优质课一等奖高二数学选修曲线参数方程之意义和圆的参数方程课件

第1页/共39页如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速度作水平直线飞行.为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放时机呢？友情提示：即求飞行员在离救援点的水平距离多远时，开始投放物资？？救援点投放点创造情境第2页/共39页xy500O分析:物资投出机舱后,它的运动由下列两种运动合成：（1）沿Ox作初速为100m/s的匀速直线运动；（2）沿Oy反方向作自由落体运动.创造情境如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速度作水平直线飞行.为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放时机呢？第3页/共39页xy500o如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速度作水平直线飞行.为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放时机呢？第4页/共39页（1）且对于t的每一个允许值,由方程组(1)所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,则方程(1)就叫做这条曲线的参数方程,联系变数x,y

的变数t

叫做参变数,简称参数.相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。1、参数方程的概念：

一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数第5页/共39页关于参数几点说明：

参数是联系变数x,y的桥梁,参数方程中参数可以是有物理意义,几何意义,也可以没有明显意义；2.同一曲线选取参数不同,曲线参数方程形式也不一样;3.在实际问题中要确定参数的取值范围;第6页/共39页一架救援飞机以100m/s的速度作水平直线飞行.在离灾区指定目标水平位移为1000m时投放救援物资（不计空气阻力,重力加速度g=10m/s）,问此时飞机的飞行高度约是多少？（精确到1m）变式练习:x=100t=1000,t=10,y=gt2/2=10×102/2=500m.第7页/共39页例1:已知曲线C的参数方程是（1）判断点M1(0,1)，M2(5,4)与曲线C的位置关系；（2）已知点M3(6,a)在曲线C上,求a的值。解：(1)把点M1的坐标(0,1)代入方程组，解得t=0，所以M1在曲线上．把点M2的坐标(5,4)代入方程组，得到(2)因为点M3(6,a)在曲线C上，所以解得t=2,a=9所以，a=9.这个方程组无解，因此点M2不在曲线上第8页/共39页练习1、曲线与x轴的交点坐标是()BA(1，4)；B(25/16,0)C(1,-3)D(±25/16,0)2、方程所表示的曲线上一点的坐标是()DA(2，7)；B(1/3,2/3)C(1/2,1/2)D(1，0)A

B

C

D3.下列在曲线上的点是()B第9页/共39页3.已知曲线C的参数方程且点M(5,4)在该曲线上.（1）求常数a;（2）求曲线C的普通方程.解:(1)由题意可知:1+2t=5at2=4解得:a=1t=2∴

a=1

(2)由已知及(1)可得,曲线C的方程为:x=1+2t

y=t2由第一个方程得:代入第二个方程得:故所求曲线的普通方程为（x-1)2=4y第10页/共39页4.已知动点M作匀速直线运动,它在x轴和y轴方向的速度分别为5和12,运动开始时位于点P(1,2),求点M的轨迹参数方程。解：设动点M(x,y)运动时间为t，依题意，得所以，点M的轨迹参数方程为A一个定点B一个椭圆C一条抛物线D一条直线D第11页/共39页（1）建立直角坐标系,设曲线上任一点P坐标为(x,y);（2）选取适当的参数;（3）根据已知条件和图形的几何性质,物理意义等,

建立点P坐标与参数的函数式;（4）证明这个参数方程就是所求的曲线的参数方程.参数方程求法

第12页/共39页一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数

（1）并且对于t的每一个允许值，由方程组（1）所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么方程（1）就叫做这条曲线的参数方程，系变数x,y的变数t叫做参变数，简称参数。课堂小结第13页/共39页圆的参数方程第14页/共39页yxorM(x,y)圆周运动中，当物体绕定轴作匀速运动时，物体上的各个点都作匀速圆周运动，怎样刻画运动中点的位置呢？第15页/共39页那么θ=ωt.设|OM|=r，那么由三角函数定义，有如果在时刻t，点M转过的角度是θ，坐标是M(x,y)，即这就是圆心在原点O，半径为r的圆的参数方程参数t有物理意义(质点作匀速圆周运动的时刻)考虑到θ=ωt，也可以取θ为参数，于是有第16页/共39页圆心为原点，半径为r的圆的参数方程为：其中参数θ的几何意义是OM0绕点O逆时针旋转到OM的位置时，OM0转过的角度第17页/共39页例1

如图,圆O的半径为2，P是圆上的动点，Q(6,0)是x轴上的定点，M是PQ的中点，当点P绕O作匀速圆周运动时，求点M的轨迹的参数方程。yoxPMQ解：设点M的坐标是(x,y),则点P的坐标是(2cosθ,2sinθ).由中点坐标公式可得因此，点M的轨迹的参数方程是第18页/共39页.5已知点P是圆上一个动点,定点A(12,0)，点M在线段PA上，且2|PM|=|MA|，当点P在圆上运动时，求点M的轨迹．解：设点M的坐标是(x,y),则点P的坐标是(4cosθ,4sinθ).∵2|PM|=|MA|,∴由题设∴(x-12,y)=

因此，点M的轨迹的参数方程是第19页/共39页

圆心为，半径为r的圆的参数方程一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，另外，要注明参数及参数的取值范围。解：x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程,(x+1)2+(y-3)2=1∴参数方程为(θ为参数)例2

已知圆方程x2+y2+2x-6y+9=0,将它化为参数方程。第20页/共39页练习：第21页/共39页例3已知x、y满足,求的最大值和最小值．解：由已知得：圆的参数方程为第22页/共39页2点P(x,y)是曲线为参数)上任意一点，则的最大值为()A1B2CD练习1P(x,y)是曲线(α为参数)上任意一点,则的最大值为()AA．36B．6C．26D．25D法二：数形结合（把参数方程表示的圆画出来）法一：直接代入（应用辅助角公式）(为参数)上任意一点,则3

点P(x,y)是曲线的最大值为

.第23页/共39页4

圆的圆心的轨迹是()A．圆B．直线C．椭圆D．双曲线A第24页/共39页参数方程和普通方程的互化第25页/共39页把它化为我们熟悉的普通方程，有

cosθ=x-3,sinθ=y;于是(x-3)2+y2=1，轨迹是什么就很清楚了在课本例2中，由参数方程直接判断点M的轨迹是什么并不方便，一般地,可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程；曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致，否则，互化就是不等价的.把参数方程化为普通方程：第26页/共39页第27页/共39页这是以、为端点的一段抛物线弧第28页/共39页(1)(2)(3)x=t+1/ty=t2+1/t2(1)(x-2)2+y2=9(2)y=1-2x2（-1≤x≤1）(3)x2-y=2（x≥2或x≤-2）练习、将下列参数方程化为普通方程：步骤：（1）消参；（2）求定义域。因为表示整支圆，所以不需要再限定范围第29页/共39页练习将下列参数方程化为普通方程(2)第30页/共39页B例2求参数方程表示（）（A）双曲线的一支,这支过点（1,1/2）;（B）抛物线的一部分,这部分过（1,1/2）;（C）双曲线的一支,这支过点（–1,1/2);（D）抛物线的一部分,这部分过（–1,1/2).第31页/共39页参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方法有三种：1.代入法：利用解方程的技巧求出参数t,然后代入消去参数2.三角法：利用三角恒等式消去参数3.整体消元法：根据参数方程本身的结构特征,整体上消去化参数方程为普通方程为F(x,y)=0：在消参过程中注意变量x、y取值范围的一致性，必须根据参数的取值范围，确定f(t)和g(t)值域得x、y的取值范围。小结第32页/共39页普通方程化为参数方程：普通方程化为参数方程需要引入参数：如：直线l的普通方程是2x-y+2=0，可以化为参数方程:一般地,如果知道变量x,y中的一个与参数t的关系,例如x=f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变量与参数t的关系y=g(t)，那么:就是曲线的参数方程。在参数方程与普通方程的互化中，必须使x,y的取值范围保持一致第33页/共39页第34页/共39页第35页/共39页在y=x2中，x∈R,y≥0，因而与y=x2不等价；练习:曲线y=x2的一种参数方程是（）.在A、B、C中，x,y的范围