第三章 群表示理论基础

第三章群表示理论基础第一节分子对称性一、对称元素与对称操作

1、对称操作：每一次操作都能够产生一个与原来图形等价的

图形。也就是，当一个操作作用于一个分子上，所产生的新分子几何图形和作用前的图形如不借助于标号是无法区分的。2.对称元素：对分子几何图形施行对称操作时，所依赖的几何要素（点、线、面及其组合）称为对称元素。五种对称元素及相应的对称操作：1)恒等元素（E）——恒等操作（E）（操作后，分子保持完全不动）2)对称轴（Cn）——旋转操作（Cn，Cn2，Cn3…..Cnn-1，Cnn=E）3)对称面（σ）——反映操作（σ,σ2=E）

*包含主轴的对称面—σv；垂直于主轴的对称面—σh；

*包含主轴且平分垂直于主轴的两个C2轴之间夹角—σd.4)对称中心（i）——反演操作（i,i2=E）5)象转轴（非真轴）（Sn）——旋转反映操作（Sn，Sn2，Sn3，…Snn）S1=σhS2=C2σh=i；

Snk=(Cnσh)k=CnkσhkSnk=Cnk(k为偶数)，Snk=Cnkσh(k为奇数)Snn=E（n为偶数），Snn=σh(n为奇数)3、对称操作的乘积

例：对分子先后施行B和A操作,结果相当于对分子单纯施行C操作，则称C是A与B的乘积.记为AB=C。

若AB=BA，则称对称操作A与B是可交换的.如果一个操作产生的结果和两个或多个其他操作连续作用的结果相同，则称这一操作为其他操作的乘积。二、群的基本知识1、群的定义：一个集合G含有A、B、C、…元素，在这些元素之间定义一种运算(通常称为“乘法”)。若满足如下四个条件，则称集合G为群：1）封闭性:若A、B为G中任意两个元素，且AB=C，A2=D，则C、D仍为G中元素。2）缔合性：G中各元素之间的运算满足结合律：(AB)C=A(BC)3）有单位元素E，使任一元素A满足：AE=EA=A4）G中任意一元素A均有其逆元素A-1，A-1亦属于G中。AA-1=A-1A=E

*群中元素的数目称为群的阶（h）。例：A、整数集合：{…-3,-2,-1,0,1,2,3…}对“代数加法”构成一个群。B、CH2Cl2分子（C2v群）的对称操作的集合{E，C2，σv，σv´}对“对称操作的乘积”构成一个群。封闭性：EC2=C2,Eσv=σv，Eσv´=σv´,C2σv=σv´，C2σv´=σv,σvσv´=C2缔合性：(C2σv)σv´=σv´σv´=EC2(σvσv´)=C2C2=E单位元素：E逆元素：C2C2=E,σvσv=E,σv´σv´=E；C2-1=C2,σv-1=σv,σv´-1=σv´2、共轭元素和群的类*逆元素为自身。若X和A是群G中的两个元素，且B=X-1AX，则B仍为G中的元素（上式称为：B是A借助于X所得的相似交换），则称A和B为共轭元素。类：群中相互共轭的元素的完整集合称为群的类。

三、分子对称操作群（分子点群）1、可以证明：对于任意分子完全而不重复的对称操作集合构成一个群，称为分子对称操作群(分子点群)。2、分子点群的确立（见结构化学）例1：C2V群（CH2Cl2）{E，C2，σv，σv´}

求与C2共轭的元素：E-1C2E=C2，C2-1C2C2=C2，σv-1C2σv=C2，

σv´-1C2σv´=C2

可见C2自成一类。同理可证：E，σv，σv´亦各自成一类。因此C2V群共有四类，每个元素自成一类。第二挎节客分斑子对赵称操承作的苗矩阵榆表示一、察矩阵咽的基直本知始识：1、定付义：厘一些污数字四的矩索形排蹲列。如：a11a12…箩a1na21a22…绘a2n(m行×n列)…鸣…弃…拔…am1am2…amn方阵：若懂行数=列数(m移=咱n耍),称为砌方阵勒。方阵镇的迹：χ=Σaii(方阵记的对甲角元劳素之乡丰和)单位裙矩阵（与群刊的单泼位元逢素对侨照）：集对角匹元素aii=恐1，其息他元足素均悼为0的方谷阵（E）。2、矩窗阵的升乘法1）若A的列遣数等盘于B的行孤数，子则二搬者可酬以相艇乘。A(欢n×虽h)和B(肤h×民m)勤=C(镇nm)乘法淘服从石结合老律：(A雪B)明C=浓A(捷BC畏);一般吹不服酷从交苍换律艇：AB≠BA袭.例1：0绵1陈2蜡0睛2仪10勾1报0侮1尝1吧=桨1貌10鸦1萌1饼0凤1戴1屿23×3顾3×23×2例2：不痕服从随交换削律1烦2饱1段1锣3残3=1桑1勿1驰1粱2浓21梢1溜1歼2处2航3=1盖1定1辰1胆2己3例3：与义只有基一列驳的矩室阵相午乘1坡0跟1尽1盗40催1尼0楼2桌=趴20窜1荐1铃3虚51粒1猎0编12吗0序1然0无法厘运算幻玉！！袄！3折0警1火1例4：求已方阵材的迹1俱0影64梁2亩2的迹=跪(1宪+2膊+3线)=倾63悼5爷32)逆矩满阵(与群证中逆嗽元素闪概念油对照)若AA-1=做A-1A播=府E（单遮位矩蜜阵）监，则A-1为A的逆掏矩阵贼。只有宅方阵锡才有塑逆矩额阵；若|A督|叠=凉0,则A为奇异童矩阵，其滥逆矩夕阵无辫法确取定；若|A奶|巡寿≠赞0，则A为非奇让异矩拐阵，具椅有唯肾一的夹逆矩蜜阵。3）共轭剧矩阵(与群流中共锈轭元槐素概凤念对树照)娱A、B、X为三们个矩涌阵，垃若A靠=宪X-1BX，则贸称A与B为共我轭矩程阵。*共轭亿矩阵近具有搞相等勇的迹收。首先汉要证产明，丈若AB骂=C，BA固=D，则C和D的特桂征标畜相等餐。再证粮明：终若A=毕X-1BX，则A和B具有依相等亏的迹皆。A的χ=X-1BX的χ=(俭X-1B)敢X的χ=X熄(X-1B)的χ=(恐XX-1)B的χ=B的χ4）矩工阵乘爬法的须一种掀特例当处浸理的蚂矩阵每，所币有非寄零元巧素都陪在沿挠对角肤线的可方块督中，初这时征矩阵捉乘法搞情况轻特殊绩，例钳：0吐030税010右031武004绪10萍4币1致01钩2社0钻2薄3攻0=扩8奋7淹0*积矩边阵按讯照乘挎因子轧矩阵嗽完全舱相同木的形港式划证分为咽方块据。*积矩塞阵中谊给定跨方块版的元椅素只矮由乘城因子屯中对移应方菠块的陶元素曲所决亲定。二、纹对称勺操作轨的矩设阵表筹示例：优对称典操作爽对任胸意点逼位置珍坐标保（x，y，z）的酱作用1、恒果等操矮作：益单位踪蝶矩阵1涨0净0衡x事x0付1洲0认y鞠=贼y0仁0筐1苹z忧z2、所反映σ(x们y):1绳0浙0因x护x0竞1痕0敞y劳=潮y0醋0阶-1隶z牢-zσ(x构z):σ(y及z):-1果0坛0包x斑-x0弦1坡0会y础=福y0谊0马1扁z翼z1疼0蛾0度x休x0蠢-1避0挑y悟=扇-桑y0羞0验1恰z肌z3、反芬演：世负单削位矩冰阵-1朝0加0接x馅-x0荡-削1聋0税y珠=悔-y0书0环-1适z申-背z4、真烂转动骑：若迹定义z轴为找转动湖轴，许矩阵鹿的一朗部分蹈应为终：?锹?厘0床x获??苹?玩0范y尽=透?0股0油1迟z生z利用臣三角从函数诞：x1=rc始osαy1=rs贷inαx2=rc丸os言(α+θ)=rc恒osαco湿sθ个-r橡si抖nαsi做nθ=x1co发sθ毛-y1si诱nθ月y2=rs扒in报(α+θ)=rs防inαco饮sθ侧+r殊co猪sαsi间nθ=x1si咬nθ臣+y1co骂sθ即x2=叠x1co锤sθ椅-尿y1si返nθ掩y2=掀x1si凯nθ洽+嗓y1co紧sθ写成我矩阵陷形式co流sθ-si惕nθx1米x2=si