(H-1)J

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«io>O

分析:

%40

答：-<d<3

3

试一试.已知｛《,｝是公差为1的等差数列，它的前n项和为S,,,若对任意的nwN*,都有S,2耳成

立，求4的取值范围

答案：[-8,-7]

关键：％40,%20

例4、设正项数列｛4｝的前八项和是若｛%｝和｛疯卜都是等差数列，且公差相等，则

q+d二____

答案：-

4

题型：通项公式的需是"的''一次式”

提示：底若｛GJ为等差数列,必须％=■（

例5、等差数列｛%｝中，%+%=8,则等差数列｛%｝的前13项的和%=

痴V_13（q+%）_13（4+佝）_0

解："""

22

试一试：

1、如果等差数列｛〃"｝中，03+04+45=12,那么O]+«2+…+%=

答案：28

2、在等差数列｛%｝中，〃3+%=37,则/+〃4+〃6+〃8=

答案：74

小结：当加+〃=p+q时，则有册+。“=册+%,特别地，当加+〃=20时，则有册+。“=2册.

例6、设等差数列｛%｝的公差为d,若数列｛2惆｝为递减数列，则（）

A>d<0B、d>0C^ayd<0D、a｝d>0

答案：C

关键：由数列｛2叽｝为递减数列，知数列｛6%｝为递减数列

4

a}an=a：+q=a]dn+af-qd,故4a<0

知识点3、前〃项和

①S="(刍+4),倒序相加法

“2

②幻=叼+四尸44，d是两个最基本的量

。d2(d\

③S“=；/r+a,--\n,当dr0时，s“是关于"的二次式且常数项为0；

当d=0时(”尸0),s〃="0是关于"的正比例式.

2

@Sn=An+Bn,用于待定系数

例6、若数列｛4｝的前”项和s,,=a/+浙+c,则数列｛〃,,｝是等差数列的充要条件是c=0

证：充分性

an=S〃—S.T=2an+b-a,n>2,

而当"=1时，4=§=a+b+c也满足an=2an+b-a,即4+6+c=a+8,故c=0

试一试

1.(1)已知数列｛q｝的前〃项和S.="-9〃，求%=

(2)已知数列｛。“｝的前〃项和S“=/-9〃+3,求““=

关键：(1)«„=5„-S„_l=2H-10,H>2,

而当n=1时，4=y=-8也满足%=2〃-10,

综上所述：=2n-10

(2)an=Sn-Sn_l=2n-lO,n>2,

而当〃=1时，4=吊=-5不满足q=2"-10,

综上所述：a=\~5〃=1

”[2/7-10n>2

例8.(1)在等差数列中，5„=22,则以=

答案：2；

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(2)项数为奇数的等差数列｛《,｝中，奇数项和为80,偶数项和为75,求此数列的中间项与项数

答案:5；31

小结：在等差数列中，

aaa

244…2n-22n

aa

\3%…-3。2”-1

当项数为偶数2〃时，S偶一S奇="d；

aa

4%57…。2,山

aa

。244…2n-22n

当项数为奇数2〃+1时，S奇一S偶=q+nd=。用=〃中，

4%444a6a74%

当项数为奇数2〃+1时，S2“+I=(2〃+1)・。中，S奇：S偶=(〃+1):〃

_3/t+l

例9、设｛〃“｝与｛〃?｝是两个等差数列，它们的前〃项和分别为S.和T〃，若,那么

一4九一3

2=

bj

把6r1—2

口.8九一7

A

7〃+45，则使得答

试一试、已知两个等差数列｛期｝和｛儿｝的前〃项和分别为4和5“且优=

〃+3hn

为整数的正整数〃的个数是()

A.2B.3C.4D.5

_7(2”-1)+45_14〃+38_7九+19r12

解：殳==7+------

b”^2n-l(2〃-1)+32〃+2n+1〃+1

可见，当且仅当n=l,2,3,5,11时，答为正整数.答案为D.

小结：若等差数列｛%｝、｛〃』的前〃和分别为4、纥，则

(2〃T)(q+%i)

2

bn4+%-(2〃-1)伯+。2"|)%_1

2

6

知识点4、等差数列的递推关系式

等差数列的递推公式4=4T+4，所代表的函数〃x）=x+”图像为

例10、己知数列｛《,｝满足4”=2-同,"WAT，是否存在“I，使得生,外,…,％，…成等差数列？若

存在，求出所有这样的《;若不存在，说明理由.

解：假设这样的等差数列存在，那么%=2—闻，4=2—|2—同.

由2a2=q+%得2—q（*）.

以下分情况讨论：

L当（>2时,由（*）得/=0,与a1>2矛盾；

口当0vo1M2时,由（*）得q=1，从而%=1（及=12…）,

所以｛q｝是一个等差数列;

当qwo时，则公差d二%=（4+2）—4=2>0,因此存在m22使得

t?„,=al+2（m-l）>2.此时〃=。,用一品=2-鼠卜裔<。,矛盾.

综合口□□可知，当且仅当q=i时,…构成等差数列.

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等差数列的通项公式及前”和公式中，涉及到5个元素：[、d、n、为及S“，其中1、d称

作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

1Q1S

a,t=911

例11、数列｛4｝中，an=cin_x+—(W>2,MGA^*)>'2前项和S〃=—弓~，则q=

n=_

答案：-3,10

试一试

1、等差数列MJ中，Sn=18,an+an_｛+an_2=3,S3=1,piijn=

答案：27；

2、已知等差数列｛4｝的前八项和是S“，若S42IO,S5<15,则2的最大值是

2

题型：S„=An+Bn的典型题目：相当于线性规划

答案：4

题型2、新的等差数列的生成

①若｛叫、也｝是等差数列，则｛她J、｛也+P。｝(鼠〃是非零常数)，而｛产｝成等比数

列；

②在等差数列｛%｝中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即时,。»/，%+2长，…，4+欣，…为等

差数列，公差为kd.特别地,凡同“一臬闻“-02“，…也成等差数列

③若等差数列｛”“｝的前〃项和S,,则｛2｝是首项为S1,公差为?的等差数列；

④若｛4｝是等比数列，且。“>。，则｛logc。」是等差数列.其中C>0且CH1

例12、等差数列｛。“｝中，已知45=0，。45=90,则“60=

答案：135

关键：““a30M”，“60构成新的等差数列

例13、等差数列的前"项和为25,前2〃项和为100,则它的前3〃和为。

答案:225

关键：S„,S2„-S„,S3„-S2n构成新的等差数列

对比、等差数列｛。“｝中，己知「2=84,520=460,则S28=

答案：1092

例14、若数列｛“的通项a.=2"L则也｝的通项4=ln%.+],则｛4｝的前〃项和S.=

答案.3"("+1)加2

2

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例15、若等差数列｛%｝的前〃项和S“，证：｛｝｝是笠差数列

题型：定义法证明等差数列

证：设匕总/（吧：.b-b.=a-~a'-'

"nIni"2

试一试、

1、设｛《,｝为等差数列，S“为数列｛4｝的前"项和，已知S?=7,S|5=75,7；为数列的前“

项和，求7；。★★

答案：破一2〃

44

2

方法一：Sn=An+Bn

方法二：设仇=2,则他,｝为等差数列，且由=1.=5,则以7；,=4-—

n2244

2、设等差数列｛〃〃｝的前〃项和为S〃，若5〃1=-2,Sm=0,56+[=3,则m=

答案：5

关键：Aii+^!iL=28,g|J-^+-^=2—^m=5

m—\?77+1tnm—\m+\m

题型3、等差数列的证明与判定

①定义a〃+i—a"="（"为常数）

②a〃=A〃+6（关于〃的一次函数）

例16在数列｛《,｝中，4=1,%,=24+2"，设纥=券，证明：数列｛包｝是等差数列

题型：定义法的典型题目

分析：0=5-&=%.2%=]

w+in2〃2〃一।2”

试一试、已知区-,q=2,求证：数列，为等差数列；

答案：略

例17设%=2；二""（））,求证：当且仅当c=g时，数列｛4｝是等差数列

题型：通项法的典型题目

2n2-n2"—2。〃+2c〃一〃一（2c-l）c+（2c-l）c（2c-l｝c

n-cn-cn-c

（化简假分式）

10

（、（2c-l）ci

；｛。"｝为等差数列，+B（A6为常数），所以〃_c=0'c=\'

反过来易.

试一试：设正项数列｛卬｝的前八项和是s“，若｛4｝和｛、/5；｝都是等差数列，且公差相等，则

q+d=__

答案：-

4

题型：通项公式的需是"的‘'一次式”

提示：底=♦一,若｛疯｝为等差数列,必须6ng

题型4、等差数列前八项和最值的求法。

法一：“首正”的递减等差数列中，前〃项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列

中，前”项和的最小值是所有非正项之和。

由不等式组!4*。（或[%，。[确定出前多少项为非负（或非正）；

4+14011«„+120J

法二：因等差数列前八项是关于"的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特

殊性此法是运用了哪种数学思想？（函数思想）

例18、若｛〃〃｝是等差数列，首项q>0,%003+々2004>。，々2003,々2004V。，则使前〃项和S〃>0成立

的最大正整数〃是；〃为时，S”最大

答案：4006;2003

试一试、在等差数列｛4｝中，40<0,41>0,且qi>l4ol，S.是其前/1项和，则（）

A、[也…S]0都小于0,S]],S|2…都大于0

B、S],S2…白田都小于0,S20,S?]…都大于0

c、S|M…§5都小于0,S6，S7…都大于0

D、S.S?…S?o都小于0,S2],§22…都大于0

答案：B

例19、（1）等差数列｛4｝中，4=25,Ss=S'i,问此数列前多少项和最大？并求此最大值。

答：前13项和最大，最大值为169

（2）等差数列｛%｝中，q=25,S9=518,问此数列前多少项和最大？并求此最大值。

答：前13、14项和最大，最大值为169

题型5、如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等

差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数.

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注：公共项仅是公共的项，其项的序号不一定相同，即研究为=〃,.

例20、正整数集合中的最小元素为I,最大元素为2016,并且各元素从小到大组成公差为正

整数*的等差数列.则加心UM3]中的元素的个数为

答案：13+65-5=73

试一试（2011文23）已知数列｛%｝和｛4｝的通项公式分别为an=3〃+6，bn=2n+7（〃wN*），

it

将集合｛x\x=an,n&N]\J｛x\x=bll,n&N｝中的元素从小到大依次排列，构成数列

（1）求三个最小的数，使它们既是数列｛%｝中的项，又是数列｛4｝中的项；

（2）求证：在数列｛。｝中、但不在数列也J中的项恰为4,4,….“，…；

（3）求数列｛&｝的通项公式.

解：⑴三项分别为9,15,21。

（2）（注意“恰”字，需要证明｛”"｝中的偶数项不在｛2｝中，奇数项在在》,,｝中）

任意nGN”,设％“T=3(2八-1)+6=6〃+3="=2