数值计算中习题+答案

第1章数值计算中的误差一、填空题1.计算方法主要研究截断误差和舍入误差。2.设x=0.231是精确值x*=0.229的近似值，则x有2位有效数字。3.要使的近似值的相对误差小于0.1%，至少要取4位有效数字。4.x*=1.1021是经过四舍五入得到的近似值，有5位有效数字，其误差限。二、单项选择题1.舍入误差是(A)产生的误差。A．只取有限位数B．模型准确值与用数值方法求得的准确值C．观察与测量D．数学模型准确值与实际值2.用1+x近似表示ex所产生的误差是(C)误差。A．模型B．观测C．截断D．舍入3.用近似表示所产生的误差是(D)误差。A．舍入B．观测C．模型D．截断4.3.141580是π的(B)位有效数字的近似值。A．6B．5C．4D．75.－324.7500是舍入得到的近似值，它有(C)位有效数字。A．5B．6C．7D．86.(D)的3位有效数字是0.236×102。A．0.0023549×103B．2354.82×10－2C．235.418D．235.54×10－1三、判断1.精确解与实际计算结果之间的误差有模型误差、观测误差、截断误差及舍入误差。()2.如果某近似值的误差限是ε，我们就说，在允许误差ε的条件下，近似值是准确的。（）3.用四舍五入方法得到的近似值，称为有效数字。()4.有效数字的末位到第一位非零数字的个数，称为该有效数字的位数。()5.一个近似值的有效位数越多，这个近似值就越逼近真值。()6.用近似表示cosx产生舍入误差。(×)7.绝对误差和相对误差都是无量纲的，也可正可负。(×)8.用四舍五入方法得到的近似值，若近似值的误差小于某一位的半个单位，便称近似值准确到这一位。()9.绝对误差并不能完全反应数值的精度。（）第2章解线性方程组的直接方法一、填空题1.解线性方程组的数值方法可分为直接方法和迭代法。2.顺序Gauss消去法求解线性方程组的条件是系数矩阵的各阶顺序主子式都不为零或消元过程中得到的主元必须全不为0。3.常用的主元素法有列主元消去法和全主元消去法。4.设矩阵的分解为，则U=。5.设，，5，3。6.向量，矩阵，则16。7.设，，则（谱半径）=。（此处填小于、大于、等于）二、单项选择题1.用列主元消去法解线性方程组，第1次消元，选择主元为(A)。A．－4B．3C．4D．－92.解线性方程组的主元素消去法中选择主元的目的是(A)。A．控制舍入误差B．减小方法误差C．防止计算时溢出D．简化计算3.求解线性方程组Ax=b的LU分解法中，A须满足的条件是(D)。A．对称阵B．正定矩阵C．任意阵D．各阶顺序主子式均不为零4.设，则为(C)．A．2B．5C．7D．3三、判断1.顺序Gauss消去法通过逐次消元，将一般线性方程组的求解转化为等价的下三角形方程组的求解。(×)2.顺序Gauss消去法数值稳定性差。()3.若A是n阶非奇异矩阵，则线性方程组Ax=b一定可以使用Gauss消去法求解。（×）4.消元过程中，应避免选取绝对值较小的数作主元。（）5.列主元素法的精度优于全主元素法。（×）6.Rn中任意两个范数等价。()7.只要detA≠0，则A总可分解为A=LU，其中L为单位下三角阵，U为非奇上三角阵。（×）

8.只要detA≠0，则总可用列主元消去法求得线性方程组Ax=b的解。（）

9.矩阵A的谱半径不超过它的任何一种由向量范数诱导出的范数。（）10.线性方程组“病态”与否只与系数矩阵有关,而与右端项无关。（）11.系数矩阵的元素间数量级很大且无一定规律，则线性方程组可能是病态的。（）12.若在主元素消元过程中出现数量级很小的主元，则线性方程组可能是病态的。（）13.线性方程组解的相对误差主要由残量和条件数决定。（）五、计算题1.顺序Gauss消去法解线性方程组。解：由线性方程组消去后两个方程的x1得，再消去最后一个方程的x2得，回代得解:。2.用列主元素法求解线性方程组，计算过程保留三位小数。解，回代得。3.用直接三角分解法解方程组。解：由得。先求Ly=b得y：得，再求Ux=y得x：得。4.已知向量，求向量x的1、2和-范数。解：；；。第3章解线性方程组的迭代法一、填空题1.设，则0。2.求解方程组的Gauss-Seidel迭代矩阵为，该迭代矩阵的谱半径为。3.方程组的Gauss-Seidel迭代矩阵为，此迭代矩阵的谱半径为0.64。二、单选题1.Jacobi迭代法解方程组的必要条件是（C）。A．的各阶顺序主子式不为零B．C．的对角线元素不为零D．2.解方程组的简单迭代格式收敛的充要条件是（B）。A．B．C．D．三、判断题1.Gauss-Seidel迭代法比用Jacobi迭代法效果好。(×)2.向量序列和矩阵序列的收敛可归结为对应分量或对应元素序列的收敛性。()五、计算题1.用Jacobi迭代法求解线性方程组，迭代两次。解：将方程组改写成等价形式，Jacobi迭代法计算公式为。设初始向量取，第一次迭代；第二次迭代，，。2.用Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组，迭代两次。解：将方程组改写成等价形式，得Gauss-Seidel迭代法计算公式。设初始向量取，第一次迭代，第二次迭代。3.设有方程组，其中。求Jacobi迭代法解该方程组时的收敛性。解由Jacobi迭代矩阵得到对应的特征方程，所以特征值为，由谱半径的定义得迭代矩阵的。由迭代法收敛的充分必要条件知Jacobi迭代法发散。第5章插值法一、填空题1.由6个节点所确定的插值多项式的次数最高是5次。2.，，，则过这三点的二次插值多项式中的系数为，拉格朗日插值多项式为。3.若，则差商=1。1.若，1，0。4.已知，，，则二次Newton插值多项式中系数为0.15。二、单项选择题1.设，，，则抛物插值多项式中的系数为(A)。A．–0.5B．0.5C．2D．–22.由下列数据确定的唯一插值多项式的次数为(A)。0123412436A．4B．3C．2D．1三、判断1.给定插值节点，则无论用何种插值方法得到的插值多项式均是相同的。()2.表示在节点的二次Lagrang插值基函数。(Ö)3.Newton插值多项式克服了“增加一个节点时整个计算工作重新开始”的缺点.(Ö)四、计算题1.已知，，，求拉格朗日插值多项式及的近似值，取5位小数。解：2.已知数据如下表所示，分别用Lagrange插值法和Newton插值法求的三次插值多项式，并求的近似值。13452654解：（1）Lagrange三次插值多项式为（2）Newton插值法具体差商表如下：一阶差商二阶差商三阶差商1236245–1–154–100.25因此（3）3.取节点，，，求函数在区间上的二次Lagrange插值多项式，并估计误差。解：因为，，故截断误差4.以100，121，144为插值节点，用Newton插值法计算的近似值，并利用余项估计误差。解：1）构造如下差分表：一阶差商二阶差商1001211441011120.04761900.0434783–0.0000941136所以令x=115，代入上式，得10.722762）因，所以结合得5.已知，，，，则2次Newton插值多项式中的系数为?3次Newton插值多项式为？答：差商计算表如下一阶差商二阶差商三阶差商–12042110622261651因为所以二次Newton插值多项式中的系数为2。3次Newton插值多项式即是在2次Newton插值多项式基础上增加一项：第6章函数逼近一、单选题1.以下不属于可线性化函数的是（D）。A．指数函数B．幂函数C．D．抛物线函数二、计算题1.已知数据表如下所示，求其一次最小二乘拟合多项式。解：列数据表正则方程组为：解得。所以。2.已知数据组如下表所示，求的二次最小二乘拟合多项式，并求的近似值。－2－101242135解：ixiyixi2xi3xi4xiyixi2yi1－244－816－8162－121－11－22301000004131113352548161020∑01510034341正则方程组为，解得。所以，，。第7章数值微分与数值积分一、填空题1.设，，，用三点公式求2.5。2.已知，，，用Simpson求积公式求得≈2.367，用三点公式求得0.25。3.计算积分，取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为0.4268，用Simpson公式计算求得的近似值为0.4309，梯形公式的代数精度为1，Simpson公式的代数精度为3。4.已知，，，用Simpson求积公式求得12。5.若用复化梯形公式计算，要求误差不超过，利用余项公式估计，至少用477个求积节点。,，，二、单选题1.等距二点求导公式(A)。A．B．C．D．2.Newton-Cotes求积公式的系数是负值时，公式的稳定性不能保证。所以实际应用中，当（A）时的Newton-Cotes求积公式不使用。A．B．C．D．3.5个节点的Newton-Cotes求积公式，至少具有(A)次代数精度。A．5B．4C．6D．3三、判断题1.代数精度越高，求积公式的精度越高。（∨）2.当时，Newton-Cotes求积公式会产生数值不稳定性。（∨）四、计算题1.求积公式为。(1)求A、B使求积公式的代数精度尽量高,并求其代数精度；(2)利用此公式求(保留四位小数)。解：(1)时，求积公式精确成立，即得。求积公式为。当时，公式显然精确成立；当时，左，右。所以代数精度为3。(2)。2.已知数值积分公式为，试确定积分公式中的参数λ，使其代数精确度尽量高，并指出其代数精确度。解：显然精确成立；时，；时，；时，；时，。所以，其代数精确度为3。3.用梯形公式和Simpson公式计算积分。解：。梯形公式:。Simpson积分公式：。4.n=3，用复化梯形公式求的近似值（取四位小数），并求有效数字的位数。解：，因此。已知,由，，，得。所以，至少有两位有效数字。五、综合题1.数值求积公式是否为插值型求积公式？为什么？其代数精度是多少？解：1）是。因为在节点1、2处的插值多项式为已知，所以。2）时，求积公式精确成立，当时，左=9，右7.5，求积公式不成立。所以其代数精度为1。2.取5个等距节点，分别用复化梯形公式和复化Simpson公式计算积分的近似值（保留4位小数）。解：5个点对应的函数值列表如下所示xi00.511.52f(xi)10.6666670.3333330.1818180.111111(1)复化梯形公式：将n=4，h=2/4=0.5及上表带入得。(2)复化Simpson公式：将m=n/2=2，h=2/4=