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文档简介
北京市朝阳区市级名校2024年高三数学第一学期期末复习检测模拟试题注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.在条件下,目标函数的最大值为40,则的最小值是()A. B. C. D.22.已知命题,那么为()A. B.C. D.3.已知实数,则的大小关系是()A. B. C. D.4.在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且.若,的面积为,则()A.5 B. C.4 D.165.某个小区住户共200户,为调查小区居民的7月份用水量,用分层抽样的方法抽取了50户进行调查,得到本月的用水量(单位:m3)的频率分布直方图如图所示,则小区内用水量超过15m3的住户的户数为()A.10 B.50 C.60 D.1406.已知实数满足线性约束条件,则的取值范围为()A.(-2,-1] B.(-1,4] C.[-2,4) D.[0,4]7.以下三个命题:①在匀速传递的产品生产流水线上,质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测,这样的抽样是分层抽样;②若两个变量的线性相关性越强,则相关系数的绝对值越接近于1;③对分类变量与的随机变量的观测值来说,越小,判断“与有关系”的把握越大;其中真命题的个数为()A.3 B.2 C.1 D.08.一个正三角形的三个顶点都在双曲线的右支上,且其中一个顶点在双曲线的右顶点,则实数的取值范围是()A. B. C. D.9.3本不同的语文书,2本不同的数学书,从中任意取出2本,取出的书恰好都是数学书的概率是()A. B. C. D.10.已知实数、满足约束条件,则的最大值为()A. B. C. D.11.圆锥底面半径为,高为,是一条母线,点是底面圆周上一点,则点到所在直线的距离的最大值是()A. B. C. D.12.关于函数在区间的单调性,下列叙述正确的是()A.单调递增 B.单调递减 C.先递减后递增 D.先递增后递减二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知正方形边长为,空间中的动点满足,,则三棱锥体积的最大值是______.14.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,P为C上一点,PQ垂直l于点Q,M,N分别为PQ,PF的中点,MN与x轴相交于点R,若∠NRF=60°,则|FR|等于_____.15.在中,角,,的对边分别是,,,若,,则的面积的最大值为______.16.曲线在处的切线的斜率为________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知椭圆:的离心率为,左、右顶点分别为、,过左焦点的直线交椭圆于、两点(异于、两点),当直线垂直于轴时,四边形的面积为1.(1)求椭圆的方程;(2)设直线、的交点为;试问的横坐标是否为定值?若是,求出定值;若不是,请说明理由.18.(12分)某工厂生产某种电子产品,每件产品不合格的概率均为,现工厂为提高产品声誉,要求在交付用户前每件产品都通过合格检验,已知该工厂的检验仪器一次最多可检验件该产品,且每件产品检验合格与否相互独立.若每件产品均检验一次,所需检验费用较多,该工厂提出以下检验方案:将产品每个一组进行分组检验,如果某一组产品检验合格,则说明该组内产品均合格,若检验不合格,则说明该组内有不合格产品,再对该组内每一件产品单独进行检验,如此,每一组产品只需检验次或次.设该工厂生产件该产品,记每件产品的平均检验次数为.(1)求的分布列及其期望;(2)(i)试说明,当越小时,该方案越合理,即所需平均检验次数越少;(ii)当时,求使该方案最合理时的值及件该产品的平均检验次数.19.(12分)已知.(1)已知关于的不等式有实数解,求的取值范围;(2)求不等式的解集.20.(12分)已知椭圆,点为半圆上一动点,若过作椭圆的两切线分别交轴于、两点.(1)求证:;(2)当时,求的取值范围.21.(12分)团购已成为时下商家和顾客均非常青睐的一种省钱、高校的消费方式,不少商家同时加入多家团购网.现恰有三个团购网站在市开展了团购业务,市某调查公司为调查这三家团购网站在本市的开展情况,从本市已加入了团购网站的商家中随机地抽取了50家进行调查,他们加入这三家团购网站的情况如下图所示.(1)从所调查的50家商家中任选两家,求他们加入团购网站的数量不相等的概率;(2)从所调查的50家商家中任取两家,用表示这两家商家参加的团购网站数量之差的绝对值,求随机变量的分布列和数学期望;(3)将频率视为概率,现从市随机抽取3家已加入团购网站的商家,记其中恰好加入了两个团购网站的商家数为,试求事件“”的概率.22.(10分)传染病的流行必须具备的三个基本环节是:传染源、传播途径和人群易感性.三个环节必须同时存在,方能构成传染病流行.呼吸道飞沫和密切接触传播是新冠状病毒的主要传播途径,为了有效防控新冠状病毒的流行,人们出行都应该佩戴口罩.某地区已经出现了新冠状病毒的感染病人,为了掌握该地区居民的防控意识和防控情况,用分层抽样的方法从全体居民中抽出一个容量为100的样本,统计样本中每个人出行是否会佩戴口罩的情况,得到下面列联表:戴口罩不戴口罩青年人5010中老年人2020(1)能否有的把握认为是否会佩戴口罩出行的行为与年龄有关?(2)用样本估计总体,若从该地区出行不戴口罩的居民中随机抽取5人,求恰好有2人是青年人的概率.附:0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】
画出可行域和目标函数,根据平移得到最值点,再利用均值不等式得到答案.【详解】如图所示,画出可行域和目标函数,根据图像知:当时,有最大值为,即,故..当,即时等号成立.故选:.【点睛】本题考查了线性规划中根据最值求参数,均值不等式,意在考查学生的综合应用能力.2、B【解析】
利用特称命题的否定分析解答得解.【详解】已知命题,,那么是.故选:.【点睛】本题主要考查特称命题的否定,意在考查学生对该知识的理解掌握水平,属于基础题.3、B【解析】
根据,利用指数函数对数函数的单调性即可得出.【详解】解:∵,∴,,.∴.故选:B.【点睛】本题考查了指数函数对数函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.4、C【解析】
根据正弦定理边化角以及三角函数公式可得,再根据面积公式可求得,再代入余弦定理求解即可.【详解】中,,由正弦定理得,又,∴,又,∴,∴,又,∴.∵,∴,∵,∴由余弦定理可得,∴,可得.故选:C【点睛】本题主要考查了解三角形中正余弦定理与面积公式的运用,属于中档题.5、C【解析】从频率分布直方图可知,用水量超过15m³的住户的频率为,即分层抽样的50户中有0.3×50=15户住户的用水量超过15立方米所以小区内用水量超过15立方米的住户户数为,故选C6、B【解析】
作出可行域,表示可行域内点与定点连线斜率,观察可行域可得最小值.【详解】作出可行域,如图阴影部分(含边界),表示可行域内点与定点连线斜率,,,过与直线平行的直线斜率为-1,∴.故选:B.【点睛】本题考查简单的非线性规划.解题关键是理解非线性目标函数的几何意义,本题表示动点与定点连线斜率,由直线与可行域的关系可得结论.7、C【解析】
根据抽样方式的特征,可判断①;根据相关系数的性质,可判断②;根据独立性检验的方法和步骤,可判断③.【详解】①根据抽样是间隔相同,且样本间无明显差异,故①应是系统抽样,即①为假命题;②两个随机变量相关性越强,则相关系数的绝对值越接近于1;两个随机变量相关性越弱,则相关系数的绝对值越接近于0;故②为真命题;③对分类变量与的随机变量的观测值来说,越小,“与有关系”的把握程度越小,故③为假命题.故选:.【点睛】本题以命题的真假判断为载体考查了抽样方法、相关系数、独立性检验等知识点,属于基础题.8、D【解析】
因为双曲线分左右支,所以,根据双曲线和正三角形的对称性可知:第一象限的顶点坐标为,,将其代入双曲线可解得.【详解】因为双曲线分左右支,所以,根据双曲线和正三角形的对称性可知:第一象限的顶点坐标为,,将其代入双曲线方程得:,即,由得.故选:.【点睛】本题考查了双曲线的性质,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9、D【解析】
把5本书编号,然后用列举法列出所有基本事件.计数后可求得概率.【详解】3本不同的语文书编号为,2本不同的数学书编号为,从中任意取出2本,所有的可能为:共10个,恰好都是数学书的只有一种,∴所求概率为.故选:D.【点睛】本题考查古典概型,解题方法是列举法,用列举法写出所有的基本事件,然后计数计算概率.10、C【解析】
作出不等式组表示的平面区域,作出目标函数对应的直线,结合图象知当直线过点时,取得最大值.【详解】解:作出约束条件表示的可行域是以为顶点的三角形及其内部,如下图表示:当目标函数经过点时,取得最大值,最大值为.故选:C.【点睛】本题主要考查线性规划等基础知识;考查运算求解能力,数形结合思想,应用意识,属于中档题.11、C【解析】分析:作出图形,判断轴截面的三角形的形状,然后转化求解的位置,推出结果即可.详解:圆锥底面半径为,高为2,是一条母线,点是底面圆周上一点,在底面的射影为;,,过的轴截面如图:,过作于,则,在底面圆周,选择,使得,则到的距离的最大值为3,故选:C点睛:本题考查空间点线面距离的求法,考查空间想象能力以及计算能力,解题的关键是作出轴截面图形,属中档题.12、C【解析】
先用诱导公式得,再根据函数图像平移的方法求解即可.【详解】函数的图象可由向左平移个单位得到,如图所示,在上先递减后递增.故选:C【点睛】本题考查三角函数的平移与单调性的求解.属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
以为原点,为轴,为轴,过作平面的垂线为轴建立空间直角坐标系,设点,根据题中条件得出,进而可求出的最大值,由此能求出三棱锥体积的最大值.【详解】以为原点,为轴,为轴,过作平面的垂线为轴建立空间直角坐标系,则,,,设点,空间中的动点满足,,所以,整理得,,当,时,取最大值,所以,三棱锥的体积为.因此,三棱锥体积的最大值为.故答案为:.【点睛】本题考查三棱锥体积的最大值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.14、2【解析】
由题意知:,,,.由∠NRF=60°,可得为等边三角形,MF⊥PQ,可得F为HR的中点,即求.【详解】不妨设点P在第一象限,如图所示,连接MF,QF.∵抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,P为C上一点∴,.∵M,N分别为PQ,PF的中点,∴,∵PQ垂直l于点Q,∴PQ//OR,∵,∠NRF=60°,∴为等边三角形,∴MF⊥PQ,易知四边形和四边形都是平行四边形,∴F为HR的中点,∴,故答案为:2.【点睛】本题主要考查抛物线的定义,属于基础题.15、【解析】
化简得到,,根据余弦定理和均值不等式得到,根据面积公式计算得到答案.【详解】,即,,故.根据余弦定理:,即.当时等号成立,故.故答案为:.【点睛】本题考查了三角恒等变换,余弦定理,均值不等式,面积公式,意在考查学生的综合应用能力和计算能力.16、【解析】
求出函数的导数,利用导数的几何意义令,即可求出切线斜率.【详解】,,,即曲线在处的切线的斜率.故答案为:【点睛】本题考查了导数的几何意义、导数的运算法则以及基本初等函数的导数,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)是为定值,的横坐标为定值【解析】
(1)根据“直线垂直于轴时,四边形的面积为1”列方程,由此求得,结合椭圆离心率以及,求得,由此求得椭圆方程.(2)设出直线的方程,联立直线的方程和椭圆方程,化简后写出根与系数关系.求得直线的方程,并求得两直线交点的横坐标,结合根与系数关系进行化简,求得的横坐标为定值.【详解】(1)依题意可知,解得,即;而,即,结合解得,,因此椭圆方程为(2)由题意得,左焦点,设直线的方程为:,,.由消去并整理得,∴,.直线的方程为:,直线的方程为:.联系方程,解得,又因为.所以.所以的横坐标为定值.【点睛】本小题主要考查根据椭圆离心率求椭圆方程,考查直线和椭圆的位置关系,考查直线和直线交点坐标的求法,考查运算求解能力,属于中档题.18、(1)见解析,(2)(i)见解析(ii)时平均检验次数最少,约为594次.【解析】
(1)由题意可得,的可能取值为和,分别求出其概率即可求出分布列,进而可求出期望.(2)(i)由记,根据函数的单调性即可证出;记,当且取最小值时,该方案最合理,对进行赋值即可求解.【详解】(1)由题,的可能取值为和,故的分布列为由记,因为,所以在上单调递增,故越小,越小,即所需平均检验次数越少,该方案越合理记当且取最小值时,该方案最合理,因为,,所以时平均检验次数最少,约为次.【点睛】本题考查了离散型随机变量的分布列、数学期望,考查了分析问题、解决问题的能力,属于中档题.19、(1);(2).【解析】
(1)依据能成立问题知,,然后利用绝对值三角不等式求出的最小值,即求得的取值范围;(2)按照零点分段法解含有两个绝对值的不等式即可。【详解】因为不等式有实数解,所以因为,所以故。①当时,,所以,故②当时,,所以,故③当时,,所以,故综上,原不等式的解集为。【点睛】本题主要考查不等式有解问题的解法以及含有两个绝对值的不等式问题的解法,意在考查零点分段法、绝对值三角不等式和转化思想、分类讨论思想的应用。20、(1)见解析;(2).【解析】
(1)分两种情况讨论:①两切线、中有一条切线斜率不存在时,求出两切线的方程,验证结论成立;②两切线、的斜率都存在,可设切线的方程为,将该直线的方程与椭圆的方程联立,由可得出关于的二次方程,利用韦达定理得出两切线的斜率之积为,进而可得出结论;(2)求出点、的坐标,利用两点间的距离公式结合韦达定理得出,换元,可得出,利用二次函数的基本性质可求得的取值范围.【详解】(1)由于点在半圆上,则.①当两切线、中有一条切线
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