广东省新高考普通高中学科综合素养评价高三年级期末考数学试题及答案

广东省新高考普通高中学科综合素养评价

高三年级期末考

数学

本试卷共6页，22小题，满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色笔迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答

题卡上。将条形码横贴在答题卡指定位置。

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色笔迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置

上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要

求作答的答案无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试题与答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合/={%||%|<2],B={x|y=ln（a-2%）},且/PIB={x|-2<%<1},

则a=（）

A.-4B.-2C.2D.4

2.如图，在复平面内，复数zi，Z2对应的向量分别是瓦5,OB,且

复数Z3=3+f^,若复数Z3,Z4在复平面内的对应点关于虚轴对称，

则Z4=（）

A.3—iB.3+iC.-3—iD.-3+i

3.已知平面向量方,了满足方=（1,一1）,0|=1，忖+2同=鱼,则向量元与向

量2+2万的夹角为（）

n7171

A.B.-DL

642

4.如图所示，一款网红冰激凌可近似地看作是圆锥和半球的组合体,

将圆锥外的包装纸展开发现，它是一张半径为6的半圆形纸片，则

这个冰激凌的体积为（）

A.277rB.18TT+9V3TTC.36TI+9V3TTD.547r

高三数学第1页（共6页）

5.已知角a的顶点为坐标原点，始边与工轴的非负半轴重合，终边过点

P(sinl38°,cosl38°),则tan(a+18°)=()

A.V3B.—C.-V3D._2

33

6.在数列｛与｝中，的=1,a7l>0,且刀成+1-册即+1—(n+1)碎=0，则c^o的值

为()

A.18B.19C.20D.21

7.(x-2y-l)5的展开式中含/y2的项的系数为()

A.-120B.60C.-60D.30

11

8.已知函数/(%)=xsinx+cosx+若a=f(logj_e),b=/(sin)，c=f(ln3),

则a,b,c的大小关系为()

A.c>a>bB.a>c>bC.a>b>cD.b>a>c

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有

多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分.

9.潮汐现象是由于海水受日月的引力在一定的时候发生涨落的现象，一般早潮叫潮，晚

潮叫汐，在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞卸货后落潮时返回海洋，现有

一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4m,根据安全条例规定至少要有2m的安

全间隙（船底与海底的距离），已知某港口在某季节的某一天的时刻支（单位：小时）与水

深f（x）（单位：m）的关系为：/（x）=2sing%+5（0<%<24）,则下列说法中正确的有

（）

A.相邻两次潮水高度最高的时间间距为24h

B.18时潮水起落的速度为Tm/h

C.该货船在2：00至4：00期间可以进港

D.该货船在13：00至17：00期间可以进港

10.如图，已知正四棱柱/BCD-AiBiQDi的底面边长为1,侧棱

长为2,点E为侧棱CQ（含端点）上的动点，若平面a与直线4E垂

直，则下列说法正确的有（）

高三数学第2页（共6页）

A.直线BBi与平面a不可能平行

B.直线CO与平面a不可能垂直

C.△不可能为直角三角形

1

D.三棱锥当-&BE的体积是正四棱柱体积的z

11.已知/(%)是定义在R上的奇函数，/(%)的图象关于％=1对称，当％6(0,1]时,

/(%)=则下列判断正确的是()

A.fQ)的周期为2B./(2023)=-1

C.f(x+1)是偶函数D.f(x)的值域为[一1,1]

12.已知。是平面直角坐标系的原点，抛物线C:y=；久2的焦点为尸，p,Q两点在

抛物线C上，下列说法正确的是()

A.若|PE|=5,点P的坐标为(4,4)

B.直线y=x-1与C不相切

C.P到直线y=%-2的距离的最小值为座

2

D.若P,F,。三点共线，则而.丽=一3

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.某校为了了解高三年级学生的身体素质状况，在开学初举行了一场身体素质体

能测试，以便对体能不达标的学生进行有针对性的训练，促进他们体能的提升，现

从整个年级测试成绩中抽取100名学生的测试成绩，并把测试成绩分成[40,50),

[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]六组,绘制成频率分布直方图(如图

所示).其中分数在[90,100]这一组中的纵坐标为a,则该次体能测试成绩的80%分

位数约为分.

高三数学第3页(共6页)

14.从点P(2,3)射出两条光线的方程分别为：/1：4x-3y+l=0和03%-4y+6=0,

经x轴反射后都与圆Q-炉+(y-b)2=1相切，则圆的方程为一.

15.已知函数/'(%)=x-31nx在点(Lf(l))处的切线经过点(a,b),a>O,b>0,则

引辿的最小值为.

ab

16.某工厂有甲、乙、丙三条生产线同时生产同一产品，这三条生产线生产产品的

次品率分别为6%,5%,4%,假设这三条生产线产品产量的比为5：7：8,现从这

三条生产线上共任意选取100件产品，则次品数的数学期望为一.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明'证明过程或演算步骤.

17.(10分)

已知等差数列｛%｝的前n项和为无,<15=5,58=36,an=log3(bn).

(1)求｛斯｝和｛刈｝的通项公式；

(-―^—，71为奇数

(2)设数列｛7｝满足.=\anan+2,求数列｛金｝的前20项和720・

[anbn,71为偶数

12

18.(12分)

已知锐角三角形ABC内角A,B,C的对应边分别为a,b,c,且cos24一

V3sin>l+2=0.

(1)求sinB+sinC的取值范围；

(2)若a=2百，求2L4BC的面积的最大值.

高三数学第4页(共6页)

19.（12分）

如图,在三棱锥P-/BC中，底面△ABC是边长为4的正三角形,PA=PC,PB=6,

三棱锥P—ABC的体积为4百，。是/C的中点，£是「0的中点，点b在棱26上,

S,AF=3FB.

（1）求证：EF〃平面PBC；

（2）求平面P4B和平面/8C所成角的余弦值.

20.（12分）

疫情期间某大型快餐店严格遵守禁止堂食的要求，在做好自身防护的同时，为

了实现收益，也为了满足人们餐饮需求，增加打包和外卖配送服务，不仅如此，还

提供了一款新套餐，丰富产品种类，该款新套餐每份成本20元，售价30元，保质

期为两天，如果两天内无法售出，则过期作废，且两天内的销售情况互不影响，现

统计并整理连续30天的日销量（单位：百份），得到统计数据如下表：

日销量（单位：百份）12131415

天数39126

（1）记两天中销售该款新套餐的总份数为X（单位：百份），求X的分布列和数学期望；

（2）以该款新套餐两天内获得利润较大为决策依据，在每两天备餐27百份、28

百份两种方案中应选择哪种？

高三数学第5页（共6页）

21.（12分）

x2v2

已知椭圆C：^2+~2=1（«>b>0）的四个顶点围成的四边形面积为4企，

周长为4遍，一双曲线E的顶点是该椭圆的焦点，焦点是该椭圆长轴上的顶点.

（1）求椭圆C和双曲线E的标准方程；

（2）A,B,。是双曲线E上不同的三点，且B,。两点关于y轴对称，的外接

圆经过原点0.求证：直线AB与圆/+y2=1相切.

22.(12分)

已知函数f(%)=ex-ax,g(x)=ln(x+2)-a,其中e为自然对数的底数，aeR.

(1)当a>0时,函数/'(%)有极小值f(l),求a；

(2)证明:/'(%)>g(x)恒成立；

(3)证明：ln2+(ln|)2+(ln1)3+...+(In*)”<目.

高三数学第6页（共6页）

广东省新高考普通高中学科综合素养评价高三年级期末考

数学参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

题号12345678

答案CDDBDCAB

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

题号9101112

答案BCDBDBCCD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.9214.(x+3)2+(y—2)2=1⑹616.4.85

详细解答

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1【答案】C

解：A=[x||x|<2]={x|-2<x<2},集合B={x|a-2x>0}=[x|x<

因为力CB={x|-2<x<l},所以|=1,解得a=2.故选C.

2【答案】D

解：•；zi=l+2i,z2=2-i,复数Z3=3+包=3+学=3+=3+[=3+i,

>°Z22-14-r5

又Z3,Z4在复平面内的对应点关于虚轴对称，.・.Z4=-3+i,故选D.

3【答案】D

解：•・•五二(L-1),・,・@=四，=1,|a4-2h|=V2,

・♦・0+2b)2=矛+4万•b+4b=2+4元・b+4=2,>，-ab=—1,

.・.万(五+2])=22+2万石=2—2=0，，向量五与向量五+2了的夹角为]故选D.

1

4【答案】B

解：设半球的半径为R,圆锥母线长为1,由27rR=7rx6得R=3,

所以这款冰激凌的体积为：

3222

TX疑R3+gX(兀/?2)X02-R2=|7rx3+jTTX3XV6-3=187T+9V3;r.

故选B.

5【答案】D

解：因为cosl38°VO,sinl38°>0,得到点P在第四象限,即a为第四象限角，

二tana=3=侬(9。。+48。)=上婴="=tan(-48。),

sinl38°sin(900+48°)cos480cos(-48")',

所以a=—48°+"360°,keZ,

所以tan(a+18°)=tan(-48°+/c-360°+18°)=tan(-30°)=-y.故选D.

6【答案】C

解：•・・%>0,Hna^+1-册%+i-(n+1)底=0,・•・(an+1+azl)[nan+1-(n4-l)an]=0,

:.nan+1=(n4-l)an,:.=乎,

又％=1,.•・°20=侬X皿X…X也X唯X即=称乂乌乂…Xgx,x1=20.故选C.

。19。18a2191821

7【答案】A

解：v(%-2y-I)5=[(%-1)-2y)p的展开式中含,2的项为c式%_1)3(-2y)2,

(X-的展开式中含%2的项为丹•，.(-1>,

・•.(%-2y-1)5的展开式中含%2y2的项的系数为c式一2)2.C卜(一I)1=-120.故选A.

8【答案】B

解：.・'/(一%)=xsinx+cosx4-1%2=/(%),，函数/(%)为偶函数,

又r(x)=sinx+xcosx-sinx+%=%(cosx+1),当％>0时,f\x)>0,f(%)单调递增,

又函数f(%)为偶函数，・•・a=f(log1e)=/(-log2e)=/(log2e),

1i

v0<sin-<-,log2e>1,ln3>1,

l』2.1n31-(㈣罗淤=1-净2」(学)2

Mloge—ln3=——ln3=0,

2ln2in2ln2ln2

log2e>ln3>sin1>0,:./(log2e)>/(ln3)>/(sin1),即a>c>b.故选B.

2

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9【答案】BCD

解：对于A,7=空=穿=12,故A错误：

36

对于B,由题意,f'(x)=2cos—•(3)'=、cos",二f'(18)=5cosex18)=—,故B正确.

66363/3

对于C,由于该船进出港时，水深应不小于4+2=6(m),♦••当y26时，货船就可以进港，即2sin£x+526,

6

•••sin7%>7-得2+2/c7TSH<称+2/OT(keZ),BP1+12/c<x<5+12k(kGZ),

62666

又0WXW24,1WX45或134XW17,即该船一天之内在港口内待的时间段为1时到5时和13时

到17时，停留的总时间为8小时，故C正确，D正确.

故选：BCD.

10【答案】BD

解：对于A,已知a14E,若BBJ/a,则需当E与C重合时B4_L4E,

故BBJ/a可能成立，故A错误；

对于B,已知AEla,若CDJLa成立，则需AE〃CD,不合题意，故B正确，

对于C,当E为CC\的中点时，在△&BE中，&E=百，BE=近,=遮，满足勾股定理，

则△&BE为直角三角形，故C错误：

对于D,三棱锥Bi-aBE的体积为唳ifBE=VA.-B.BE=|x|x1x2x1=

正四棱柱的体积为VABSYIBICI/=2.则三棱锥4-&BE的体积是正四棱柱体积的也故D正确.

故选BD.

11【答案】BC

解：对于A,；/(x)的图象关于x=1对称，二/(一x)=f(2+x),

又函数f(x)为奇函数，•••/(-x)=-f(x),.-./(x+2)=一f(x),

•••f(x4-4)=-f(x4-2)=f(x)，:f(x+4)=f(x)，二函数/(久)的周期为4,故A错误；

对于B,••"(2023)=『(505x4+3)=/(3)=/(-1)=一八1)=一1,故B正确；

对于C,•."(X)的图象关于x=1对称，的图象关于x=0对称，.•./(x+1)是偶函数，故C正确；

对于D,当(0,1]时，/(x)=(1)1-x=3x-1e(i,l].

•・•/(x)的图象关于x=1对称，:当xG[1,2)时，/(%)e(1,1])

又函数f(x)为奇函数，则当xe[-l,0)时，/(%)£

3

当工€(—2,—1］时,/(%)G

又f(0)=0,/(2)=/(0)=/(-2)=0,

综上可得，的值域为［-l,-g)U{0}U6,l］,故D错误.

故选BC.

12【答案】CD

解：对于A,由抛物线的定义易得，点P的坐标为(4,4)或(-4,4),则A错误；

对于B,联立直线与抛物线方程消去y得久2—4X+4=0,得A=0,

所以直线y=x-l与抛物线相切，故B错误；

对于C,•.•直线y=x-l与C相切，又直线y=x—l与直线y=x—2平行，

.••两平行直线间的距离即P到直线y=x-2的最小距离，所求距离为：匕*=日，故C正确；

对于D,抛物线d=4y焦点为F(0,l),易知直线PQ的斜率存在，

设直线PQ方程为y=kx+1,不妨设P(%i，yi),(?(%2)72)*

,(y=kx+1r,

由(2_4y,得好-4kx—4=°,则/+久2=4卜，x1x2=-4,

xx2X2

OPOQ=XXX2+yi'2=l2+(%+1)(依2+1)=(1+fc)X1%2+K1+x2)+1=-4(1+k)+

4k2+1=-3,故D正确.

故选CD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13【答案】92

解：由频率分布直方图知0.035+0.020+0.014+0.004+0.002=0.075,

由10x(0.075+a)=i得。=0.025,

0.02+0.04+0.14+0.24-0.35=0.75,

设该次体能测试成绩的80%分位数约为X,则由(x-90)x0.025=0.05,

得(x-90)x25=50,x=92.故答案为：92.

14【答案】(x+3)2+(y-2)2=1

解：根据对称性，两条反射光线的方程分别为，'1：4¥+3丫+1=0和。2：3%+4)/+6=0.

z|4a+3b+l|_

IV42+321

22

依题意有I|3a+4b+6|一且圆在X轴上方,a=-3,b=2,.•.所求圆的方程为(x+3)+(y-2)=1,

(V42+321

故答案为：(x+3)2+(y-2)2=1.

4

15【答案】6

解：/⑴=i,则切点为(11)，又r(x)=i-：，切线斜率为r⑴=-2,

切线方程为y=-2x+3,又点(a,b)在切线上，2a+b=3,

则”"工4；+号+乡6,当且仅当¥=2即a=J,b=2时等号成立.

abba3ba3baba2

故答案为：6.

16【答案】4.85

解：记事件&选取的产品为次品，

记事件4：此件次品来自甲生产线，

记事件&：此件次品来自乙生产线，

记事件小：此件次品来自丙生产线，

由题意可得知1忌=0.25,仅儿忌=035,&43)哮=04汽8|41)=0.06,^A^O.OS,/5|甸=0.04,

由全概率公式可得

人切=/AI>/5|4D+/V12),汽8|42)+/V13>/8|43)=0-25X0Q6+0.35X0Q5+0.4X0Q4=0.0485,

从这三条生产线中任意选取1件产品为次品的概率为0.0485,任意选取100件产品，

设次品数为X,则木5(100,0.0485),即£!A)=1OOXOQ485=4.85.

故答案为:4.85.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17解：(1)设等差数列｛an｝的公差为d,•••等差数列｛的｝的前n项和为S”,a5=5,S8=36,

+4d=5

**•],8x7,2,解得@1=1,d=1,...................................................................................2分

(8Q0i4--y-a=36

Aan=14-(n—1)x1=n,.....................................................................................................................3分

rl

van=log3An=log3(hn),・・・bn=3....................................................................................4分

giii/ii、

(2)v-------=--------=-(----------)f

anan+2n(n+2)2n+2'

/I11\、

：•720=I-------1-----------------------I+(a2bl+Q4b2+…+a20^10)z

\。1的a3a5%9a2〃

=1(：_§+GV)+…+偌_£)]+QX3+4x32+...+20x310),.................................6分

吗[(鸿)+GV)+・,•+(卷—J)1=K1_£).................................................................7分

令R=2X3+4X32+...+20X31°①，

则3R=2x32+4x33+…+20x3n@,

1011

①-②得：-2R=2x3+2(32+33+...+3)-20x3

=2x立巧-20x311=—3+311—20x311=-3-19x30

1-3

5

3+19x3“八八

・n•・R=---，....................................................................................................................9分

_103+19X311

T10分

，2。=元+—2—.

18解：(1)vcos2A—V3sin力+2=0又cos2A=1—2sin2i4.

2s\n2A+V3sin4-3=0,即(2sinA-V3)(sinA+V5)=0,

解得sin4=一百(舍去)或sin4=苧，.........................................3分

••,A为锐角，A=^,.....................................................................................................................4分

•••△ABC为锐角三角形，/.0<B<j,0<C<p

=：《<B<三............................................................................................................5分

362

sinB+sinC=sinB+sin(g-8)=sinB+ycosB+1sinB=y/3(sinBx-+cosBx0=V3sin(B+，

..................................................7分

•、<B+‘<g,sin(B+§e俘,1],sinB+sinC的取值范围为g网............8分

(2)在中，由余弦定理可得小=b24-c2-2bcXcosA,即12=川+—be,............................9分

.%12+be=62+c2>2bc(当且仅当b=c时取等号)，・•・be<12,.............................................10分

△力BC的面积为^besinA12x苧=3b，……11分

A=^,故当△ABC为等边三角时，有最大面积为3技......................12分

19(1)证明：设棱PC的中点为。,连接ED,

•••。是4C的中点，OC=^AC=2,

在中，DE//OC,且£)E=；OC=1,.....................................1分PK

在员7上取一点G,满足CG=3GB,连接FG,DG,

在中，由吴=空=3,・・.FG〃4C,FG=\AC=1,

GBFB4

•­.DE//FG,DE=FG,xA'、弋\/C

•••四边形。EFG为平行四边形，二EF〃DG.............................3分

又DGu平面PBC,EFC平面PBC,4

•••E"/平面PBC...............................................................................5分

(2)解：依题意，。是AC的中点，AB=BC,PA-PC,连接BO,则有POJLAC,BOA.AC,

又POCOB=0,PO,08<=平面「08,二4。1平面尸。5,

又ZCfc平面力8C,.•.平面ABC1平面尸。8,且平面ABCC平面尸。8=OB,

过尸作0B的垂线，垂足为Q,则PQ_L平面Z3C,

6

•••Vp_ABC=5szMBCXPQ=5x苧x42xPQ=4®•・.PQ=3,.........................................6分

在RtZkPQB中，PB=6,PQ=3,BQ=373,

•••△48。是边长为4的正三角形，.・.80=2W，；.0<2=火，......................7分

以。为原点,为x轴，为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则4(2,0,0),5(0,273,0),P(0,-V3,3),PA=(2,V3,-3),PB=(0,373,-3),......................8分

设平面P48的法向量为元=(x,y,z),

则(交了=2x：^y-3z=°,但=百，则y=l,X=V3.n=(V3,1,V3),..................9分

{PB-n=3何-3z=0

又面/8C的一个法向量为沅=(0,0,1),...........................................................................10分

•••cos<m,n>=普口=T;—今，..........................................11分

|m|-|n|1V3+1+37

•••平面P4B和平面力员7所成角的余弦值年..........................................12分

20解：(1)根据题意可得：X的所有可能取值为24,25,26,27,28,29,301......................1分

P(X=24)=»如壶,

P(X=25)=^x-x2=-

1050

P(X=26)=±X|X2+^XA=^

P(X=27)=-X-X2+AX_X2=";

7i227

P(X=28)=—x-x2+-x-=—,

、71055525

p(X=29)=-XiX2=—,

、75525

P(X=30)=""=》............................................................4分

•••X的分布列为：

X24252627282930

13177741

P

Too50Too25252525

...........................................................................................................................................................5分

E(X)=24x々+25x,+26x1+27x三+28x《+29x三+30x3=27.4..................7分

kJ1005010025252525

(2)当每两天生产配送27百份时，利润为：

131713

(\24x10-3x207)xin—n+v(25X10-2X20)X+\(26X10-1x20)xin—n+27x10x、(1-innsn-

喘）=260.4（百兀）,9分

7

当每两天生产配送28百份时，利润为：

(24x10-4x20)x熹1+(25x103-3x20)x2+(26x10-2x20)x£17+(27x10-1x20)x

卷+28x10x1|=254.8(百元)，........................................................11分

•••260.4>254.8,.♦.选择每天生产配送27百份..........................................12分

21（1）解：根据题意得"牛：4?又a>b>0,解得。2=4,b2=2,..............1分

（4Va2+bz=4A/6

.•“2=。2—/=2,所以椭圆C的方程为。+4=1,.........................................2分

42

椭圆C的焦点坐标为（±V2,0）,长轴上两个顶点坐标为（士2,0）,

依题意，设双曲线E:5—5=l（7n>0,n>0）,

----7，解得m=n=V2,.........................................3分

vm24-n2=2

所以双曲线E的方程是1-9=1,即炉一丫2=2....................................4分

（2）证明：易知直线4B一定不为水平直线，设为％=my+7b设A（%i，yD，8（左2，丫2），。（一％2，%），

联立｛:_总-整理得（血2-l）y2+2mny+n2-2=0,......................5分

W'Jyi+yz=->乃、2=W'.........................................6分

由于外接圆过原点且关于y轴对称，设为x2+y2+Ey=0,......................7分

将4