高考数学成对数据的统计分析复习讲义

高二数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版选择性必修第三册)

第八章成对数据的统计分析

8.1成对数据的统计相关性

【知识梳理】

知识点一相关关系

1.相关关系的定义：两个变量有关系，但没有确切到可由其中一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相

关关系.

2.相关关系的分类

(1)按变量间的增减性分为正相关和负相关.

①正相关：当一个变量的值增加时.，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势：

②负相关：当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势.

(2)按变量间是否有线性特征分为线性相关和非线性相关(曲线相关).

①线性相关：如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们称这两个变量线性相关;

②非线性相关或曲线相关：如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，我们称这两个变量非线性相关或曲线相关.

知识点二相关关系的刻画

1.散点图：为了直观描述成对样本数据的变化特征，把每对成对样本数据都用直角坐标系中的点表示出来,

由这些点组成的统计图，叫做散点图.

2.样本相关系数

f（可一川—y）

(1)我们常用样本相关系数，来确切地反映成对样本数据(为，W的相关程度，其中，=

(2)样本相关系数r的取值范围为[-1,1].

①若r>0时，成对样本数据正相关；

②若r<0时，成对样本数据负相关；

③当仍越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强;

④当仍越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱.

【题型归纳】

一、变量间相关关系的判断

1.下列两个变量之间的关系，哪个是相关关系(）

A.正方体的棱长和体积B.圆半径和圆的面积

C.正”边形的边数和内角度数之和D.人的身高和体重

2.两对变量A和8,C和。的取值分别对应如表1和表2,画出散点图，分别判断它们是否具有相关关系；若具有

相关关系，说出它们相关关系的区别.

表1

A261813104-1

B202434385064

表2

C05101520253035

D541.67602.66672.09704.99806.71908.59975.421034.75

二、样本相关系数的性质

3.在一组成对样本数据为（xi，yi）,3，"），…，Un，xi，X2，…，X"不全相等）的散点图中，若这组成对

样本数据的样本相关系数为-1,则所有的样本点（为，y,）（/=1,2,〃）满足的方程可以是（)

A.y=一5+1B.y—x—1

C.y=x+lD.y=—x2

4.对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（

A.<r4<0<r3<r2B.4</<0<4<4

<r

C.D.r2<弓<。<八3

三、样本相关系数的计算及应用

5.某生物小组为了研究温度对某种酶的活性的影响进行了一组实验,实验数据经整理得到如下的折线图:

由图可以看出，这种酶的活性指标值y与温度x具有较强的线性相关关系，请用相关系数加以说明.

6rr~——£卜,―*)(y7)

附：Wk：-x)(»-y)=85,=5.5,77«2.65,样本相关系数「=/“："=Z

6.某杂志社近9年来的纸质广告收入y(单位：千万元)如表所示:

年份201220132014201520162017201820192020

时间代号f123456789

纸质广告收入y22.22.52.632.42.221.8

(1)根据2012年至2020年的数据，求与r之间的线性相关系数(精确到0.001).

(2)根据2016年至2020年的数据，求V与r之间的线性相关系数(精确至U0.001).

(3)如果要用回归直线方程预测该杂志社2021年的纸质广告收入，现在有两个方案，方案一：选取这9年的数据

进行预测，方案二：选取后5年的数据进行预测.请你从实际生活背景以及线性相关性的角度分析哪个方案更合适.

(当N＞。75时认为两个变量有很强的线性相关关系.)

【双基达标】

1.下列语句所表示的事件中的因素不具有相关关系的是()

A.瑞雪兆丰年B.读书破万卷，下笔如有神

C.吸烟有害健康D.喜鹊叫喜，乌鸦叫丧

2.已知〃表示变量X与丫之间的线性相关系数，/'2表示变量U与丫之间的线性相关系数，且〃=0.837,以=-0.957,

则()

A,变量x与y之间呈正相关关系，且x与y之间的相关性强于u与卜之间的相关性

B.变量XVY之间呈负相关关系，且X与y之间的相关性强于u与V之间的相关性

c.变量u与v之间呈负相关关系，且x与丫之间的相关性弱于。与v之间的相关性

D.变量u与v之间呈正相关关系，且x与y之间的相关性弱于u与v之间的相关性

3.已知变量X与y相对应的一组数据为(10,1),(11.3,2),(11.8,3),(12.5,4),(13,5),变量［7与V相对应的一组

数据为(10,5),(11.3,4),(11.8,3),(12.5,2),(13,1).彳表示变量X与丫之间的线性相关系数，4表示变量U与V

之间的线性相关系数，则下列结论中正确的是()

A.5<彳<0B.。<e<4C.弓<0<qD.弓=4

4.某公司2006~2011年的年利润x（单位：百万元）与年广告支出y（单位：百万元）的统计资料如表所示:

年份200620072008200920102011

利润X12.214.6161820.422.3

支出y0.620.740.810.8911.11

根据统计资料，则利润中位数（）

A.是16,x与>有正线性相关关系

B.是17,x与y有正线性相关关系

C.是17,x与y有负线性相关关系

D.是18,x与>有负线性相关关系

5.如图，有5组（x,），）数据，去掉点对应的数据后，剩下的4组数据的线性相关程度最大.

y

2

1*E(10,12)

0

9•0(3,10)

8

7

6

5

4•C(4,5)

3

2.・8(2,4)

.3(1,3)

0123456789101112«

6.对两个变量的相关系数，有下列说法：（1）卜|越大，相关程度越大；（2）H越小，相关程度越大；（3）卜|趋

近于0时，没有非线性相关系数；（4）卜|越接近于1时，线性相关程度越强，其中正确的是.

7.有一位同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出热饮杯数与当天

气温的对比表：

温度/℃-50471215

热饮杯数156150132128130116

温度/℃1923273136

热饮杯数10489937654

（1）画出散点图；

（2）你能从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律吗?

8.互联网使我们的生活日益便捷，网络外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分，某市一调查机构针

对该市市场占有率较高的甲，乙两家网络外卖企业（以下称外卖甲、外卖乙）的经营情况进行了调查，调查结果如

下表：

1日2日3日4日5日

外卖甲日接单X（百单）529811

外卖乙日接单y（百单）2310515

（1）试根据表格中这五天的日接单量情况，从统计的角度说明这两家外卖企业的经营状况；

（2）据统计表明，y与X之间具有线性相关关系，请用相关系数r对y与X之间的相关性强弱进行判断；（若1川＞0.75,

则可认为y与x有较强的线性相关关系，r值精确到0.001）

参考数据：£（%-初》-刃=66氐（玉_可度（》-方匕77.

i=lVj=lf=l

【高分突破】

1.如图是国家统计周公布的2020年下半年快递运输量情况，请根据图中信息选出错误的选项（）

A.2020年下半年，同城和异地快递量最高均出现在11月

B.2020年10月份异地快递增长率小于9月份的异地快递增长率（注.增长率指相对前一个月而言）

C.2020年下半年，异地快递量与月份呈正相关关系

D.2020年下半年，每个月的异地快递量都是同城快递量的6倍以上

2.某公司为了准确地把握市场，做好产品生产计划，对过去四年的数据进行整理得到了第1年与年销量y（单位:

万件）之间的关系如表：

X1234

y12284256

在图中画出表中数据的散点图，推断两个变量是否线性相关，计算样本相关系数，并估计它们的相关程度.

M万件）

60

50

40

30

20

10

12~~3~~4x

附注：参考数据：gd”32.6,后=2.24,=418.

力（%-矶%-习

参考公式：相关系数r=I“

V/=11=1

3.在我国，大学生就业压力日益严峻，伴随着政府政策引导与社会观念的转变，大学生创业意识，就业方向也悄

然发生转变.某大学生在国家提供的税收，担保贷款等很多方面的政策扶持下选择加盟某专营店自主创业，该专营

店统计了近五年来创收利润数%（单位：万元）与时间4（单位：年）的数据，列表如下:

%12345

2.42.74.16.47.9

（1）依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合y与，的关系，请计算相关系数『并加以说明（计算结果精

确到0.01）.（若|r|>0.75,则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）

附：相关系数公式:

参考数据：,56.95x7.547,%戊=85.2愎―苗=而,£（%-y）2=J22.78

/=iV,=1Vf=i

（2）谈专营店为吸引顾客，特推出两种促销方案.

方案一：每满500元可减50元；

2

方案二：每满500元可抽奖一次，每次中奖的概率都为《，中奖就可以获得100元现金奖励，假设顾客每次抽奖的

结果相互独立.

某位顾客购买了2000元的产品，作为专营店老板，是希望该顾客直接选择返回现金，还是选择参加四次抽奖？说

明理由.

4.根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量y（百千克）与某种液体肥料每亩使用量x（千克）之间的对应数

据的散点图，如图所示.

”（百千克）

O24568x（千克）

依据数据的散点图可以看出，可用线性回归模型拟合y与X的关系，请计算相关系数厂并加以说明（若旧＞。75,则

线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）；

附：相关系数公式

参考数据：限B0.55,7（19«0.95.

5.随着电子阅读的普及，传统纸质媒体遭受到了强烈的冲击.某杂志社近9年来的纸质广告收入如下表所示:

年份201220132014201520162017201820192020

时间代号r123456789

广告收入

22.22.52.832.52.321.8

（千万元）

根据这9年的数据，对/和作线性相关性检验，求得样本相关系数的绝对值为0.243；根据后5年的数据，对f和y

作线性相关性检验，求得样本相关系数的绝对值为0.984.

(1)如果要用线性回归方程预测该杂志社2021年的纸质广告收入，现在有两个方案，方案一：选取这9年数据进

行预测，方案二：选取后5年数据进行预测.从实际生活背景以及线性相关性检验的角度分析，你觉得哪个方案更

合适？

(2)某购物网站同时销售某本畅销书籍的纸质版本和电子书，据统计，在该网站购买该书籍的大量读者中，只购

买电子书的读者比例为50%,纸质版本和电子书同时购买的读者比例为10%,现用此统计结果作为概率.

①若从该网站购买该书籍的大量读者中任取一位，求只购买纸质版本的概率；

②若从上述读者中随机调查3位，求购买电子书人数多于只购买纸质版本人数的概率.

【答案详解】

【题型归纳】

1.【答案】D

【详解】

A：由正方体的棱长与其体积有因果关系，不是相关关系；

B：圆的半径与其面积有因果关系，不是相关关系；

C：正〃边形的边数和内角度数之和有因果关系，不是相关关系;

D：人的身高和体重，存在非确定性的依存关系，属于相关关系.

故选：D

2.【详解】

散点图分别如图(1)和图(2).

"

100

000

900

800

700

600

500

-10010203001020304050C

(1)⑵

从图中可以看出两图中的点各自分布在一条曲线附近，因此两对变量都具有相关关系.

图(1)中，当A的值由小变大时，8的值却是由大变小，故A和8成负相关；

图(2)中，当C的值由小变大时，。的值也是由小变大，故C和。成正相关.

3.【答案】A

【详解】•••这组成对样本数据的样本相关系数为-1,

这一组成对样本数据(xi,yi),。2,竺)，…，(x„,%)线性相关，且是负相关.

二可排除B,C,D,故选A.

4.【答案】A

【详解】由图可知，图2和图3是正相关，图1和图4是负相关，

国1和图2的点相对更加集中，所以相关性更强，所以4接近于-1,2接近1,

所以4<与<0<4<4，故选：A

_1

5.【详解】由题意得：x=-x(8+l1+14+20+23+26)=17,

6

6

X(x,.一元)2=(8-17)2+(11-17)2+(14-17)2+(20-17)2+(23-17)2+(26-17)2=252,

/=1

£6(%一可(%—了)

»=185.“85〜(J/

>/252x5.56>/7x5.5

由此可得酶的活性指标值y与温度工具有较强的线性相关关系.

6.【详解】(1)由2012年至2020年的数据得，

-_1+2+3+4+5+6+7+8+9_<

f=-=5,

-2+2.2+2.5+2.6+3+2.4+2.2+2+1.8汽

y=------------------------------------------=2.3o,

9

9

Zf/=1x2+2x22+3x2.5+4x2.6+5x3+6x24+7x2.2+8x2+9x1.8=101.3,

7=1

9_2

Z(")=16+9+4+1+1+4+9+16=60,

f=l

泣-a=0.09+0.01+0.04+0.09+0.49+0.01+0.01+0.09+0.25=1.08,

i=1

101.3-9x5x2.3-2.2

所以所求线性相关系数々=

760x1.08>760x1.08

(2)由2016年至2020年的数据得

-5+6+7+8+9「

5

_3+2.4+2.2+2+1.8

y=----------------------=2.28,

9

Z4%=5x3+6x2.4+7x2.2+8x2+9x1.8=77,

i=5

0.722+0.122+0.082+0.28?+(-0.48)2=0.848,

9_

77—5x7x2.28-2.8

i=l2-0.962

所以所求线性相关系数为4=x/lOx0.8485/^48

(3)选取方案二更合适，理由如下：.

①从表格中的数据可以看出从2016年开始，纸质广告收入呈现逐年下降的趋势，可以预见2021年的纸质广告收入

会接着下跌，前四年的增长趋势已经不能作为预测后续数据的依据；

②卜|越接近1,两个变量之间的线性相关性越强，因为根据这9年的数据得到的相关系数的绝对值0.273<0.75,我

们没有理由认为丫与t具有线性相关关系，而后5年的数据得到的相关系数的绝对值0.962>0.75,所以认为V与f具

有很强的线性相关关系.

【双基达标】

1.【答案】D

【详解】“瑞雪兆丰年”和“读书破万卷，下笔如有神”是根据多年经验总结归纳出来的，吸烟有害健康具有科学根据,

所以它们都是相关关系，所以A、B、C三项具有相关关系；

结合生活经验知喜鹊和乌鸦发出叫声是它们自身的生理反应，与人无任何关系，故D项不具有相关关系

故选：D.

2.【答案】C

【详解】因为线性相关系数，7=0.837,-0.957,

所以变量X与y之间呈正相关关系，变量。与V之间呈负相关关系，

*与y之间的相关性弱于u与丫之间的相关性.

故选：C

3.【答案】C

【详解】由变量X与y相对应的一组数据为(10,1),(11.3,2),(11.8,3),(12.5,4),(13,5),可得变量X与V之间正

相关，.,.{>()；

由变量u与V相对应的一组数据为(10,5),(11.3,4),(11.8,3),(12.5,2),(13,1),可知变量U与V之间负相关,

弓<0；

综上所述：弓与弓的大小关系是弓<o<4.

故选：C.

4.【答案】B

【详解】由题意，利润中位数是笥”=17,而且随着利润的增加，支出也在增加，故x与y有正线性相关关系.

故选：B.

5.【答案】D

【详解】A、B、C、E四点分布在一条直线附近且贴近某一直线，。点离得远.

去掉D点剩下的4组数据的线性相关性最大

故答案为：D

6.【答案】⑴、（4）

【详解】用相关系数，-衡量两个变量之间的相关关系强弱时，

，•的绝对值越接近于1,表示两个变量的线性相关性越强，

厂的绝对值越接近于0,表示两个变量的线性相关性越弱，

对于（1）,卜|越大，相关程度越大，命题（1）正确；

对于（2）,卜|越小，相关程度越小，命题（2）错误；

对于（3）,H趋近于0时，线性相关关系越弱，命题（3）错误；

对于（4）,卜|越接近于1时，线性相关程度越强，命题（4）正确.

综上正确的命题是（1）、（4）.

故答案为：（1）、（4）.

7.【详解】（1）以x轴表示温度，以y轴表示热饮杯数，可作散点图如图.

热饮杯数

160

40

120

100

80

60

40

20

-50510152025303540温度/弋

（2）从图中可以看出，各点散布在从左上角到右下角的区域里,

因此，气温与热饮销售杯数之间是具有相关关系，

即气温越高，卖出去的热饮杯数越少.

8.【详解】

_2+3+10+5+15

(1)由表格中的数据，可得亍=-------------=7,y=-------；-------=7,

外卖甲的日接单量的方差，=(5-加+(2-7)、(9；7)/8-7)2+(11-7)2=0

外卖乙的日接单量的方差4=(2-7)2+(3-7)2+(与7)2+(5-7)2+(15-7)2=236.

因为于=叉*<.点，即外卖甲平均日接单量与外卖乙平均日接单量相同，但外卖甲日接单量波动更小，所以外卖甲

比外卖乙经营状况更好.

⑵因为|J,，，

V»=i/=i

5n5

又Z(xT)(y—)=66ZG一可£(%一寸”77,

i=lVi=li=l

所以代入计算可得，相关系数rn%々0.857>0.75,

77

所以可认为>与x之间有较强的线性相关关系.

【高分突破】

1.【答案】D

【详解】对于A,由图可看出，同城和异地快递量最高都在II月份，故A正确；

—e679556.6—599604.6708642.6—679556.6八l口1」3…日.0___,

对于B,因为....———.....>--——>9月异地快递增长率明显局于10月异地快递增长率，故

599604.6679556.6

B正确；

对于C,由图可看出，除2020年12月异地快递量较11月略少，其余都有较明显增加，因此可以判断异地快递量

与月份呈正相关关系，故C正确；

对于D,2020年7月的异地快递量为572812.9万件，同城快递量为1051911万件，异地快递量不到同城快递量的

6倍，故D不正确.

故选：D.

2.【详解】作出散点图如图：

乂

60

50

40

30

20

10

1234x

由散点图可知，各点大致分布在一条直线附近，由此推断X与)'线性相关.

由题中所给表格及参考数据得：

x=ly=M2占y=418,Jz(y-y)-"32.6,24=30,

乙7

2/=iV/=)'»=i

£(七一x)(%-y)=-4xy=418-4x曰=73,

；=iz=i22

73

«0.9997

2.24x32.6

・.・y与龙的相关系数近似为0.9997,可以推断该公司的年销量V与第九年呈正线性相关,且线性相关程度很强.

3.【详解】(1)由题知，r=1(l+2+3+4+5)=3,y=1(2.4+2.7+4.1+6.4+7.9)=4.7,

555

方3=8