机械振动第十一讲

振动系统固有频率近似计算方法一、瑞利法对于无阻尼线性系统，振动方程为：上式两边同乘以{X}iT于是可得：式中i=1,2,…,n仿照上式，对第i阶振型取近似，称比值

瑞利法是利用假设振型来估计系统振动频率的方法，主要估计系统的第一阶频率(基频)。为离散系统的瑞利商i=1,2,…,n振动系统固有频率近似计算方法振动系统固有频率近似计算方法对于离散振动系统，第i阶简谐主振动相应的弹性势能最大值为：相应的动能参考最大值为：称为系统的第i阶模态动能因子于是瑞利商为系统的第i阶模态势能与第i阶模态动能因子之比。称为系统的第i阶模态势能如果我们能够精确给出系统的第i阶振型{X}i

，利用瑞利商就可以精确计算系统的第i阶固有频率pi2。否则，瑞利商只是第i阶频率的近似值。另外可知，瑞利商只依赖于假设振型各分量之比。振动系统固有频率近似计算方法假设系统的所有振型Xr已经按模态质量为1归一化，任取一N维矢量X，根据展开定律如果λ1≠0，于是可得：式中i=1,2,…,n由于λ1≤λ2≤…≤λN，分子的每一项都大于或等于分母的对应项，因此可知：其中：代入瑞利商表达式：振动系统固有频率近似计算方法同理，如果λN≠0，于是可得：同样由于λ1≤λ2≤…≤λN，分子的每一项都小于或等于分母的对应项，因此可知：如果选取X，使得：则可知：

瑞利商是基频的上限，但不会超过最高阶频率。由于系统的第一阶振型易于估计，通常用瑞利商近似计算基频。可以证明，瑞利商在系统的各阶固有频率处取驻值。如果已知系统的柔度矩阵[R]，则可以得到另外一种形式的瑞利商表达式：由振动特征方程：[证明]由振动特征方程式有：振动系统固有频率近似计算方法对任一N维矢量X，其瑞利商：于是得到特征值的另一种表达形式仿照上式可得瑞利商的另一种表达形式。已经证明，对任意的矢量X，有即用柔度阵的瑞利商式得到的基频估计值更接近精确值。等式两边同乘柔度矩阵[R]两边同时前乘{X}iT[m]，可得[例]图示三自由度系统，用两种瑞利商求系统基频的估计值kkkmmx1x2mx3振动系统固有频率近似计算方法解：系统的质量阵和刚度阵、柔度阵分别为取系统各质量上同时作用单位力时的静变形作为假设振型代入瑞利商式得到系统基频精确值为显然存在求得振动系统固有频率近似计算方法作业:5.19二、Ritz法瑞利(Rayleigh)法把振动系统的运动限制为按一个设定的近似固有振型作同步振动,所求频率的精度取决于近似振型的精度,对其固有振型没有得到什么信息.Ritz法的约束条件更宽松,用几个接近于最低阶(或少数几阶)固有振型作为Ritz基底求解.取几个近似固有振型向量φn(n=1,2,…,k<N)作为Ritz基底,则系统的固有振型可以表示为这些线性独立向量的组合为:将上式作为代入多自由度系统的方程，类似进行坐标变换,则可以得到降维子空间中的运动微分方程组.振动系统固有频率近似计算方法相应享的广尚义特铲征值睬问题内成为:这样肃特征姑值问救题的夜阶次从N缩聚吴为k,计算者难度淘可以陈大大粘降低.上式替可以龟解出k个特战征值ωn和特钞征向授量,根据郑变换鸦关系奖有由此验给出辣的系斤统的k个近少似固润有振停型其俊近似五程度俗要比坟原选叹定的Ri有tz基要像好.特别笼是前若过干个邀低阶张固有昨频率和固有剂振型眉有较般高的裁精度.[例]图示国三自权由度跳系统表，用Ri依tz法计丛算其控前两滥阶固漠有频腊率和度振型kkkmmx1x2mx3振动呀系统艰固有施频率慌近似攻计算带方法解：木系统扣的质将量阵峡和刚巧度阵冶分别杨为以静变界形作麻为第村一阶余固有府振型的近尘似是间比较代好的,故取系统颂的第二内阶固搞有振渣型应牛有一市个节迅点,不妨仔试凑横振型还为:因此提缩聚妻变换慨矩阵浆为:代入Ri别tz法的授缩聚渐方程,得到宏缩聚始的广岩义特浮征值塑问题振动高系统数固有夫频率搜近似阵计算及方法解出先得到:回代变换全矩阵,得到近似足固有角振型本例聋精确抵的固抛有频拌率和恨振型兔分别弟为相比痕之下,R亿it薯z法得航到了失很精精确的龄基频,第二炭阶固引有频焦率也贪仅相酬差4%乞.一般勿来讲,R植it督z法能一踪蝶次获殖得多土阶固圆有