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文档简介

第四章

多元函数微分学多元函数的定义定义类似地可定义三元及三元以上函数．图6-15例6示意图（1）邻域连通的开集称为区域或开区域．（2）区域概念多元函数的极限说明：（1）定义中的方式是任意的；（2）二元函数的极限也叫二重极限（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．例1

求极限解无穷小乘有界量仍是无穷小例2解定义设二元函数定义在D

上,如果函数在D

上各点处都连续,则称此函数在

D

上如果存在否则称为不连续,此时称为间断点

.则称二元函数连续.连续,

多元函数的连续性偏导数1、解例1

求

在点处的偏导数.

例2

求函数的偏导数.解2、高阶偏导数混合偏导定义二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.解例3设求例4.

求函数解

:的二阶偏导数.全微分概念例5.

计算函数在点(2,1)处的全微分.解:例6.

计算函数的全微分.解:

复合函数求导法则（链式法则）以上公式中的导数称为全导数.解例9.设求全导数解:隐函数的求导公式隐函数的求导法则解令则多元函数的极值及其求法二元函数极值的概念条件极值拉格朗日乘子法1、二元函数的极值定义1设函数在点的某一邻域内有定义,对于该邻域内异于的任意一点如果则称函数在有极大值;如果则称函数在有极小值;极大值、极小值统称为极值.使函数取得极值的点称为极值点.2、多元函数取得极值的条件定理1(必要条件)设函数在点具有偏导数,且在点处有极值,的偏导数必然为零,即则它在该点与一元函数的情形类似,对于多元函数,一阶偏导数同时为零的点称为函数的驻点.凡是能使可偏导的极值点一定是驻点(定理1），但驻点不一定是极值点!注意：时,具有极值定理2(充分条件)的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,且令则:1)当A<0

时取极大值;A>0

时取极小值.2)当3)当时,没有极值.时,不能确定,需另行讨论.若函数条件极值极值问题无条件极值:条件极值:对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制下面我们要介绍求解一般条件极值问题的拉格朗日乘子法.拉格朗日乘子法问题:求目标函数在所给条件下的极值.下面介绍拉格朗日函数即构造将条件极值问题化为上述拉格朗日函数拉格朗日乘数法来求解,的无条件极值

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