综合法与分析法课件北师大版选修

第三课时第一章

推理与证明第二节

综合法与分析法综合法教学目标理解综合法的思维过程及其特点；掌握运用综合法证明数学问题的一般步骤，能运用综合法证明简单的数学问题。教法指导在充分理解综合法的特点的基础上，体会综合法证题的思维过程和步骤；并通过例题的学习和练习逐步学会运用综合法进行简单的数学证明。事实上，我们对综合法应该很熟悉，以前进行的几何、不等式、三角恒等式的证明，大多运用的都是综合法，数学的解答题的解答过程也是运用综合法进行表述的。重点:理解综合法的思维过程和特点；难点：运用综合法证（解）题时，找出有效的推理“路线”；教学过程：学生探究过程：合情推理分归纳推理和类比推理，所得的结论的正确性是要证明的，数学中的两大基本证明方法-------直接证明与间接证明。若要证明下列问题：已知a,b>0,求证a(b2

+c2)+b(c2

+a2)‡4abc教师活动：给出以上问题，让学生思考应该如何证明，引导学生应用不等式证明。教师最后归结证明方法。学生活动：充分讨论，思考，找出以上问题的证明方法设计意图：引导学生应用不等式证明以上问题，引出综合法的定义证明:因为b2

+c2

‡2bc,a>0,所以a(b2

+c2)‡2abc,因此,a(b2

+c2)+b(c2

+a2)‡4abc.P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q表示要证明的结论1.综合法综合法：利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定理）和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫做综合法用综合法证明不等式的逻辑关系是：(PQ1

fi

(Q1

Q2)fi

(Q2

Q3

fi

.....fi

(Qn

Q综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法例1、在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c

,且A,B,C成等差数列,a,b,c

成等比数列,求证△ABC为等边三角形.分析：将A,B,C成等差数列，转化为符号语言就是2B=A+C;

A,B,C为△ABC的内角，这是一个隐含条件，明确表示出来是A+B+C=p

；a,b，c成等比数列，转化为符号语言就是b2

=ac

．此时，如果能把角和边统一起来，那么就可以进一步寻找角和边之间的关系，进而判断三角形的形状，余弦定理正好满足要求．于是，可以用余弦定理为工具进行证明．证明：由A,B,C成等差数列，有2B=A+C．①因为A,B,C为△ABC的内角，所以A+B+C=p

．⑧由①②，得B=p

.3由a,b，c成等比数列，有b

2

=ac

.由余弦定理及③，可得b2

=a2

+c2

-2accosB=a2

+c2

-ac.再由④，得a2

+c2

-ac

=ac

.(

a

-

c

)

2=

0

,因此a=c.从而A=C.由②③⑤，得A=B=C=

p

.3所以△ABC为等边三角形．解决数学问题时，往往要先作语言的转换，如把文字语言转换成符号语言，或把符号语言转换成图形语言等．还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来．例2、已知a,b˛

R+,求证aabb

‡abba.本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。

证明：1)差值比较法：注意到要证的不等式关于a,b

对称，不妨设a

‡b

>0.a-b‡0\aabb

-abba

=abbb(aa-b

-ba-b)‡0，从而原不等式得证。

2）商值比较法：设a

‡b

>0,ba

‡1,a-b‡0,\baabbaaabb=()a-b

‡1.故原不等式得证。注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判断符号。讨论：若题设中去掉x

„1

这一限制条件，要求证的结论如何变换？典例分析例

1

设a>0,b>0,a+b=1，求证：1

1

1+

+ ‡

8a

b

ab分析：左边乘以“1=a+b”，然后运用均值不等式。证明：∵a

b

ab

a

b

ab

a

b

a

b1

1

1

a+b

a+b

a+b

b

a

1

1+

+

=

+

+

=1+

+1+

+

+baba

b

a‡

4

+

a

+

b

+

a

+

b

=

4

+1+

+1+ ‡

8变式练习1已知a>0,b>0,a+b=4，求证：1

+1

‡1a

ba

+

b

a

+

b

1

b

a证明：左边=

4a

+

4b

=

2

+

4a

+

4b

≥

1例2

已知二次函数f(x)=ax2

+bx+（ca,b,c

均为实数），满足f

(-1)=0

，对于任意的实数x

都有f(x)-x‡0，并且x˛

(0,2)时，总有2

+

2

x

1

f

(

x

)

£

。求f

(1)的值；证明：a

>0,c

>0

；当x

˛-1,1]时函数g

(x)=f

(x)-mx

（其中m为实数），是单调的，求证：m£

0

或m‡1。分析：注意到2

x+12x£f(x)£x

˛

(0,2)对 恒成立，用x=1

即可求得f(1)，这是用不等式求值的一般思路。运用条件：“对于任意的实数x

都有f

(x)-x

‡0可证（2），（3）的证明思路就是利用二次函数的单调区间。变式练习2已知：1

+

1

2

，求证：（1）2

-1xf

(

x)

=

xf

(

x)为偶函数；（2）

f

(

x)

>

0例

3.已知

a，b，c

都是实数，求证：a2＋b2＋c2

1(a≥3＋b＋c)2≥ab＋bc＋ca.解题导引综合法证明不等式，要特别注意基本不等式的运用和对题设条件的运用．这里可从基本不等式相加的角度先证得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca成立，再进一步得出结论．证明

∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，三式相加得

a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，∴3a2＋3b2＋3c2≥(a2＋b2＋c2)＋2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b＋c)2.∴a2＋b2＋c2≥31(a＋b＋c)2；∵a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，∴a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥ab＋bc＋ca＋2(ab＋bc＋ca)，∴(a＋b＋c)2≥3(ab＋bc＋ca)．∴原命题得证．变式迁移

1

证明

∵a，b，c>0，根据基本不等式，a2

b2

c2a2

b2

c2a2

b2

c2有b

＋b≥2a，c

＋c≥2b，a

＋a≥2c.三式相加：b

＋c

＋a

＋a＋b＋c≥2(a＋b＋c)．即b

＋c

＋a

≥a＋b＋c.变式迁移

1

设

a，b，c>0，证明：a2

b2

c2b

＋

c

＋

a

≥a＋b＋c.变式迁移

1

证明

∵a，b，c>0，根据基本不等式，a2

b2

c2有b

＋b≥2a，c

＋c≥2b，a

＋a≥2c.a2

b2

c2三式相加：b

＋c

＋a

＋a＋b＋c≥2(a＋b＋c)．a2

b2

c2即b

＋c

＋a

≥a＋b＋c.基础训练1．(12

分)(2011·宁波月考)已知a、b、c>0，求证：a3＋b3＋c3≥13(a2＋b2＋c2)(a＋b＋c)．1．证明

∵a2＋b2≥2ab，a、b、c>0，∴(a2＋b2)(a＋b)≥2ab(a＋b)，(3

分)∴a3＋b3＋a2b＋ab2≥2ab(a＋b)＝2a2b＋2ab2，∴a3＋b3≥a2b＋ab2.(6

分)同理，b3＋c3≥b2c＋bc2，a3＋c3≥a2c＋ac2，将三式相加得，2(a3＋b3＋c3)≥a2b＋ab2＋b2c＋bc2＋a2c＋ac2.(9

分)∴3(a3＋b3＋c3)≥(a3＋a2b＋a2c)＋(b3＋b2a＋b2c)＋(c3＋c2a＋c2b)＝(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2)．∴a3＋b3＋c3

1(a2＋b2＋c2)(a＋b＋c)．(12

分)≥32.求证：p

是函数f

(x)

=

sin(2x

+

p

)4

的一个周期。证明：4

4

4

f

(x

+p)

=sin2(x

+p)

+p

=sin(2x

+2p

+p)

=sin(2x

+p)

=

f

(x)pf(x)=sin2(x

p+

)4

的一∴由函数周期的定义可知：

是函数个周期。3.（韦达定理）已知x1

和x2

是一元二次方程的ax2

+bx+c=0(a„0,b2

-4ac‡0)两个根。求证：b

c1x

+x2

=-

,x1x2

=a

a。;2a2a-b-

b2

-4ac,x2

=-b+

b2

-4acx1

=证明：由题意可知：2a

2a

a+

=-

,-b+

b2

-4ac

-b