江西省万安重点中学2022-2023学年高二下学期6月期末考试数学试题及参考答案

万安重点中学2022-2023学年高二下学期6月期末考试数学试题一、单选题（每题5分，共40分）1．若集合，，则等于（

）．A． B． C． D．2．如图所示，在复平面内，点对应的复数为，则复数的虚部为（

）A． B． C． D．3．已知菱形中，，为中点，，则（

）A． B． C． D．4．长方体一个定点上的三条棱长分别是，，，且它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（

）．A． B． C． D．5．五声音阶是中国古乐的基本音阶，故有成语“五音不全”，中国古乐中的五声音阶依次为:宫、商、角、徵、羽.如果从这五个音阶中任取三个音阶，排成一个三个音阶的音序，则这个音序中必含“徵”这个音阶的概率为（）A． B． C． D．6．已知函数，，的图象关于直线对称，则（

）A． B． C． D．7．若，则的大小关系为（

）A． B．C． D．8．若在上存在最小值，则实数的取值范围是A． B． C． D．二、多选题（每题5分，共20分）9．已知正四棱柱的底面边长为，，则（

）A．平面 B．异面直线与所成角的余弦值为C．平面 D．点到平面的距离为10．若两曲线与存在公切线，则正实数a的取值可以是（

）A．1 B．e C．e2 D．3e11．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经拋物线反射后，沿平行于拋物线对称轴的方向射出.反之，平行于拋物线对称轴的入射光线经拋物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线为坐标原点，一束平行于轴的光线从点射入，经过上的点反射后，再经上另一点反射后，沿直线射出，经过点，则（

）A．平分B．C．延长交直线于点，则三点共线D．12．已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①，；②，当时，；③.则下列选项成立的是（

）A． B．若，则C．若，则 D．，，使得三、填空题（共20分）13．若的展开式中含项的系数与含项的系数之比为，则n等于_________.14．若点A（x，y）满足C：（x+3）2+（y+4）225，点B是直线3x+4y=12上的动点，则对定点P（6，1）而言，||的最小值为_____.15．已知函数若函数恰有个零点，则实数的取值范围是______．16．2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”．如图，在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与轴交于点．若过原点的直线与上半椭圆交于点，与下半圆交于点，则下列说法正确的有____________．①椭圆的长轴长为；②线段长度的取值范围是；③面积的最小值是4；④的周长为．四、解答题（共70分）17．数列的通项公式为，求：(1)数列的前项和；(2)数列的前项和．18．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.(1)求角A的大小；(2)若AD为的平分线，且，，求的周长.19．如图，在四棱锥中，平面平面，，点分别为的中点.（1）求证：平面平面EFD；（2）求点到平面的距离.20．某种疾病可分为Ⅰ、Ⅱ两种类型．为了解该疾病类型与性别的关系，在某地随机抽取了患该疾病的病人进行调查，其中男性人数为z，女性人数为2z，男性患Ⅰ型病的人数占男性病人的，女性患Ⅰ型病的人数占女性病人的．(1)完成下面的2×2列联表．若在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“所患疾病类型”与“性别”有关，则男性患者至少有多少人？Ⅰ型病Ⅱ型病合计男女合计(2)某药品研发公司欲安排甲、乙两个研发团队来研发此疾病的治疗药物，两个团队各至多安排2个接种周期进行试验，每人每次接种花费元．甲团队研发的药物每次接种后产生抗体的概率为p，根据以往试验统计，甲团队平均花费为；乙团队研发的药物每次接种后产生抗体的概率为q，每个周期必须完成3次接种，若一个周期内至少出现2次抗体，则该周期结束后终止试验，否则进入第二个接种周期．假设两个研发团队每次接种后产生抗体与否均相互独立．若，从两个团队试验的平均花费考虑，该公司应选择哪个团队进行药品研发？21．已知为双曲线：的左焦点，经过作互相垂直的两条直线，，斜率分别为，，若与交于，两点，与交于，两点，为的中点，为的中点，为坐标原点.当时，直线的斜率为2.(1)求双曲线的标准方程；(2)求与的面积之比.22．已知函数，.(1)设在处的切线为，在处的切线为，若，求的值；(2)若方程有两个实根，求实数a的取值范围；(3)设，若在内单调递减，求实数b的取值范围.参考答案1．D由题意，，∴．故选．2．A由图可知，，虚部为.故选：A3．B菱形中，，因为，又，，所以，可得.故选：B4．B由于长方体的体对角线是长方体外接球的直径，∴．∴球的表面积．故选．5．C从这五个音阶中任取三个音阶，排成一个三个音阶的音序，基本事件总数，其中这个音序中含“徵”这个音阶的基本事件个数.则这个音序中必含“徵”这个音阶的概率为.故选：C.6．C因为函数图象关于直线对称，所以，可得①，因为，所以②，把①代入②可得，又，得，得或.若，则，不合乎题意；若，则，合乎题意.所以.故选：C.7．D记，因为，令，解得；令，解得；所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，所以，因为，所以，即；令，，所以在单调递增，，所以当时，，即，所以，又，，所以.故.故选：D.8．D由，，因为，令，若，即时，恒成立，所以时，时，所以当时有最小值，当，即时，令，不妨设两解为，，当时，时，当时，当时，，所以函数必有最小值与中较小者，故选D．9．ACD根据题意作图如下，A选项：在正四棱柱中，因为，平面，平面，所以平面，故A选项正确；B选项：在正四棱柱中，因为，所以异面直线与所成角即为异面直线与所成角，在中，因为，，，所以，故B选项错误；C选项：在正四棱柱中，因为，，，所以平面，故C选项正确；D选项：在正四棱柱中，因为平面，在平面内点到线段的距离就是点到平面的距离，在中，到线段的距离为，所以点到平面的距离为，故D选项正确.故选：ACD.10．AB解：设两曲线与的两个切点分别为，，由可得；由可得，则过两切点的切线方程分别为，，化简得，．因为两条切线为同一条，所以，解得．令，，令，得，当时，；当时，；所以在上单调递增，在上单调递减，则，所以．故选：AB.11．ACD根据题意，由得，又由轴，得，代入得（负值舍去），则，所以，故直线为，即，依题意知经过抛物线焦点，故联立，解得，即，对于A，，，故，所以，又因为轴，轴，所以，故，所以，则平分，故A正确；对于B，因为，故，故B错误；对于C，易得的方程为，联立，故，又轴，所以三点的纵坐标都相同，则三点共线，故C正确；对于D，由选项A知，故D正确.故选：ACD..12．ACD由，得：函数是R上的偶函数，由，，得：在上单调递增，对于A，，A正确；对于B，，又函数的图象是连续不断的，则有，解得，B不正确；对于C，由及得，，解得或，由得：，解得，化为：或，解得或，即，C正确；对于D，因上的偶函数的图象连续不断，且在上单调递增，因此，，，取实数，使得，则，，D正确.故选：ACD13．二项式的展开式的通项为，令，得，所以含项的系数为；令，得，所以含项的系数为．由题意得，整理得，∴，解得．故答案为：．14．如图所示：设B关于P点对称点为B′（x，y），B（x0，y0），由题意可知，解得，由B在直线3x0+4y0=12，代入整理得3x+4y﹣32=0，所以，若点A满足C：（x+3）2+（y+4）225，点A在圆C内或圆上，则所以||最小值为圆C的圆心到直线3x+4y﹣32=0的距离减去半径，所以||min5，所以||的最小值故答案为：15．因为函数恰有个零点，所以函数的图象有个交点，在同一坐标系中作出函数的图象，如图所示：当，即是，的左半段为，由，消去y得，令，解得或，当时，，解得，不成立，故，当，即时，的右半段为，由，消去y得，令，解得或，当时，，解得，不成立，故，综上：实数的取值范围是，故答案为：16．①②④解：由题知，椭圆中的几何量，所以，则，故①正确；因为，由椭圆性质可知，所以，故②正确；记，则取，则，故③错误；由椭圆定义知，，所以的周长，故④正确.故答案为：①②④17．(1)55(2)（1）；（2）当为偶数时，．因为成等差数列，共项，所以．当为奇数时，．故．18．(1)(2)（1）∵，由正弦定理可得，即，化简得，又∵在中，，∴，即，∴，结合，可知.（2）∵AD为的平分线，，∴，又∵，，∴，∴，，∴，∴，∴的周长为.19．（1）详见解析（2）（1）由题意知：点是的中点，且，所以，所以四边形是平行四边形，则.平面，平面，所以平面.又因为分别为的中点，所以.平面，平面，所以平面.，所以平面平面.（2）中，，，，所以，所以因为平面平面，平面平面所以平面.连，取的中点，连，易知，平面且.设点P到平面EFD的距离为d.在Rt△中，在Rt△中，在Rt△中，在Rt△中，在△中，，即，解得，所以所以.因为平面平面，平面平面，平面，，所以，平面所以，的长即是点到平面的距离.在Rt△中，，所以，，所以.所以，即，即，解得.所以，点到平面的距离为.20．(1)列联表见解析，男性患者至少有6人(2)答案见解析（1）2×2列联表如下：Ⅰ型病Ⅱ型病合计男z女2z合计3z要使在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“所患疾病类型”与“性别”有关，则，解得：．因为，，所以z的最小整数值为6．所以男性患者至少有6人．（2）设甲研发团队试验总花费为X元，；设乙研发团队试验总花费为Y元，则Y的可能取值为3m，6m，所以，，所以；因为，所以．①当时，，因为，所以，所以，乙团队试验的平均花费较少，所以选择乙团队进行研发；②当时，，因为，所以，所以，甲团队试验的平均花费较少，所以选择甲团队进行研发；③当时，，所以，甲团队试验的平均花费和乙团队试验的平均花费相同，从两个团队试验的平均花费考虑，该公司选择甲团队或乙团队进行研发均可．21．(1)(2)（1）依题意可知，，设，则，两式作差可得，即，又当时，直线的斜率为，所以，所以，又因为，解得，，所以双曲线的标准方程为.（2）设，直线与双曲线方程联立，整理得，且，则，所以，即，因为直线垂直，所以，用替换，得到，当时，直线的斜率为，所以直线的方程为，即令，得，所以直线过点，当时，即时，直线的方程为，直线过综上，直线恒过点