正弦信号的基本概念

关于正弦信号的基本概念第1页，讲稿共18页，2023年5月2日，星期三4.1正弦信号的基本概念4.1.1正弦信号的三要素正弦信号的大小与方向都是随时间作周期性变化的，信号在任一时刻的值，称为瞬时值。在指定的参考方向下，正弦电流、电压的瞬时值可表示为

i(t)=Imsin(ωt+θi)(4―1)u(t)=Umsin(ωt+θu)(4―2)

现以i(t)为例，说明正弦信号的三要素。第2页，讲稿共18页，2023年5月2日，星期三

式(4―1)中，Im是正弦信号在整个变化过程中可能达到的最大幅值，称为振幅或最大值。(ωt+θi)是正弦信号的相位，t=0时的相位θi称为初相位，简称初相，单位是弧度(rad)或度(°)。通常规定初相在|θi|≤π范围内取值。一个正弦信号，若与时间轴原点间隔最近的正向(信号值由负到正)过零点位于原点左侧时，θi＞0；否则，θi≤0。ω=d(ωt+θi)/dt称为角速度或角频率，单位是弧度/秒(rad/s),它表示正弦信号变化的快慢程度。第3页，讲稿共18页，2023年5月2日，星期三

式(4―1)表明，若知道了正弦信号的振幅、角频率和初相，就能完全确定它随时间变化的全过程，所以常称振幅、角频率和初相为正弦信号的三要素。由于正弦信号变化一周，其相位变化2π弧度，因此，角频率ω也可表示为(4―3)第4页，讲稿共18页，2023年5月2日，星期三

式中T为正弦信号的周期，单位是秒(s)。f为频率，单位是赫兹(Hz)。当频率很高时，常用千赫兹(kHz)或兆赫兹(MHz)作单位，其转换关系是

1MHz=103kHz=106Hz

正弦电流i(t)的波形图如图4.1所示。图4.1(a)中横坐标变量是时间t;图4.1(b)中横坐标变量是ωt。第5页，讲稿共18页，2023年5月2日，星期三图4.1正弦电流的波形第6页，讲稿共18页，2023年5月2日，星期三4.1.2相位差正弦信号经过微分、积分运算或几个同频率正弦信号相加、相减运算后的结果仍是同频率的正弦信号。因而在相同频率的正弦信号激励下，线性非时变电路的稳态响应都是同频率的正弦信号。两个同频率正弦信号在任一时刻的相位之差称为相位差。假设同频率的正弦电流和电压为

i(t)=Imsin(ωt+θi)u(t)=Umsin(ωt+θu)第7页，讲稿共18页，2023年5月2日，星期三

则其相位差

θ=(ωt+θi)-(ωt+θu)=θi-θu

如果θ=θi-θu＞0，如图4.2(a)所示，则表示随着t的增加，电流i要比电压u先到达最大值或最小值。这种关系称i超前于u或u滞后于i,其超前或滞后的角度都是θ；如果θ＜0,如图4.2(b)所示，则结论恰好与上面情况相反。第8页，讲稿共18页，2023年5月2日，星期三

图4.2相位差第9页，讲稿共18页，2023年5月2日，星期三

如果θ＜0,如图4.2(b)所示，则结论恰好与上面情况相反。如果θ=0，则称i与u同相。如图4.2(c)所示，表示i与u同时达到最小值、零值与最大值。如果θ=±π，则称i与u反相。此时，如图4.1(d)所示，当i达到最大值时，u却为最小值，反之亦然。第10页，讲稿共18页，2023年5月2日，星期三

例1已知正弦电流i1、i2和正弦电压u3分别为

i1(t)=5sin(ωt+30°)Ai2(t)=-10sin(ωt+45°)AU3(t)=15cos(ωt+60°)V

试比较i1与i2、i1与u3间的相位关系。第11页，讲稿共18页，2023年5月2日，星期三

解比较两个正弦信号的相位关系时，除要求它们的频率或角频率相同外，还应注意信号的函数类型为正弦函数，以及瞬时表达式前面负号对相位的影响。由于

i2(t)=-10sin(ωt+45°)=10sin(ωt-135°)u3(t)=15cos(ωt+60°)=15sin(ωt+150°)

所以，i1与i2间的相位差为

θ12=30°-(-135°)=165°i1与u3间的相位差为

θ13=30°-150°=-120第12页，讲稿共18页，2023年5月2日，星期三4.1.3有效值为了直观地比较正弦信号的大小，研究它们在电路中的平均效果，我们引入有效值的概念。先定义一般周期信号的有效值。设有两个相同的电阻，分别通以周期电流和直流电流。如果在一周期内，两个电阻消耗的能量相同，就称该直流电流值为周期电流的有效值。当周期电流i通过电阻R时，一周期内电阻消耗的电能为第13页，讲稿共18页，2023年5月2日，星期三

式中T为周期信号的周期。当直流电流I通过电阻R时，在相同时间T内，电阻消耗的电能为

WI=RI2T

然后，令Wi=WI,则有

于是，周期电流i的有效值为(4―4)第14页，讲稿共18页，2023年5月2日，星期三

因为正弦电流是周期电流，所以可直接应用式(4―4)求出它的有效值。设正弦电流

i(t)=Imsin(ωt+θi)

将它代入式(4―4),得(4―5)第15页，讲稿共18页，2023年5月2日，星期三

同样地，可求得正弦电压u=Umsin(ωt+θu)的有效值为

在电工技术中，通常用有效值表示交流电的大小。例如交流电压220V、交流电流50A，其电流电压值都是有效值。各种交流电气设备铭牌上标出的额定值及交流仪表的指示值也都是有效值。第16页，讲稿共18页，2023年5月2日，星期三

例2已知正弦电压源的频率为50Hz，初相为π6