第四章一次函数

第四章一次函数1.初步理解函数的概念,在实际背景中感受自变量取值范围的意义;体会一次函数和正比例函数的意义,能根据所给信息确定一次函数表达式.2.能画一次函数的图象,理解当k>0和k<0时图象的变化情况,并利用一次函数图象解决简单的实际问题.3.在画一次函数的图象、探索一次函数图象的变化情况、利用一次函数的图象解决实际问题等过程中,体会数形结合的思想方法与一次函数y=kx+b中k与b的意义.经历利用一次函数及其图象解决实际问题的过程,发展应用意识;经历函数图象信息的识别与应用过程,发展几何直观.经历函数、一次函数等概念的抽象概括过程,体会函数的模型思想,进一步发展符号意识;经历一次函数的图象及其性质的探索过程,在合作与交流活动中发展合作交流的意识和能力.一、《标准》要求1.体验从具体情境中抽象出数学符号的过程,理解函数的概念;探索具体问题中的数量关系和变化规律,掌握用函数进行表述的方法.2.通过用函数表述数量关系的过程,体会建模思想,建立符号意识;能独立思考,体会数学的基本思想和思维方式.3.初步学会在具体的情境中从数学的角度发现问题和提出问题,并综合运用数学知识和方法解决简单的实际问题,增强应用意识,提高实践能力.4.在运用数学表述解决问题过程中,认识数学具有抽象、严谨和应用广泛的特点,体会数学的价值.5.探索简单实例中的数量关系和变化规律,了解常量、变量的意义.6.结合实例,了解函数的概念和三种表示法,能举出函数的实例.7.能结合图象对简单问题中的函数关系进行分析.8.能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围,并会求函数值.9.能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系.10.结合对函数关系的分析,能对变量的变化情况进行初步讨论.11.结合具体情境体会一次函数的意义,能根据已知条件确定一次函数的表达式.12.能利用待定系数法确定一次函数的表达式.13.能画出一次函数的图象,根据一次函数的图象和表达式y=kx+b(k≠0)探索并理解k>0和k<0时,图象的变化情况.14.能用一次函数解决简单实际问题.二、教材分析函数是数学中重要的基本概念之一,它揭示了现实世界中数量关系之间相互依存和变化的实质,是刻画和研究现实世界变化规律的重要模型.本章是学习函数的入门,也是进一步学习的基础.教材通过具体的实例引入一次函数的概念,并通过练习巩固对一次函数意义的认识;通过让学生动手操作,让学生认识到一次函数的图象是一条直线,从而得出两点法作一次函数图象的方法;通过具体的取值结合函数的图象,让学生逐步得出一次函数的性质,体会一次函数在实际生活中的应用.教材注重让学生参与知识的形成过程,自始至终都采用让学生动手尝试、交流、归纳的方式,鼓励学生通过观察、猜想、验证,主动获取知识.【重点】1.初步理解函数的概念.2.画一次函数的图象.3.通过一次函数图象解决生活中的简单问题.【难点】1.一次函数图象的特点.2.一次函数y=kx+b中k与b的实际意义.1.加强与已有知识的联系.在代数式、方程、不等式等内容的学习、探索中都已经渗透了转化的思想,要注意引导学生在原有知识基础上理解变量和函数的概念.2.创设丰富的现实情境,重视直观感知的作用.3.注重学生对必要的数学语言和符号的理解与准确应用,运用数学语言和符号去理解、描述现实世界中问题的变化规律,是本章学习的主要目的之一.要在现实情境中鼓励学生运用自己的语言进行描述和交流,进而逐步学习和掌握规范的数学语言,增强符号感.1函数1课时2一次函数与正比例函数1课时3一次函数的图象2课时4一次函数的应用3课时回顾与思考1课时1函数了解函数产生的背景和函数的概念,能判断两个变量间的关系是否属于函数关系.通过对函数概念的探索,初步培养学生利用函数的观点认识现实世界的意识和能力.1.经历函数概念的抽象概括过程,体会函数的模型思想.2.让学生主动地从事观察、操作、交流、归纳等探索活动,从而使学生形成自己对数学知识的理解和有效的学习模式.【重点】1.掌握函数的概念.2.会判断两个变量之间的关系是否属于函数关系.3.能把实际问题抽象概括为函数问题.【难点】1.理解函数的概念.2.能把实际问题抽象概括为函数问题.【教师准备】教材图4-1投影图片.【学生准备】预习教材75~76页内容.导入一:长春市某天的气温随时间变化的曲线如图所示.这条曲线反映了气温与时间之间怎样的关系?从这条曲线中又能获得哪些信息呢?导入二:我们生活在一个变化的世界中,时间、温度,还有你的身高、体重等都在悄悄地发生变化.从数学的角度研究变化的量,讨论它们之间的关系,将有助于我们更好地了解自己、认识世界和预测未来.观察下图,你能大致地描述男孩和女孩平均身高的变化情况吗?你的身高在平均身高之上还是之下?你能估计自己18岁时的身高吗?在现实生活中一个量随另一个量的变化而变化的现象大量存在.函数就是研究一些量之间确定性依赖关系的数学模型.一、感知函数出示教材图4-1及相关问题,并由学生讨论完成题目.(1)根据上图填表:t/min012345…h/m…(2)对于给定的时间t,相应的高度h确定吗?[设计意图]由于我们已初步接触过这方面知识,所以答案较易得出.在这里要注意时间和高度这两个变量之间的关系.二、做一做1.罐头盒等圆柱形的物体常常如下图那样堆放.随着层数的增加,物体的总数是如何变化的?填写下表:层数n12345…物体总数y…【思考】层数n和物体总数y之间是什么关系?2.一定质量的气体在体积不变时,假若温度降低到-273℃,则气体的压强为零.因此,物理学中把-273℃作为热力学温度的零度.热力学温度T(K)与摄氏温度t(℃)之间有如下数量关系:T=t+273,T≥0.(1)当t分别为-43℃,-27℃,0℃,18℃时,相应的热力学温度T是多少?(2)给定一个大于-273℃的t值,你都能求出相应的T值吗?【思考】在关系式T=t+273中,两个变量中若知道其中一个,是否可以确定另外一个?三、函数的相关概念一般地,如果在一个变化过程中有两个变量x和y,并且对于变量x的每一个值,变量y都有唯一的值与它对应,那么我们称y是x的函数(function),其中x是自变量.表示函数的方法一般有:列表法、关系式法和图象法.对于自变量在可取值范围内的一个确定的值a,函数有唯一确定的对应值,这个对应值称为当自变量等于a时的函数值.[知识拓展]理解函数概念时应注意:(1)在某一变化过程中有两个变量x与y.(2)这两个变量互相联系,当变量x取一个确定的值时,变量y的值就随之确定.(3)对于变量x的每一个值,变量y都有唯一的一个值与它对应,如在关系式y2=x(x>0)中,当x=9时,y对应的值为3或-3,不唯一,则y不是x的函数.1.(1)汽车在公路上匀速行驶,速度为每小时30千米,则汽车行驶的路程s(千米)与行驶的时间t(时)之间的关系式为.

(2)圆的面积S与半径R的关系式为.

答案:(1)s=30t(2)S=πR22.一般地,在某个变化过程中,有个变量x,y.如果给定一个x值,相应地就了一个y值,那么我们称y是x的函数.其中是自变量,是因变量.

答案:两确定xy3.对于两个变量之间的函数关系,可以采用不同的表达方式:,,.

答案:列表法关系式法图象法4.圆的周长公式C=2πR中,有个变量,是.

答案:两R,C5.某30层的大厦底层高4米,以上每层高3米,从底层数起,则前n层的高度h(米)与n的函数关系式为.

答案:h=3n+11函数1.感知函数.2.做一做.3.函数的相关概念.一、教材作业【必做题】教材第77页习题4.1第1,2题.【选做题】教材第78页习题4.1第3题.二、课后作业【基础巩固】1.下列变量间的关系不是函数关系的是 ()A.长方形的宽一定,其长与面积B.正方形的周长与面积C.等腰三角形的底边长与面积D.圆的周长与半径2.下列是关于变量x和y的四个关系式:①y=x;②y2=x;③2x2=y;④y2=2x.其中y是x的函数的有 ()A.1个B.2个C.3个D.4个3.弹簧挂上物体后伸长,已知一弹簧的长度(cm)与所挂物体的质量(kg)之间的关系如下表:物体的质量/kg012345弹簧的长度/cm1012.51517.52022.5下列说法错误的是 ()A.没挂物体时,弹簧的长度为10cmB.弹簧的长度随所挂物体的质量的变化而变化,物体的质量是因变量,弹簧的长度是自变量C.在弹簧的弹性限度内,如果物体的质量为mkg,那么弹簧的长度ycm可以表示为y=2.5m+10D.当物体的质量为4kg时,弹簧的长度为20cm4.下列各题中,哪些是函数关系?哪些不是函数关系?(1)匀速运动所走的路程和速度;(2)在平静的湖面上投入一粒石子,泛起的波纹的周长与半径;(3)x+3与x;(4)正方形的面积和梯形的面积;(5)水管中水流的速度和水管的长度.【能力提升】5.如图(1)所示,在长方形ABCD中,动点E从点B出发,沿BADC方向运动至点C处停止.设点E运动的路程为x,ΔBCE的面积为y,如果y关于x的函数图象如图(2)所示,则当x=7时,点E应运动到 ()A.点C处 B.点D处C.点B处 D.点A处6.如下图所示的是桂林冬季某一天的气温随时间的变化图象,请根据图填空:时气温最低,最低气温为℃,当天最高气温为℃,这一天的温差为℃.(所有的结果都取整数)

【拓展探究】7.如图所示,正方形ABCD的边长为1,E是CD的中点,P为正方形ABCD边上一个动点,动点P从点A出发,沿A→B→C→E运动.若点P经过的路程为x,ΔAPE的面积为y,则当y=13时,求x的值.【答案与解析】1.C(解析:A.长=面积宽;B.面积=周长42;C.高不能确定,共有三个变量;D.周长=2π·半径.2.B(解析:①③是y关于x的函数.)3.B(解析:因为表中的数据主要涉及弹簧的长度和所挂物体的质量,所以反映了所挂物体的质量和弹簧的长度之间的关系,所挂物体的质量是自变量,弹簧的长度是因变量,故选项B错误,符合题意.故选B.)4.解:(1)匀速运动所走的路程和速度符合s=vt,是函数关系.(2)在平静的湖面上投入一粒石子,泛起的波纹的周长L与半径r符合L=2πr,是函数关系.(3)x+3与x,设y=x+3,即可得出是函数关系.(4)正方形的面积和梯形的面积没有关系,所以不是函数关系.(5)水管中水流的速度和水管的长度没有关系,所以不是函数关系.所以(1)(2)(3)是函数关系,(4)(5)不是.5.B(解析:当E在AB上运动时,ΔBCE的面积不断增大,当E在AD上运动时,面积不变,当E在DC上运动时,ΔBCE的面积不断减小,所以当x=7时,点E应运动到点D处.故选B.)6.4-210127.解:①当点P在AB上运动时,如图(1)所示,y=12x(0≤x<1).当y=13时,x=23.②当点P在BC上运动时,如图(2)所示,y=1-12×1×(x-1)-12×12(2-x)-12×12×1,整理得y=34-14x(1≤x<2).当y=13时,13=34-14x,解得x=53.③当点P在CE上运动时,如图(3)所示,EP=52-x,y=12×1×52-x,即y=54-12x(2≤x≤2.5).当y=13本课时是函数学习的起始课,因此理解函数的基本思想和表达方式是本课时的重点.通过生活实例中对变量的提取,帮助学生比较深刻地领悟了函数的意义.教材安排的实际问题,旨在让学生通过直观感知,领悟相关概念,这些问题不宜单纯作为教师讲解的例题,要注意引导学生观察其中数量之间的相互关系、鼓励学生发表意见,可以根据学生交流的情况,鼓励学生举出自己熟悉的实例,穿插在几个问题的讨论之中.本课时的学习需注意后续相关内容的渗透,例如:观察函数图象,感知函数的单调性;通过求函数值,渗透初步的对应思想等.教师在组织教学中应注意做适当的铺垫.随堂练习(教材第77页)解:(1)问题中有时间和温度两个变量,且温度是时间的函数,自变量的取值范围是大于等于0,小于等于24.(2)问题中有汽车的速度v(km/h)和汽车紧急刹车后滑行的路程s(m)两个变量,且s是v的函数,v>0.(3)问题中有信件质量m(g)与邮资y(元)两个变量,且y是m的函数,0<m≤100.习题4.1(教材第77页)1.解:(1)反映了物体与抛射点之间的水平距离s与物体的高度h之间的关系.(2)依次填2,2.5,2.65,2.5,2,1.2,0.(3)确定.(4)可以.2.解:(1)当x=3时,y=9.(2)依题意得y=3x,x的取值范围是x>0,且x是整数.3.解:买单价是0.4元的铅笔,总金额y(元)与铅笔数x(支)之间的关系,其函数的关系式为y=0.4x,自变量的取值范围是非负整数.(答案不唯一)4.解:(1)能.(2)能.(3)能.1.关于确定函数关系式的问题,需要分析实际问题中的等量关系,其具体方法和列方程解应用题类似.2.关于函数自变量的取值范围的讨论,主要包含两个方面:一是自变量取值使函数关系式有意义;二是自变量取值使实际问题有意义,这需要对实际问题作具体分析,具有一定难度.图中的圆点是有规律地从里到外逐层排列的.设y为第n层(n为正整数)圆点的个数,则下列函数关系式中正确的是 ()A.y=4n-4B.y=n2C.y=4n+4D.y=4n〔解析〕由图可知n=1时,圆点有4个,即y=4;n=2时,圆点有8个,即y=8,从而可知y=4n.故选D.2一次函数与正比例函数理解一次函数和正比例函数的概念,以及两者之间的关系,利用一次函数和正比例函数解决实际问题.能够根据所给条件写出简单的一次函数表达式,并利用它解决实际问题.1.通过函数与变量之间的联系,一次函数与一次方程的联系,提高学生的数学思维能力.2.经历利用一次函数解决实际问题的过程,发展学生的数学应用能力.【重点】1.一次函数、正比例函数的概念.2.一次函数、正比例函数的关系.3.会根据已知信息写出一次函数的表达式.【难点】一次函数知识的运用.【教师准备】引例和例题投影图片.【学生准备】复习函数的定义、函数值等内容.导入一:生活中充满着许许多多变化的量,你了解这些变量之间的关系吗?如弹簧的长度(在弹性限度内)与所挂物体的质量,输液时间与相应时间内水滴数目……了解这些关系,可以帮助我们更好地认识世界.函数是刻画变量之间关系的常用模型,其中最为简单的是一次函数,那么什么是一次函数?用一次函数可以解决哪些问题呢?你想了解这些吗?一起进入这节课的学习吧!导入二:汽车的平均速度为95km/h,A地直达北京的高速公路全程为570km,小明想知道汽车从A地驶出后,距北京的路程和汽车在高速公路上行驶的时间有什么关系,以便根据时间估计自己与北京的距离.小明能得到一个什么样的关系式呢?他是怎样想的?猜猜看.[过渡语]怎样写出两个变量之间的函数关系式呢? 一、出示教材引例及问题某弹簧的自然长度为3cm.在弹性限度内,所挂物体的质量x每增加1kg,弹簧长度y增加0.5cm.(1)计算所挂物体的质量分别为1kg,2kg,3kg,4kg,5kg时弹簧的长度,并填入下表:x/kg012345y/cm(2)你能写出y与x之间的关系式吗?【分析】当不挂物体时,弹簧长度为3厘米,当挂1千克物体时,增加0.5厘米,总长度为3.5厘米,增加1千克物体,即所挂物体为2千克时,弹簧又增加0.5厘米,总共增加1厘米,由此可见,所挂物体为x千克时,弹簧就伸长0.5x厘米,则弹簧总长为原长加伸长的长度,即y=3+0.5x.二、做一做某辆汽车油箱中原有汽油60L,汽车每行驶50km耗油6L.(1)完成下表:汽车行驶路程x/km050100150200300耗油量y/L(2)你能写出耗油量y(L)与汽车行驶路程x(km)之间的关系式吗?(3)你能写出油箱剩余油量z(L)与汽车行驶路程x(km)之间的关系式吗?【答案与提示】(1)如下表所示:汽车行驶路程x/km050100150200300耗油量y/L0612182436(2)y=6·x50(3)z=60-325【归纳】若两个变量x,y间的对应关系可以表示成y=kx+b(k,b为常数,k≠0)的形式,则称y是x的一次函数.例如y=2x+1,y=12x-1等都是一次函数特别地,当b=0时,称y是x的正比例函数.例如,y=2x,y=-3x等都是正比例函数.正比例函数是一次函数的特例,一次函数包含正比例函数.正比例函数与一次函数的关系如图所示.[知识拓展]正比例函数也是一次函数,不过是特殊的一次函数,就像是等边三角形与等腰三角形的关系一样.三、例题讲解写出下列各题中y与x之间的关系式,并判断:y是否为x的一次函数?是否为正比例函数?(1)汽车以60km/h的速度匀速行驶,行驶路程y(km)与行驶时间x(h)之间的关系;(2)圆的面积y(cm2)与它的半径x(cm)之间的关系;(3)某水池有水15m3,现打开进水管进水,进水速度为5m3/h,xh后这个水池内有水ym3.(由学生交流讨论完成)解:(1)由路程=速度×时间,得y=60x,y是x的一次函数,也是x的正比例函数.(2)由圆的面积公式,得y=πx2,y不是x的正比例函数,也不是x的一次函数.(3)这个水池每小时增加5m3水,xh增加5xm3水,因而y=15+5x,y是x的一次函数,但不是x的正比例函数.【思考】两个变量之间存在函数关系,它们之间一定是一次函数或正比例函数关系吗?我国自2011年9月1日起,个人工资、薪金所得税征收办法规定:月收入不超过3500元的部分不收税;月收入超过3500元但不超过5000元的部分征收3%的所得税……如某人月收入3860元,他应缴纳个人工资、薪金所得税为(3860-3500)×3%=10.8(元).(1)当月收入超过3500元而又不超过5000元时,写出应缴纳个人工资、薪金所得税y(元)与月收入x(元)之间的关系式;(2)某人月收入为4160元,他应缴纳个人工资、薪金所得税多少元?(3)如果某人本月缴纳个人工资、薪金所得税19.2元,那么此人本月工资、薪金收入是多少元?〔解析〕一次函数y=kx+b(k,b为常数,k≠0)中,自变量的取值范围是全体实数,但是在实际问题中,要根据具体情况来确定该一次函数的自变量的取值范围.本例题的关键是确定问题当中的x的取值范围.解:(1)当月收入超过3500元而不超过5000元时,y=(x-3500)×3%,即y=0.03x-105.(2)当x=4160时,y=0.03×4160-105=19.8(元)(3)因为(5000-3500)×3%=45(元),19.2<45,所以此人本月工资、薪金收入不超过5000元.设此人本月工资、薪金收入是x元,则:19.2=0.03x-105,x=4140.即此人本月工资、薪金收入是4140元.1.一根弹簧的原长为12cm,它能挂的重量不能超过15kg并且每挂重物1kg就伸长0.5cm,则在弹性限度内,挂重物后的弹簧长度y(cm)与所挂重物x(kg)之间的函数关系式是.

解析:弹簧伸长后的长度等于原长加上挂重物后伸长的长度,所以y=0.5x+12.由于这是实际问题,自变量的取值要有实际意义,所以0≤x≤15.故填y=0.5x+12(0≤x≤15).2.y=kx+b是一次函数,则k为 ()A.一切实数B.正实数C.负实数 D.非零实数解析:y=kx+b是一次函数,也就是说kx+b是关于x的一次式,所以k是不等于0的实数.故选D.3.下列函数中,y是x的一次函数的是 ()A.y=-3x+5 B.y=-3x2C.y=1x D.y=2解析:形如y=kx+b(k,b为常数,k≠0)的函数是一次函数.故选A.4.下列说法不正确的是 ()A.一次函数不一定是正比例函数B.不是一次函数就一定不是正比例函数C.正比例函数是特殊的一次函数D.不是正比例函数就一定不是一次函数解析:正比例函数是特殊的一次函数,不是正比例函数也可能是一次函数,如y=2x-3.故选D.5.某面包厂现年产值是15万元,计划从今年开始每年增加产值2万元.(1)写出年产值y(万元)与年数x之间的函数表达式;(2)求5年后的年产值.解析:(1)年产值等于现年产值加上每年增加的年产值乘年数.(2)将x=5代入(1)中求得的表达式即可得解.解:(1)y=2x+15.(2)当x=5时,y=2×5+15=25,即5年后的年产值为25万元.2一次函数与正比例函数1.出示教材引例及问题.2.做一做.3.例题讲解.例1例2一、教材作业【必做题】教材第82页习题4.2第1,2题.【选做题】教材第82页习题4.2第5题.二、课后作业【基础巩固】1.若函数y=(m-5)x+(4m+1)x2(m为常数)中的y与x成正比例,则m的取值范围为 ()A.m>-14B.mC.m=-14 D.m2.下列函数:①y=4x+3;②y=112x;③y=x4;④y=x2;⑤y=1-x中,一次函数有 (A.1个B.2个C.3个D.4个3.在函数y=13x,y=12x+3,y=1x+3,y=2x2-3,y=2(x-3)中,【能力提升】4.容积为800L的水池内已蓄水200L,若每分钟注入的水量是15L,设池内的水量为Q(L),注水时间为t(min).(1)请写出Q与t的函数关系式;(2)注水多长时间可以把水池注满?(3)当注水时间为0.2h时,池中水量是多少?5.某自行车保管站在某个星期日接受保管的自行车共有3500辆次,其中变速车保管费是每辆一次0.5元,一般车保管费是每辆一次0.3元.(1)若一般车停放的辆次数为x,总的保管费收入为y元,试写出y关于x的函数关系式;(2)若估计前来停放的3500辆自行车中,变速车的辆次不小于总辆次的25%,但不大于40%,试求该保管站这个星期日保管费收入总数的范围.【拓展探究】6.为了节约资源,科学指导居民改善居住条件,小王向房管部门提出了一个购买商品房的政策性方案.人均住房面积/m2单价/(万元/m2)不超过30的部分0.3超过30不超过n(m2)的部分(45≤n≤60)0.5超过n(m2)的部分0.7根据这个购房方案解决下列问题:(1)若某三口之家欲购买120m2的商品房,求其应缴纳的房款;(2)设某三口之家购买商品房的人均面积为xm2,应缴纳房款为y万元,请写出y关于x的函数表达式.【答案与解析】1.C(解析:∵函数y=(m-5)x+(4m+1)x2中的y与x成正比例,∴m-5≠0,4m+1=0,即m≠5,2.C(解析:①y=4x+3是一次函数;②y=112x是一次函数;③y=x4的自变量的次数不为1,故不是一次函数;④y=x2的自变量的次数不为1,故不是一次函数;⑤y=1-x是一次函数.故选C.3.y=13x(解析:只有y=13x符合y=kx(k≠0)的形式4.解:(1)Q=200+15t,0≤t≤40.(2)注水40min可以把水池注满.(3)当注水0.2h,即12min时,池中水量为380L.5.解:(1)y与x的关系式是y=0.3x+0.5×(3500-x),即y=-0.2x+1750(0≤x≤3500,且x为整数).(2)因为变速车停放的辆次不小于3500的25%,但不大于3500的40%,所以一般自行车停放的辆次在3500×60%与3500×75%之间.当x=3500×60%=2100时,y=-0.2×2100+1750=1330;当x=3500×75%=2625时,y=-0.2×2625+1750=1225.所以该保管站这个星期日保管费收入总数在1225元至1330元之间.6.解析:(1)根据房款=房屋单价×购房面积就可以表示出应缴房款.(2)分别求出当0≤x≤30,30<x≤n和x>n时y与x之间的表达式即可.解:(1)由题意,得应缴纳房款为0.3×90+0.5×30=42(万元).(2)由题意得:①0≤x≤30时,y=0.3×3x=0.9x;②30<x≤n时,y=0.3×90+0.5×3×(x-30)=1.5x-18;③x>n时,y=0.3×90+0.5×3(n-30)+0.7×3×(x-n)=2.1x-18-0.6n.教学时从学生熟悉的实际问题入手,旨在让学生通过直观感知领悟相关概念,通过学生的合作交流得到一次函数和正比例函数的定义,引导学生把新学习的函数知识与实际问题联系起来.对正比例函数和一次函数之间的区别和联系没有做重点强调,这对于学生以后画函数图象和分析图象、性质会带来一定的困难.在教学过程中要适当增加习题,设计不同层次的习题,让不同层次的学生得到不同程度的练习,以提高学生的解题能力和对一次函数与正比例函数的理解和掌握.随堂练习(教材第80页)1.解:依题意得y=2.2x,所以y是x的一次函数,y也是x的正比例函数.2.解:(1)y=80x+100,y是x的一次函数.(2)当x=0.5时,y=140.习题4.2(教材第82页)1.解:y=-3x.2.解:(1)y=3x,y是x的一次函数,也是x的正比例函数.(2)y=12(10-2x)·x=-x2+5x,y不是x的一次函数,也不是x的正比例函数3.解:(1)y=12+0.2x.(2)48元.(3)440min.4.解:(1)y=0.25x.(2)45元.(3)400min.5.解:yA=0.2x+12,yB=0.25x.(1)当x=300时,yA=0.2×300+12=72,yB=0.25×300=75.因为yA<yB,所以选择A类收费方式.(2)由题意得yA=yB,所以0.2x+12=0.25x,解得x=240.所以每月通话240min时,按A,B两类收费标准缴费,所缴话费相等.要注意一次函数与正比例函数之间的关系,解决“根据所给条件写出简单的一次函数表达式”这类问题的基本思路为:先从实际问题中获取各种有用的信息,然后认真分析,探究这些有关的信息,在此基础上构建出数学模型,并解决这个数学问题,从而进一步解答问题.如图所示,函数、一次函数和正比例函数之间的包含关系是 ()〔解析〕正比例函数是一次函数的特殊形式,而它们又都是函数.故选A.3一次函数的图象1.理解函数图象的概念,经历作图象的过程,初步了解作函数图象的一般步骤.理解一次函数的代数表达式与图象之间的对应关系,并能熟练作出一次函数的图象.2.了解正比例函数y=kx的图象的特点,会作正比例函数图象,理解一次函数及其图象的有关性质;进一步培养学生数形结合的意识和能力.1.会作一次函数的图象,明确一次函数的图象是一条直线.2.通过观察、思考、交流等过程,得出正比例函数与一次函数图象的性质.经历作图象的过程,归纳总结作函数图象的一般步骤,培养学生的总结概括能力,让学生全身心地投入到数学活动中,能积极与同伴合作交流并能进行探索活动,发展实践能力与创新精神.【重点】1.能熟练地作出一次函数的图象,归纳作函数图象的一般步骤,理解一次函数的代数表达式与图象之间的对应关系.2.正比例函数与一次函数的图象特点.【难点】1.理解一次函数的表达式与图象之间的对应关系.2.正比例函数、一次函数图象的特点的探索.第课时1.通过具体操作,感受正比例函数的图象是一条直线.2.学会选择特殊的点,正确地画出正比例函数的图象.3.理解正比例函数图象的性质.经历正比例函数图象画法的探索过程,体会数形结合的数学思想,发展抽象概括能力.体会数学与人类社会的密切联系,增强学好数学的信心.【重点】了解正比例函数的图象是一条直线并会画正比例函数的图象.【难点】画正比例函数的图象选点的技巧,正比例函数图象的性质.【教师准备】教材例1投影图片.【学生准备】直尺.导入一:已知A,B两人在一次百米赛跑中,路程s(米)与赛跑时间t(秒)的关系如图所示,你知道A,B两人所跑的路程s(米)与时间t(秒)之间属于哪种函数关系吗?通过这节课的学习,同学们一定会有所了解.导入二:如图所示的图象描述了某一天小亮从家骑车去书店购书,然后又骑车回家的情况,你能说出小亮在路上的情形吗?一、函数图象的概念把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标,在直角坐标系内描出相应的点,所有这些点组成的图形叫做该函数的图象.[设计意图]根据本节课的特点,要研究一次函数的图象及其性质,必须首先让学生知道什么是函数的图象.二、画正比例函数的图象思路一(教材例1)画出正比例函数y=2x的图象.解:列表:x…-2-1012…y…-4-2024…描点:以表中各组对应值作为点的坐标,在直角坐标系内描出相应的点.连线:把这些点依次连接起来,得到y=2x的图象(如图所示),它是一条直线.思路二某地1千瓦时电费为0.8元,表示电费y(元)与所用电量x(千瓦时)之间的函数关系式是,你能画出这个函数的图象吗?

〔解析〕(1)确定自变量的取值范围.根据题意可知y=0.8x,这是个实际问题,自变量的取值要使实际问题有意义,所以x≥0.(2)列表.取自变量x的一些值,算出相应的函数值,列成表格如下:x012345…y00.81.62.43.24…(3)描点.建立平面直角坐标系,以x的取值为横坐标,相应的函数值为纵坐标,描出点O,A,B,C,D,E,…,如图所示.(4)连线.观察描出的这几个点,它们的位置关系是怎样的?学生观察这些点会得到这些点在一条直线上,由于自变量的取值范围是x≥0,因此我们猜想这个函数的图象是以原点为端点的一条射线,数学上已经证明这个猜想是正确的,于是这个函数的图象如下图所示.【归纳】类似地,数学上已经证明:正比例函数y=kx(k为常数,k≠0)的图象是一条直线,由于两点确定一条直线,因此画正比例函数的图象,只要描出图象上的两个点,然后过这两点作一条直线就行了,我们常常把这条直线叫做“直线y=kx”.注意:因为两点可以确定一条直线,因此,画正比例函数的图象时只需过原点(0,0)和点(1,k)画一条直线即可.三、正比例函数的性质学生画出图象后,引导学生分析:正比例函数y=kx(k≠0)的图象是一条经过的直线,我们称它为直线y=kx.当k>0时,经过第象限,从左往右升,即y随x增大而;当k<0时,经过第象限,从左往右降,即y随x增大而.

[知识拓展]函数的图象可以是直线,也可以是曲线,描点时,所描出的点越多,图象越精确,有时不能把所有的点都描出,就用平滑的曲线连接描出的点,从而得到函数的近似图象.函数的图象是由函数的表达式决定的,因此函数的表达式与图象之间有一种对应关系.1.正比例函数y=kx(k≠0)的图象是经过原点的一条直线.通常画正比例函数y=kx(k≠0)的图象时,只取一点(1,k),然后过原点和这一点画直线即可.2.正比例函数y=kx(k≠0)的性质.k的取值k<0k>0图象图象特征过点(0,0)和(1,k)的直线变化规律y随x的增大而减小y随x的增大而增大1.正比例函数的图象是一条过的直线.

答案:原点2.正比例函数y=kx(k为常数,k≠0).当k>0时,直线过第象限,从左向右,y随x的增大而;当k<0时,直线过第象限,从左向右,y随x的增大而.

答案:一、三上升增大二、四下降减小3.如图所示,射线l甲,l乙分别表示甲、乙两名运动员在自行车比赛中所行路程s(米)与时间t(分)的函数图象.则他们行进的速度关系是 ()A.甲、乙同速B.甲比乙快C.乙比甲快D.无法确定解析:因为s=vt,所以同一时刻,s越大,v越大,图象表现为越陡峭.故选B.4.关于函数y=-15x,下列说法中正确的是 (A.函数图象经过点(1,5)B.函数图象经过第一、三象限C.y随x的增大而减小D.不论x取何值,总有y<0解析:函数y=-15x,因为自变量的系数小于0,所以它的图象经过第二、四象限,y随x减小.故选C.5.画出函数y=-2x的图象.解:如图所示.第1课时1.函数图象的概念.2.画正比例函数的图象.3.正比例函数的性质.一、教材作业【必做题】教材第85页习题4.3第1,2题.【选做题】教材第85页习题4.3第5题.二、课后作业【基础巩固】1.若正比例函数y=kx的图象经过第一、三象限,则k的取值范围是 ()A.k>0B.k<0C.k≥0 D.k≤02.下列各点在正比例函数y=2x的图象上的是 ()A.(2,1) B.(1,2)C.(-1,2) D.(1,-2)3.对于函数y=k2x(k是常数,k≠0)的图象,下列说法不正确的是 ()A.是一条直线B.过点1C.经过第一、三象限或第二、四象限D.y随着x的增大而增大4.正比例函数y=(2m+2)x中,y随x的增大而减小,则m的取值范围是 ()A.m>-1 B.m<-1C.m=-1 D.m<15.物体沿一个斜坡下滑,它的速度v(米/秒)与其下滑时间t(秒)的关系如图所示,则下滑2秒时物体的速度为.

6.写出同时具备下列两个条件的一次函数表达式:(写出一个即可).

(1)y随着x的增大而减小;(2)图象经过点(0,0).7.写出一个y随x的增大而增大的正比例函数的解析式:.

【能力提升】8.画出函数y=3x的图象.【拓展探究】9.甲车从A地出发匀速驶往B地,同时乙车从B地出发匀速驶往A地.下图表示甲、乙两车在全程行驶的过程中,离各自出发地的路程y(千米)与出发时间x(时)的函数图象.(1)求A,B两地距离及甲车的速度;(2)当乙车距A地的距离为A,B两地距离的13时,甲车刚好行驶80千米,求此时乙车到达A地还需行驶多长时间【答案与解析】1.A(解析:由正比例函数图象的性质可知k>0时,函数y=kx的图象经过第一、三象限.)2.B3.C(解析:k2>0(k是常数,k≠0),则直线y=k2x(k是常数,k≠0)经过第一、三象限,y随着x的增大而增大,不经过第二、四象限,所以C是错误的.)4.B(解析:正比例函数y=(2m+2)x中,y随x的增大而减小,则2m+2<0,所以m<-1.)5.4米/秒(解析:由图象可看出v是t的正比例函数,当t等于2时,对应的v的值是4.)6.y=-3x(解析:由已知条件(1)y随着x的增大而减小;(2)图象经过点(0,0)可知此函数是正比例函数,并且自变量的系数k小于0.答案不唯一.)7.y=6x(解析:y随x的增大而增大的正比例函数,只要满足k大于0即可,答案不唯一.)8.解析:画正比例函数的图象的方法是先确定函数图象经过的两点的坐标,如(0,0),(1,3),然后过这两点作直线.解:如图所示.9.解析:(1)由图象提供的信息可以得出A,B两地间的距离,再根据速度=路程÷时间就可以求出速度.(2)由(1)知甲车的速度,求出甲车行驶的时间,就是乙车行驶的时间,再利用乙车行驶的路程除以时间就可以求出乙车的速度,进而求出乙车到达A地的时间.解:(1)由图象得A,B两地的距离为180千米,甲车的速度为180÷3=60(千米/时).(2)乙车的速度是:180×1-13÷8060=90(千米/时),则乙车到达A本节利用数形结合的思想引入新课,通过学生的自主探索与合作交流得到正比例函数的图象和性质,使学生易于接受新知识.通过例题的讲解,加深了学生对正比例函数的图象和性质的理解,提高了学生应用正比例函数的图象和性质解题的能力.在探讨正比例函数图象、性质的时候,留给学生观察图象、分析图象的时间不多.通过函数图象分析函数的性质,才能加深对函数图象的理解和记忆.教学中要重视知识的形成过程,讨论时不要流于形式,要充分调动学生的积极性.对于学生所画的图象,教师可以通过多媒体展示正确的画法,这样便于学生观察,更有效地节省了时间,达到课堂教学的有效性.随堂练习(教材第85页)解:所画图象如图所示.函数y=12x中,y随x的增大而增大;函数y=-13x中,y随x习题4.3(教材第85页)1.解:点(-1,5)和点(0.5,-2.5)在正比例函数y=-5x的图象上.2.解:如图所示.3.(2)(4)4.解:由图象知此函数是正比例函数,设函数的表达式为y=kx,将x=1,y=3代入,得3=k·1,解得k=3,所以函数的表达式为y=3x.5.解:小明的想法的实质是:图象上其他点与原点的连线,和水平方向所成的角相同,因此这些点都在一条直线上.如果一个正比例函数的图象经过不同象限内的两点A(2,m),B(n,3),那么一定有 ()A.m>0,n>0B.m>0,n<0C.m<0,n>0 D.m<0,n<0〔解析〕∵正比例函数的图象经过第一、三象限或第二、四象限,且不同象限内的两点A(2,m),B(n,3)在正比例函数的图象上,∴m<0,n<0.故选D.第课时1.理解直线y=kx+b与直线y=kx之间的位置关系.2.会选择两个合适的点画出一次函数的图象.3.掌握一次函数的性质.1.通过研究一次函数的图象,经历知识的归纳、探究过程.2.通过一次函数的图象归纳函数的性质,体验数形结合、从特殊到一般的数学思想.1.通过画函数的图象,并借助图象研究函数的性质,体验数与形的内在联系,感受函数图象的简洁美.2.在探究函数的图象和性质的活动中,通过一系列的富有探究性的问题,渗透与人合作交流的意识和探究精神.【重点】一次函数的图象和性质.【难点】由一次函数的图象归纳得出一次函数的性质及对性质的理解.【教师准备】教材例2投影图片.【学生准备】复习正比例函数的性质.导入一:下列哪个是函数y=2x-1的图象呢?导入二:①y=2x+1;②y=2x+2;③y=2x+3.以上三个函数的图象有什么位置关系呢?导入三:正比例函数是特殊的一次函数,正比例函数的图象是一条直线,那么一次函数的图象也是一条直线吗?从表达式上看,正比例函数与一次函数相差什么?如果体现在图象上又会有怎样的关系呢?[设计意图]体现特殊与一般的关系并引发猜想,渗透数形结合思想.[过渡语]正比例函数y=-2x的图象是过原点的一条直线,那么一次函数y=-2x+1的图象又是怎样的呢?下面我们研究一次函数y=kx+b的图象.(教材例2)画出一次函数y=-2x+1的图象.解:列表.x…-2-1012…y…531-1-3…描点:以表中各组对应值作为点的坐标,在直角坐标系内描出相应的点.连线:把这些点依次连接起来,得到y=-2x+1的图象(如图所示),它是一条直线.【思考】(1)直线y=-2x和直线y=-2x+1是什么位置关系?(2)画正比例函数图象和画一次函数图象有什么共同之处?(3)根据上面的函数图象,怎样比较简单地画出一次函数y=-2x+3的图象?【总结】一次函数y=kx+b的图象是一条直线,因此画一次函数图象时,只要确定两个点,再过这两点画直线就可以了.一次函数y=kx+b的图象也称为直线y=kx+b.【做一做】在同一直角坐标系内分别画出一次函数y=2x+3,y=-x,y=-x+3和y=5x-2的图象.【议一议】(1)上述四个函数中,随着x值的增大,y的值分别如何变化?相应图象上点的变化趋势如何?(2)直线y=-x与y=-x+3的位置关系如何?你能通过适当的移动将直线y=-x变为直线y=-x+3吗?一般地,直线y=kx+b与y=kx又有怎样的位置关系呢?(3)直线y=2x+3与直线y=-x+3有什么共同点?一般地,你能从函数y=kx+b的图象上直接看出b的数值吗?【提示与解答】(1)函数y=2x+3和y=5x-2都是y随x的增大而增大,相应图象上点的位置逐渐升高.函数y=-x和y=-x+3都是y随x的增大而减小,相应图象上点的位置逐渐降低.(2)直线y=-x与直线y=-x+3互相平行,将直线y=-x向上平移3个单位长度就变为直线y=-x+3了.当k≠0,b≠0或k=0,b≠0时,直线y=kx+b与y=kx平行;当k≠0,b=0或k=0,b=0时,直线y=kx+b与y=kx重合.(3)直线y=2x+3和直线y=-x+3与y轴相交于同一点(0,3).直线y=kx+b与y轴交点的纵坐标就是b的值,一般能从函数y=kx+b的图象上直接看出b的数值.【总结】一次函数y=kx+b的图象经过点(0,b).当k>0时,y的值随着x值的增大而增大;当k<0时,y的值随着x值的增大而减小.[知识拓展]1.直线y=kx+b(k≠0,b≠0)与直线y=kx(k≠0)的位置关系:①直线y=kx+b平行于直线y=kx;②当b>0时,把直线y=kx向上平移b个单位长度,可得直线y=kx+b;③当b<0时,把直线y=kx向下平移|b|个单位长度,可得直线y=kx+b.2.一次函数y1=k1x+b1与y2=k2x+b2中:若k1=-k2,b1=b2,则两直线关于y轴对称;若k1=-k2,b1=-b2,则两直线关于x轴对称;若k1=k2,b1≠b2,则两直线平行.一次函数y=kx+b的图象经过点(0,b),当k>0时,y的值随着x值的增大而增大;当k<0时,y的值随着x值的增大而减小.1.函数y=3x+1的图象与x轴的交点坐标为,与y轴的交点坐标为.

解析:3x+1=0→3x=-1→x=-13;当x=0时,y=1答案:-132.在同一直角坐标系中,描绘出了下列函数:①y=-x+1;②y=x+1;③y=-x-1;④y=-2(x+1)的图象,则下列说法正确的是 ()A.过点(-1,0)的是①③B.交点在y轴上的是②④C.互相平行的是①③D.关于x轴对称的是①②解析:当k值相等,b值不等时,两直线平行.故选C.3.在同一直角坐标系中画出下列函数的图象.(1)y=2x+1;(2)y=-2x+1.解:如图所示.4.已知一次函数y=(4m+1)x-(m+1).(1)m为何值时,y随x的增大而减小?(2)m为何值时,直线与y轴的交点在x轴下方?解:(1)∵y随x的增大而减小,∴4m+1<0,解得m<-14∴当m<-14时,y随x的增大而减小(2)y=(4m+1)x-(m+1)与y轴的交点坐标为(0,-m-1),∵直线与y轴的交点在x轴下方,∴-(m+1)<0,解得m>-1.又∵4m+1≠0,∴m≠-14∴当m>-1且m≠-14时,直线与y轴的交点在x轴下方第2课时1.例2.2.做一做,议一议.一、教材作业【必做题】教材第87页习题4.4第1,2题.【选做题】教材第88页习题4.4第4题.二、课后作业【基础巩固】1.将直线y=x+4向下平移2个单位长度,得到直线的表达式为 ()A.y=x+6B.y=x+2C.y=2x+4 D.y=-2x+42.已知点(-4,y1),(2,y2)都在直线y=-12x+2上,则y1,y2的大小关系是 (A.y1>y2 B.y1=y2C.y1<y2 D.不能比较3.直线y=3x+k-3与y轴交点在x轴上方,则k的取值范围是 ()A.k≠3 B.k≠-3C.k<3 D.k>34.一次函数y=mx+n的图象经过第二、三、四象限,则下列结论正确的是 ()A.m<0,n<0 B.m<0,n>0C.m>0,n>0 D.m>0,n<05.已知一次函数y=kx-k,若y随x的增大而减小,则该函数的图象经过 ()A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限C.第二、三、四象限 D.第一、三、四象限6.函数y=23x+4的图象与x轴的交点坐标为,与y轴的交点坐标为7.在同一直角坐标系中分别作出下列一次函数的图象.(1)y=2x+6;(2)y=-x.8.作出函数y=-12x-2的图象,并求图象与x轴、y轴的交点坐标【能力提升】9.根据作函数图象的一般步骤,作出函数y=x+1的图象,并根据图象回答:(1)x为何值时,y的值为0?(2)y为何值时,x的值为0?(3)x为何值时,y>0?10.如图所示,点P(x,y)是第一象限内一个动点,且在直线y=-2x+8上,直线与x轴交于点A.(1)当点P的横坐标为3时,ΔAPO的面积为多少?(2)设ΔAPO的面积为S,用含x的式子表示S,并写出x的取值范围.【拓展探究】11.阅读下面的材料:在平面几何中,我们学过两条直线平行的定义.下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线给出它们平行的定义:设一次函数y=k1x+b1(k1≠0)的图象为直线l1,一次函数y=k2x+b2(k2≠0)的图象为直线l2,若k1=k2,且b1≠b2,我们就称直线l1与直线l2互相平行.解答下面的问题:(1)求过点P(1,4)且与直线y=-2x-1平行的直线l的函数关系式;(2)设(1)中直线l分别与y轴、x轴交于点A,B,如果直线m:y=kx+t(t>0)与直线l平行且交x轴于点C,求出ΔABC的面积S关于t的函数表达式.【答案与解析】1.B(解析:将直线y=x+4向下平移2个单位长度,则得直线y=x+2.)2.A(解析:由直线解析式可知y随x的增大而减小,故y1>y2.)3.D(解析:直线y=3x+k-3与y轴交点在x轴上方,则k-3>0,所以k>3.)4.A(解析:一次函数y=mx+n的图象经过第二、三、四象限,画出它的大致图象如图所示,由一次函数图象的性质可以判断m<0,n<0.)5.B(解析:k和-k互为相反数,若y随x的增大而减小,则k<0,所以直线y=kx-k的大致图象如图所示.故选B.)6.(-6,0)(0,4)(解析:图象与x轴的交点的纵坐标为0,当y=0时,x=-6,所以此图象与x轴的交点坐标是(-6,0);图象与y轴交点的横坐标为0,当x=0时,y=4,所以此图象与y轴的交点坐标是(0,4).)7.解析:由于一次函数的图象是一条直线,故画函数图象的时候先确定函数图象经过的两个点的坐标,然后过这两个点作直线即可.解:如图所示.8.解:图象如图所示.与x轴交点的坐标是(-4,0),与y轴交点的坐标是(0,-2).9.解析:因为一次函数图象是一条直线,所以采用两点法作图象.结合一次函数的图象及性质进行解答.解:列表:x0-1y=x+110描点、连线,如图所示.(1)当x=-1时,y=0.(2)当y=1时,x=0.(3)当x>-1时,y>0.10.解:(1)令y=0,则-2x+8=0,解得x=4,所以OA=4,因为点P(x,y)是第一象限内一个动点,且在直线y=-2x+8上,所以当x=3时,y=(-2)×3+8=2,所以SΔAPO=12×4×2=4.(2)因为点P(x,-2x+8),所以SΔAPO=12OA×(-2x+8)=12×4×(-2x+8)=-4x+16(0<11.解:(1)设直线l的关系式为y=-2x+b,因为当x=1时,y=4,所以4=-2+b,所以b=6,所以直线l的函数关系式为y=-2x+6.(2)由题意,得B(3,0),A(0,6),Ct2,0.因为t>0,所以t2>0,所以C点在x轴的正半轴上.当C点在B点左侧时,此时0<t<6,S=12×3-t2×6=9-3t2;当C点在B点右侧时,此时t>6,S=12×t一次函数的图象和性质是在正比例函数基础上的继续学习,有了上一个课时的学习经历,学生对本课时的学习在方法上有了一定的了解.因此本课时的基本思路是通过学生的类比学习、探究学习达到理解知识、掌握知识的目标.教学实践证明本课时的教学设计指导思想是正确的.本课时在引导学生分析k值的影响时做得不够到位.研究一次函数图象及其性质,除了借助图象本身去分析外,还应该注重引导学生思考k值对函数图象和性质的影响,只有深刻领会k值的影响,才能从更深层次理解一次函数图象及性质.除了教材的例题外,再增加一个练习题.这样可以帮助学生深刻领会一次函数图象之间的特殊位置关系.随堂练习(教材第87页)1.解:如图所示.2.增大(0,-3)3.提示:当y=10时,由2x+6=10得x=2,由5x-2=10,得x=125.因为2<125,所以y=2x+6的值先到达10.当y=20时,由2x+6=20,得x=7,由5x-2=20,得x=225,因为225<7,所以函数y=5x-习题4.4(教材第87页)1.解:当x=2时,y=2×2-3=1;当x=0时,y=2×0-3=-3;当x=3时,y=2×3-3=3.只有点(2,1)在y=2x-3的图象上.2.解:如图所示.3.(1)(2)(2)(3)4.解:设直线OA的表达式为y=kx,则2k=4,所以k=2,即直线OA的表达式为y=2x,将直线OA向上平移1个单位长度得到一次函数的图象,该一次函数的表达式为y=2x+1.5.提示:(1)答案不唯一,只要m<0即可,如m=-1,m=-0.5等.(2)答案不唯一,只要m<12即可,如m=0,m=-2等一次函数y=kx+b(k≠0)的性质如下表所示.函数图象性质经过象限变化规律y=kx+b(k,b为常数,且k≠0)k>0b>0第一、二、三象限y随x的增大而增大b=0第一、三象限b<0第一、三、四象限y随x的增大而减小k<0b>0第一、二、四象限b=0第二、四象限b<0第二、三、四象限4一次函数的应用1.经历分析实际问题中两个变量之间的关系,并解决有关问题的过程,发展应用意识.2.进一步体会数形结合思想,发展用数形结合思想解决问题的能力.利用一次函数图象分析、解决简单的实际问题,发展几何直观.初步体会函数与方程的联系.【重点】运用一次函数解决简单实际问题.【难点】理解函数与方程的联系.第课时了解两个条件确定一个一次函数,一个条件确定一个正比例函数.能由两个条件求出一次函数的表达式,由一个条件求出正比例函数的表达式,并解决有关实际问题.进一步培养学生的合作意识和自主探索的精神,体会在解决问题的过程中与他人合作的重要性.【重点】根据所给的信息确定一次函数的表达式.【难点】用一次函数解决有关实际问题.【教师准备】教材图4-6投影图片.【学生准备】复习一次函数图象及其性质.导入一:小红同学受《乌鸦喝水》故事的启发,利用量筒和体积相同的小球进行了如下操作.你能根据以上信息求出放入小球后量筒中水面的高度与小球个数之间的关系吗?学了本节内容后,你就能明白其中的秘密.导入二:什么叫一次函数?一次函数y=kx+b(k,b为常数,且k≠0)中,k,b对函数图象有什么影响?一次函数在现实生活中有非常重要的作用,怎样建立一次函数关系式,并用来解决实际问题呢?今天我们来学习用待定系数法确定一次函数表达式.[过渡语]一次函数的关系式y=kx+b(k≠0)中,如果知道k与b的值,函数表达式就确定了,那么由怎样的条件才能求出k和b的值,从而确定一次函数的表达式呢?一、确定一次函数的表达式出示教材图4-6及问题.某物体沿一个斜坡下滑,它的速度v(m/s)与其下滑时间t(s)的关系如图所示.(1)写出v与t之间的关系式;(2)下滑3s时物体的速度是多少?【分析】要求v与t之间的关系式,首先应观察图象,确定它是正比例函数的图象,还是一次函数图象,然后设出函数关系式,再把已知的坐标代入关系式,求出待定系数即可.二、例题讲解(教材例1)在弹性限度内,弹簧的长度y(cm)是所挂物体质量x(kg)的一次函数.某弹簧不挂物体时长14.5cm;当所挂物体的质量为3kg时,弹簧长16cm.写出y与x之间的关系式,并求当所挂物体的质量为4kg时弹簧的长度.〔解析〕因为一次函数的图象是一条直线,两点确定一条直线,所以需要两个条件,而正比例函数的图象是经过原点的一条直线,所以只需要确定另外一点坐标就可以确定这条直线的关系式.解:设y=kx+b(k≠0),根据题意,得14.5=b,①16=3k+b.②将①代入②,得k=0.5.所以在弹性限度内,y=0.5x+14.5.当x=4时,y=0.5×4+14.5=16.5.即物体的质量为4kg时,弹簧长度为16.5cm.[知识拓展]利用待定系数法确定一次函数的关系式,其步骤为:一设:根据题意,先设出函数关系式为y=kx+b(k≠0);二代:确定两对对应值或图象上两个点的坐标,分别代入函数关系式,得到关于k,b的两个方程;三解:求出k,b的值(暂时可以通过等量代换的方式去求两个未知数);四定:最后确定函数关系式.确定一次函数表达式的方法:由问题的实际意义直接确定出函数表达式的一般形式:若为正比例函数,则设其表达式为y=kx(k≠0),代入一个除原点以外的点的坐标,求出k的值,即可确定函数表达式;若为一般的一次函数,则设其表达式为y=kx+b(k≠0),代入两个点的坐标,求出k,b的值,从而确定一次函数的表达式.1.已知一次函数y=kx-4的图象经过点P(2,-1),则函数的解析式为.

答案:y=32x-2.一次函数y=x+b的图象经过点A(1,2),则函数的表达式为.

答案:y=x+13.要确定正比例函数y=kx的解析式,只需除原点外个点的坐标,而确定y=kx+b的解析式,则至少需要个点的坐标.

答案:124.如图所示,直线l是一次函数y=kx+b的图象.(1)图象经过点(0,)和点(4,);

(2)函数的解析式是;

(3)当x=10时,y=.

答案:(1)30(2)y=-34x+3(3)-4第1课时1.确定一次函数的表达式.2.例题讲解.一、教材作业【必做题】教材第90页习题4.5第1,2题.【选做题】教材第90页习题4.5第4题.二、课后作业【基础巩固】1.一根蜡烛长20厘米,点燃后每小时燃烧5厘米,燃烧剩下的长度y厘米与燃烧时间x小时的函数关系用图象表示为下图中的 ()2.一次函数y=kx+b的图象如图所示,那么k,b的值分别是 ()A.k=-12,bB.k=-2,b=1C.k=12,bD.k=2,b=13.一个正比例函数的图象经过点(2,-3),则其表达式是 ()A.y=-32xB.y=2C.y=2x D.y=-3x4.已知直线l经过点(0,3)和点(3,0),求直线l的解析式.【能力提升】5.如图所示,直线y=kx+b交坐标轴于A(-3,0),B(0,5)两点,则不等式-kx-b<0的解集为 ()A.x>-3B.x<-3C.x>3D.x<36.已知直线y=kx+b经过点(k,3)和(1,k),则k的值为 ()A.3 B.±3C.2 D.±27.已知直线y=kx+b与直线y=2x平行,且它与直线y=5x+4的交点在y轴上,则其函数表达式是 ()A.y=4x+2 B.y=2x+5C.y=2x+4 D.y=5x+28.已知一次函数y=kx+b的图象经过(0,2),(1,3)两点,若一次函数y=kx+b的图象与x轴的交点为A(a,0),则a=.

9.已知一次函数y=kx-4,当x=2时,y=-3.(1)求一次函数的解析式;(2)将该函数图象向上平移6个单位长度,求平移后的图象与x轴的交点坐标.【拓展探究】10.已知一个正比例函数和一个一次函数的图象交于点P(-2,2),且一次函数的图象与y轴相交于点Q(0,4).(1)求这两个函数的表达式;(2)在同一坐标系内分别画出这两个函数的图象;(3)求出ΔPOQ的面积.【答案与解析】1.B(解析:蜡烛剩下的长度随时间增大而缩短,根据实际意义可知选B.)2.B(解析:因为一次函数y=kx+b的图象经过y轴上纵坐标为1的点,所以b=1,即y=kx+1.又因为图象经过点12,0,所以12k+1=0,解得k=-2.所以k=-2,3.A4.解:直线l的解析式为y=-x+3.5.A6.B(解析:先将(1,k)代入y=kx+b,得b=0,再将(k,3)代入y=kx+b,可得k的值.)7.C(解析:因为直线y=kx+b与直线y=2x平行,所以k=2,又因为与y轴的交点坐标为(0,4),所以b=4,所以这条直线的函数表达式为y=2x+4.故选C.)8.-2(解析:由题意得b=2,k+b=3,解得b=2,k=1,则y=x+2,当y=0时,x=-2,即a=-2.)9.解:(1)将x=2,y=-3代人y=kx-4,得-3=2k-4,∴k=12,∴一次函数的解析式为y=12x-4.(2)将y=12x-4的图象向上平移6个单位长度得y=12x+2的图象,当y=0时,x=-4.∴平移后的图象与x10.解:(1)设正比例函数表达式为y=k1x,一次函数表达式为y=k2x+4,将(-2,2)分别代入可得2=-2k1,2=-2k2+4,解得k1=-1,k2=1,∴函数表达式分别为y=-x及y=x+4.(2)根据过点(-2,2),(0,4)可画出一次函数图象,根据过点(0,0),(-2,2)可画出正比例函数图象,画图略.(3)ΔPOQ的面积=12×2×4=4确定函数解析式看似简单,但学生在刚刚接触到这个问题的时候往往无从下手.本课时正是基于这点认识,借助引例,首先从方法上指导学生确定函数解析式,即从判断类型、确定k值(或k和b的值)两个方面确定函数解析式.本课时的例1在确定解析式的过程中,没有向学生说明为什么此时不能列出正比例函数解析式.由于学生此时尚没有学到二元一次方程组,对于确定一次函数解析式存在一定的困难,教师可以建议学生用“代换”的方式,转化为一元一次方程,以此求出一次函数解析式当中的两个未知数,进而确定一次函数的解析式.随堂练习(教材第89页)1.解:由题意设直线l的表达式为y=kx(k≠0),则3=-k,所以k=-3,所以直线l的表达式为y=-3x.点A,B在该函数的图象上.2.解:由题意把(-1,1)代入y=2x+b中,得1=-2+b,所以b=3,所以y=2x+3.点B和点C在该函数图象上,点D不在.3.(1)-18(2)-42习题4.5(教材第90页)1.解:a=2.2.提示:k=-43,b=1,所求三角形的面积为33.解:有道理,当一次函数中x增加1时,y就增加[k(x+1)+b]-(kx+b)=k.因此,当x从1变成2时,函数值从3变为5,则k=5-3=2,所以小明确定k的方法有道理.4.解:(1)设这个一次函数的关系式为v=kt+b(k≠0),由题意得25=k×0+b,5=2k+b,解得k=-10,b=25.所以v=-10t+25.(2)当v=0时,0=-10t+25,解得t=2.5.答:经过2.5s后,物体将达到最高点.已知y与x-3成正比例,且当x=4时y=3.(1)求这个函数的表达式;(2)求当x=3时y的值.〔解析〕(1)设y=k(x-3)(k≠0),将x=4,y=3代入该函数表达式来求系数k的值.(2)将x=3代入(1)中的函数表达式即可求得相应的y值.解:(1)设y=k(x-3)(k≠0),则根据题意,得3=(4-3)k,解得k=3,所以该函数的表达式是y=3(x-3),即y=3x-9.(2)当x=3时,y=3×(3-3)=0.已知正比例函数的图象经过点(-3,6).(1)求这个正比例函数的表达式;(2)若这个图象还经过点A(a,8),求点A的坐标.〔解析〕先设出表达式,求出待定系数的值,再把A点坐标代入求出a值.解:(1)设表达式为y=kx(k≠0),∵正比例函数的图象经过点(-3,6),∴6=-3k,解得k=-2,∴y=-2x.(2)把(a,8)代入y=-2x,得8=-2a,解得a=-4,故点A的坐标是(-4,8).第课时1.能通过一次函数图象获取信息,进一步训练学生的识图能力.2.能利用一次函数图象解决简单的实际问题,进一步发展学生的数学应用能力.能利用一次函数图象获取信息,进一步培养学生的数形结合意识,发展学生的数学应用能力.通过一次函数图象来解决实际问题,使学生初步认识数学与生活的密切联系及对人类历史发展的作用,从而培养学生学习数学的兴趣,使学生积极参与数学活动,进而更好地解决实际问题.【重点】一次函数图象的应用.【难点】从函数图象中正确获取信息.【教师准备】教材图4-7和图4-8投影图片.【学生准备】预习教材第91~92页内容.导入一:李老师开车从甲地到相距260千米的乙地,如果油箱剩余油量y(L)与行驶里程x(km)之间是一次函数关系,其图象如图所示,那么到达乙地时油箱剩余油量是多少?导入二:某人从家走20分钟到一个离家900米的报亭看10分钟报纸后,又用15分钟返回家里,下面图象中表示此人离家距离y(米)与所用时间x(分)之间的关系的是哪幅图?[过渡语]在前几节课中,我们分别学习了一次函数的定义,一次函数的图象及一次函数的性质,并且了解到一次函数的应用十分广泛,与我们日常生活密切相关,因此本节课我们一起来学习一次函数图象的应用.一、引例出示教材图4-7及问题.由于持续高温和连日无雨,某水库的蓄水量随着时间的增加而减少.蓄水量V(万m3)与干旱持续时间t(天)的关系如图所示,根据图象回答下列问题:(1)水库干旱前的蓄水量是多少?(2)干旱持续10天,蓄水量是多少?干旱持续23天呢?(3)蓄水量小于400万m3时,将发出严重干旱警报.干旱持续多少天后将发出严重干旱警报?(4)按照这个规律,预计干旱持续多少天水库将干涸?【分析】(1)原蓄水量就是图象与纵轴交点的纵坐标.(2)求干旱持续10天时的蓄水量,也就是求t等于10时所对应的V的值.当t=10时,V约为1000.同理可知当t为23时,V约为750.(3)当蓄水量小于400万m3时,即V小于400,所对应的t值约为40.(4)水库干涸也就是V为0,函数图象与横轴交点的横坐标即为所求.当V为0时,所对应的t的值约为60.二、例题讲解(教材例2)某种摩托车的油箱加满油后,油箱中的剩余油量y(L)与摩托车行驶路程x(km)之间的关系如图所示.根据图象回答下列问题:(1)油箱最多可储油多少升?(2)一箱汽油可供摩托车行驶多少千米?(3)摩托车每行驶100km消耗多少升汽油?(4)油箱中的剩余油量小于1L时,摩托车将自动报警,行驶多少千米后,摩托车将自动报警?〔解析〕①函数图象与x轴交点的横坐标即为摩托车行驶的最长路程,与y轴交点的纵坐标即为最多储油量.②x从0增加到100时,y从10开始减少,减少的数量即为行驶100km消耗的油量.③当y<1时,摩托车将自动报警.解:观察图象,得:(1)当x=0时,y=10.因此,油箱最多可储油10L.(2)当y=0时,x=500.因此,一箱汽油可供摩托车行驶500km.(3)x从0增加到100时,y从10减少到8,减少了2,因此摩托车每行驶100km消耗2L汽油.(4)当y=1时,x=450.因此,行驶450km后,摩托车将自动报警.[设计意图]让学生学会利用数学语言、数学符号来表示问题、解决问题.让学生用数学知识去解决现实生活中的问题,体验成功解决问题后的快乐,及数学在自然学科中的魅力,从而使学生更加喜欢数学、更乐于钻研数学.三、一次函数与一元一次方程如图所示的是某一次函数的图象,根据图象填空:(1)当y=0时,x=;

(2)这个函数的表达式是.

【师生活动】学生分组讨论,小组简单交流,师生共同归纳结论.【教师小结】一般地,当一次函数y=kx+b的函数值为0时,相应的自变量的值就是方程kx+b=0的解.从图象上看,一次函数y=kx+b的图象与x轴交点的横坐标就是方程kx+b=0的解.[设计意图]使学生明确一次函数还有其他方面的应用,提高学生的探究能力.知道一次函数与一元一次方程之间的关系,掌握知识间的密切联系.一次函数图象的应用:(1)准确读图,找到图象与x轴、y轴的交点,根据这些关键点解题.(2)在实际问题中,注意自变量的取值范围,在画图和读图时也要注意.1.如图所示.(1)当x=0时,y=;

(2)当y=0时,x=;

(3)y随x的增大而;

(4)直线对应的函数表达式为.

答案:(1)2(2)-2(3)增大(4)y=x+22.汽车由天津驶往相距120km的北京,s(km)表示汽车离天津的距离,t(h)表示汽车行驶的时间,其关系如图所示.(1)汽车经过h从天津到北京,速度是;

(2)当汽车行驶了1h时,离开天津km.

答案:(1)430km/h(2)303.小明骑自行车到学校去上学,学校离家20千米,他离家的距离s(千米)和时间t(分)的关系如图所示.根据图象回答下列问题:(1)小明到达学校需用多长时间?(2)小明10分钟骑自行车行驶的路程是多少?(3)小明骑车行驶15千米需用多长时间?(4)小明骑车的速度是多少?解:(1)由图象可知小明到达学校需用40分钟.(2)由图象知小明10分钟骑车行驶5千米.(3)由图象可知小明行驶15千米需用30分钟.