李亚普诺夫稳定性

第4章李亚普诺夫稳定性分析4.1引言

4.2李亚普诺夫稳定性的基本概念

4.3李亚普诺夫稳定性定理4.4线性定常系统李亚普诺夫稳定性分析4.5线性时变系统李亚普诺夫函数的求法4.6非线性系统李亚普诺夫稳定性分析

4.7李亚普诺夫直接法应用举例4.1引言

稳定性和能控性、能观测性一样,均是系统的结构性质。稳定性是自动控制系统能否正常工作的先决条件,因此判别系统的稳定性及如何改善其稳定性是系统分析和综合的首要问题。一个动态系统的稳定性,通常指系统的平衡状态是否稳定。简单地说,稳定性是指系统在扰动消失后,由初始偏差状态恢复到原平衡状态的性能,其是系统的一个自身动态属性。

1892年，俄国学者李亚普诺夫在他的博士论文“运动稳定性的一般问题”中借助平衡状态稳定与否的特征对系统或系统运动稳定性给出了严格定义,提出了解决稳定性问题的一般理论,即李亚普诺夫稳定性理论。该理论基于系统的状态空间描述法,是对单变量、多变量、线性、非线性、定常、时变系统稳定性分析皆适用的通用方法,是现代稳定性理论的重要基础和现代控制理论的重要组成部分。

基于输入-输出描述法描述的是系统的外部特性,因此,经典控制理论中的稳定性一般指输出(外部)稳定性;状态空间描述法不仅描述了系统的外部特性,且全面揭示了系统的内部特性,因此,借助平衡状态稳定与否的特征所研究的系统稳定性指状态(内部)稳定性。

李亚普诺夫将判断系统稳定性的问题归纳为两种方法,即李亚普诺夫第一法和李亚普诺夫第二法。

李亚普诺夫第一法(简称李氏第一法或间接法)是通过解系统的微分方程式，然后根据解的性质来判断系统的稳定性，其基本思路和分析方法与经典控制理论一致。对线性定常系统,只需解出全部特征根即可判断稳定性;对非线性系统,则采用微偏线性化的方法处理,即通过分析非线性微分方程的一次线性近似方程来判断稳定性,故只能判断在平衡状态附近很小范围的稳定性。

李亚普诺夫第二法（简称李氏第二法或直接法）的特点是不必求解系统的微分方程式，就可以对系统的稳定性进行分析判断。该方法建立在能量观点的基础上：若系统的某个平衡状态是渐近稳定的，则随着系统的运动,其储存的能量将随时间增长而不断衰减,直至时系统运动趋于平衡状态而能量趋于极小值。由此，李亚普诺夫创立了一个可模拟系统能量的“广义能量”

函数，根据这个标量函数的性质来判断系统的稳定性。由于该方法不必求解系统的微分方程就能直接判断其稳定性，故又称为直接法,其最大优点在于对任何复杂系统都适用,而对于运动方程求解困难的高阶系统、非线性系统以及时变系统的稳定性分析,则更能显示出优越性。

4.2李亚普诺夫稳定性的基本概念

4.2.1平衡状态

稳定性是系统在平衡状态下受到扰动后，系统自由运动的性质，与外部输入无关。对于系统自由运动，令输入u=0，系统的齐次状态方程为

（4-1）

式中,x为n维状态向量，且显含时间变量t；

为线性或非线性，定常或时变的n维向量函数，其展开式为

(4-2)

式(4-1)的解为

(4-3)

式中,为初始时刻,为状态向量的初始值

式(4-3)描述了系统式（4-1）在n维状态空间的状态轨线。若在式（4-1）所描述的系统中，存在状态点，当系统运动到达该点时，系统状态各分量维持平衡，不再随时间变化，即，该类状态点即为系统的平衡状态,即

若系统式（4-1）存在状态向量,对所有时间t,都使

(4-4)成立,则称

为系统的平衡状态。由平衡状态在状态空间中所确定的点，称为平衡点。

式(4-4)为确定式（4-1）所描述系统平衡状态的方程。

【例4-1】设系统的状态方程为,求其平衡状态。解

其平衡状态应满足平衡方程式(4-4)，即

,即,

解之,得系统存在3个孤立的平衡状态

4.岁2.池2拥范数n维状想态空拍间中图，向屯量x的长针度(即x到坐宾标原节点的胶距离)称为挨向量x的范模数，康并用族表庭示，贱即(4勾-6圈)而向灰量查的泪长度(即x到悉的距稿离)称为宋的齐范数,并用叶表哭示，牢即(4批-7训)在n维状扭态空蔽间中,若用贝点集挤表示歪以躲为中心布、亡为半海径的酬超球消域,那么,马,则表赢示(4杂-8赢)4.脆2.净3约李霜亚普渡诺夫修稳定密性定后义1．婆李亚木普诺陆夫意滋义下皂稳定设问为动帽力学代系统锁式(4尖-1拆)的平劲衡状往态,若对争任意榜实数,都对昂应存笼在另迫一实习数,使当(4趁-1牧1)时,系统涂式（4-近1）从议任意附初始惊状态讯出发才的解香都满奏足(4伞-1寇2)则称悉平衡袄状态恒为汤李亚唐普诺店夫意夏义下蒸稳定,其中,与厨和我有妻关;若孙与瓶无关,则称裁这种荣平衡鹿状态坛是级一致舰稳定集的。对定怪常系小统而盛言,与线无优关,轧稳定怒的平废衡状类态一兽定为麻一致斗稳定舰。在二画维状械态空糠间中,李亚魄普诺招夫意易义下食稳定久的几缸何解撇释如采图4-翼1所示屋。图4-脸1李亚熄普诺赴夫意膀义下比稳定2．小渐近御稳定棒（经肆典控侍制理膨论稳李定性肺定义）设慢为动罪力学偿系统甚式(4幅-1掉)的平地衡状李态,若对奴任意拨实数,对应洞存在常另一刃实数命，使北当时，埋从任倘意初象始状港态妻出发伤的解顿都满候足且对骨于任鹅意小恢量王总有(4运-1务3)则称淘平衡馆状态秀是扑渐近神稳定拐的。建若镜与稳无关,则称君这种愉平衡孝状态桨是勒一致声渐近鸣稳定器的。渐近皮稳定绞的几寺何意偏义可治理解验为,如果圆平衡款状态探为毛李亚脾普诺趴夫意毅义稳猾定，庙且从钓球域昌内发邮出的板状态淋轨迹冠（即孔式(4佩-1填)的解舞），饱当左时，暖不仅灵不超血出球滤域齐之鲜外，肃而且袖最终档收敛茄于秧，困则平茄衡状聪态未为渐怨近稳胸定。撇在二窜维状惠态空许间中,渐近缓稳定千的几庄何解达释如胀图4-舒2所示听。图4-阁2渐近蓬稳定3．丙大范朴围渐闭近稳只定性若初声始条府件扩愚展至纱整个睬状态邻空间,即,且平却衡状伐态漠均具灵有渐报近稳尽定性倍时,则称穿此平牲衡状巡寿态朱是大思范围为内渐轻近稳战定的狗。4．廊不稳选定性设酸为动福力学气系统戴式(4熊-1红)的平笔衡状划态,若对时某个周实数雄和项另一恢实数丢，爱当迁时，绣总存珠在一孕个初佛始状研态,使(4耀-1饭4)则称麦平衡旦状态勒是金不稳愿定的倚。不稳炮定的期几何炮意义翼可理泄解为无，对卧于某熄个给这定的秃球域采，无轧论球户域扭取项得多准么小宏，内辟部总负存在取一个评初始炮状态来，滚使得寒从这持一状穷态出挥发的捷轨迹瞎最终乱会超寇出球采域姨。在饱二维富状态没空间摄中,不稳鸭定的炊几何夫解释饱如图4-参3所示循。图4-廊3不稳衬定4．汪3狸李燃亚普昨诺夫枪稳定森性定育理4.拜3.封1侧二次闻型函槐数及锐其定任号性1.妻二霜次型虹函数窜及二筋次型艰的矩金阵表碧达二次铜型函燃数是步一类坑特殊社的标筑量函两数，浆其可眠表示嫁为（4-材15）式中户，P为二筛次型斑各项异的系乔数构母成的带实对蔬称矩坦阵，训称为造二次舞型式陵（4界-1画5）拉的权馋矩阵赖，即(4详-1征6)式中,为实沉数,且银。式（野4-喘15蒸）表极明，披二次得型函砌数绢和狗其权查矩阵P一一阳对应殊，可强将二定次型嘱函数逗的定吃号性目扩展断到其搅对应别权矩键阵的储定号倾性。若二羞次型杂函数宴的权州矩阵P为n阶实颜对角柄矩阵成，则惭对应呜的二安次型幕只含墙平方宝项，贯称为洒二次凉型的析标准俗型，宫即（4-勾17）2．咱标量全函数赵的趁符号犬和性文质设V(x)为由n维状况态向考量x所定糠义的议标量皮函数策，，且饺在请处笑，恒牛有V(x)=雪0。对所牢有在矩域分中的柏任何趟非零裂向量x，如果(1碰)V(x)>垒0，则称V(x)为正贩定的终。(2醒)，则宫称V(x)为半弓正定烛的。（3）堵，绪即惜为正镇定的,则称V(x)为负咐定的望。（4）里，即矛为半吊正定侧的,则称V(x)为半筒负定右的。（5）验既可描为正谢值也摸可为矿负值,则称搜为不舞定的燥。在式馆（4-贪15）中拣，若V(x)正定,则称禾权矩邮阵P是正雁定的,且记菌为素。衔以此乏类推,可定代义二文次型松权矩具阵P的负驻定、省半正值定、堤半负糟定,并分伤别记划为窗、、曾。二次录型函补数爱的定减号性傅与其径对应搂的权汤矩阵P的定讲号性搬一致,判别护的符杏号只杆要判裕别实吸对称尸矩阵P的符芽号即沸可。3．张塞尔轰维斯素特(Sy聋lv承es杨te混r)准则(1浓)实筹对称消矩阵P为正蛛定的程充要走条件皆是矩西阵P的各杀阶主婶子行祸列式凭均大辰于零,即在运式(妥4-饿16惰)中遇,有;(4的-1捞8)(2刻)实对嘱称矩笔阵P为负寺定的盆充要般条件那是矩拳阵P的各知阶主岸子行铜列式蛙满足(4芹-1描9)即(3贞)实对魂称矩妄阵P为半未正定插的充绢要条复件是彩矩阵P的前n-1阶主叠子行评列式止非负,且矩段阵P的行尘列式肾为零,即(4纯-2场0)(4桥)实对太称矩敌阵P为半折负定朵的充假要条之件是宇矩阵P的行缓列式讲为零(即de渡tP=0武),且矩爪阵P的前n-1阶主老子行欠列式似满足(4御-2启1)【例4-凳2】已知试判旬定V(x)是否规正定障。,解二次华型V(x)可写痰成矩央阵形咬式,即则权溜矩阵P的各峡阶主闹子行筒列式汗为可见漆,权牛矩阵P的各杠阶主邮子行奇列式首均大祸于零由,由Sy想lv圣es祥te祖r准则梯，可鄙确定曾二次企型V(x)正定也。4.吐3.赚2哲李亚扫普诺恰夫第献二法定理润4-勇1(李亚耐普诺佩夫稳穴定性睁的基赔本定跪理)设系撇统的暖状态芹方程乓为（4-邪22）且其娃平衡园状态晓为,即有如果悠存在在一个付具有题连续旁一阶碑偏导痰数的正标量冻函数V(x,t)，且V(x,t)及其瓜对时狸间的近导数牧满足老以下羡条件双：1）钞是怕正定柱的；2）荷是李负定健的。则系漂统的湾平衡测状态初是一绘致渐敢近稳鲜定的金。并材称是系烤统的尼一个狼李亚鲜普诺亡夫函暴数。进一奋步,若掌还满判足3)则系遣统的吉平衡够状态各是缴大范杆围一辰致渐细近稳裙定的存。定理4-粱1是一冠个最聪基本劲的稳烧定性们判别属定理,对所企有系筋统皆知适用良。但斯该定翁理只矮给出司了判暖断系业统平甜衡状从态渐胁近稳龙定的陕充分引条件,而非脂充要框条件浑。【例4辱-3】已罗知非腐线性狗系统菌状态殖方程颤为试分线析其界平衡测状态利的稳柳定性币。解由系呢统平庭衡状均态的痰方程解出蜡唯一觉平衡悟状态。选取脑标准否二次杜型为架李亚曲普诺研夫函型数，膨即,该函笔数是病正定情的。金沿任链意状凑态轨塘迹对奋时间遥的导导数为将系远统状把态方温程代花入上轿式,得显然,有;且当假时,便,故负定汤。因此,所选瓦是尽满足生定理4-铁1条件骂的一歇个李份亚普贸诺夫膀函数碍。而市且当世时兄，愤，根贵据定亿理4-没1，系离统在亲平衡皂点抗处伯为大仁范围喜渐近代稳定携。定理址4-饱2(渐近兴稳定旺判定修定理2)设系衬统的惹状态烂方程贺为（4-掠23）且其屯平衡蔑状态股为,即有如果散存在斧一个驰具有瓶连续问一阶嫂偏导提数的杂标量惰函数锹，且济及其经对时医间的嫩导数抵满环足以咳下条景件：2）予是半姥负定房诚的；1）厉是正祖定的辩；3）但模在跪方程(4挡-2打3)的非蠢零解番状态益运动景轨线亡上不舟恒等禾于零嚷。则系膛统在素状态圆空间姻原点要处的锐平衡烛状态理是渐扛近稳楼定的猎。进一案步,若还扭有液时椒，,则系疗统的暴平衡售状态歇是蜘大范蜓围一沃致渐暮近稳巡寿定的枝。定理术4-汤3(判断骑稳定车和不疗稳定烦的定建理)设系摊统的受状态伏方程酸为其平柱衡状茂态为,即有且存嫩在一执个具准有连样续一屑阶偏隔导数扑的标闸量函火数蹲。若接及其步对时百间的每导数保满油足1)是正鲜定的;2)是半贿负定呆的则系梨统原响点处张的平圈衡状割态在日李亚测普诺况夫意袜义下穷是一杯致稳闭定的盼。若坛及撇其对不时间翠的导嫂数夕满足1)是正器定的;2)也是另正定素的。则系专统在皇原点无处的掩平衡婆状态悉是不沙稳定成的。【例4旧-4】设路系统忘的状州态方恳程为试确品定平诊衡状您态的姓稳定劲性解系统守为线估性定所常系低统,且系歉统矩煎阵非榆奇异,故状冰态空鹅间原趟点晴为该唇系统码唯一伟的平故衡状画态。与选取慕标准吃二次府型作把为一纱个可池能的逐李亚四普诺纯夫函师数，静即该函戚数是泊正定羊的，江沿任羡意状移态轨沉迹对羡时间挽的导塌数为可见,是半颤负定钓的。悬由定骨理4-摄3知,系统焰在原翠点处歌的平纳衡状绕态一袭定是刻李亚汽普诺妹夫意煌义下润一致胖稳定绞的。惑但为行了进华一步崇判定起是否鬼渐近知稳定,则应羽判断贴在坐非零吸解运湿动轨惧线是页否恒偏为零驼。设师，朋则有尽，欣即有和,代入砍系统慨状态片方程古得钉和潮。这吊就表聋明，既只有茄在状是态空与间原跨点,才有;而在投非零朱解运执动轨习线上踏，秘不妈可能撕恒等陶于零迷。则丛由定肆理4-逢2知,是渐晚近稳裕定的愉平衡完状态刘。又娘时通，,故进页一步笼可确胡定系绪统的残平衡踢状态卷是大楼范围馒一致此渐近带稳定愿的。李亚魄普诺悔夫函巷数样的假存在宁形式堪并非古唯一,对该里例，极若另殿选下得列正孔定二视次型俩函数为另错一个功可能芝的李迫亚普追诺夫逐函数蜂。则蓄沿任派意状仿态轨琴迹对杠时间吧的导陡数是负缴定的,因此铃所选舞为系谊统的跟一个霉李亚侨普诺爪夫函之数。又水时幼，,根据校定理4-味1，原巾点处舰的平烛衡状屈态在舒大范尿围内长渐近闲稳定爷。【例4潜-5】设纷系统跨的状割态方雹程为式中,a为大万于零久的常登数，提试分夜析其般平衡紫状态您的稳速定性茶。解原点(柄)是系宿统的鸡唯一题平衡膛状态蔬。试织选下丽列正躁定二可次型龙函数为可将能的榆李亚希普诺衡夫函桶数。则可见,在任偏意非枯零解铺运动老轨线处上，捆恒等恩于零,因此,系统该为在悄李亚而普诺击夫意救义下婆稳定,但非茧渐近腾稳定复。事布实上,在任刮意呢上,均可限保持与为零,而如则保原持为野某常匪数,即这表翻示系华统自鹿由运翼动的固相轨捧迹是萝一系锋列以道原点民为中尿心的葱椭圆,即系桥统的毒零输犬入响典应为近无阻浊尼等茎幅振估荡,系统吓为在伍李亚艳普诺垫夫意弱义下翅稳定摧。但持在经叶典控洋制理滑论中,这种蝇系统折称为服不稳冰定系菊统。【例4艳-6】设己系统稀的状忌态方眉程为试分庭析其条平衡选状态响的稳奏定性询。解原点(途)是系痛统的资唯一碌平衡哪状态姑。试矩选为下县列正子定二百次型踩函数沿任安意状强态轨棒迹对引时间俊的导姑数也是莫正定竞的。舍由定叼理4延-3斗，该缠系统驰在原表点处火的平伞衡状肯态不滤稳定而。4.车4线性相定常股系统舱李亚悄普诺双夫稳毙定性扔分析4.拨4.露1熔李仰亚普干诺夫吴第一岩法（间牛接法蓄）李氏朋第一职法是饿利用考状态妨方程梨的解筑的特扑性来状判断麦系统剑稳定尺性的泥方法妄，适模用于箭线性缺定常洪、线百性时奖变及掉非线君性函亚数可况线性号化的桌情况盘。经申典控骗制理赔论中惕关于梯线性缴定常遭系统烟稳定旨性的猎各种免判据汁,均规可视剥为李秋氏第逼一法棚在线呜性系振统中长的工宰程应滥用。散在分葱析线邀性定灵常系拾统稳如定性仙时，统可按易经典什控制略理论臂的思痕路,直接子由系夕统矩僚阵的无特征炮值判档断系劫统的榨稳定蜜性。定理肺4-址4设线繁性定梁常连筑续系炉统自辈由运鸟动的总状态煮方程幸为(4室-2佩4)则系宅统在威平衡福状态丽渐近洗稳定提的充笑要条混件是绝系统构矩阵A的所白有特沉征值津均具顶有负皮实部馆。定理壮4-椅5设线育性定咽常离香散系昼统自垂由运钢动的裹状态敏方程贝为(4召-2箩5)则系副统在喝平衡谅状态脊渐近蔬稳定心的充俱要条砖件是浊系统推矩阵G的所被有特推征值脱的模越都小京于1。4.够4.也2肾李亚压普诺绪夫第挪二法1.报线性心定常追连续板系统定理驾4-报6设线纽奉性定娘常连符续系侄统为(4头-2气6)式中,x为n维状誉态向需量,系统凯矩阵A为n阶非嗓奇异敏常数拒阵。则系查统平秒衡状响态需为大捡范围承渐近迎稳定宪的充喘要条饿件是:对任左意给行定的宁正定炒实对得称矩毙阵Q，存在欲另一屡个正绑定实茎对称艇矩阵P，满足右式(4境-2池7)表示肉的李吨亚普尾诺夫翼方程（4-竿27）而标谎量函团数（4-舒28）是系痛统的盗一个冈二次负型形幅式的胜李亚众普诺蜓夫函受数。证明充分抚性。因繁为P、Q均为任正定移实对的称矩沟阵且茎满足淘李亚摩普诺痒夫方蛾程式蛮(4平-2膨7)铜，故府取正慎定二靠次型为一享个可冲能的骨李亚惰普诺拉夫函孟数,我则V(x)沿任甩意状根态轨韵迹对途时间扒的导腾数Q正定赞，则角-Q负定倘，途负定,故勒是大淡范围坟渐近静稳定节的平酬衡状慕态。必要润性。替如果狐系统啊式(4克-2舱6)在理渐陶近稳涛定，另那么浸在时羊间t趋于础无穷弦大时挡，系占统的崖状态安转移协矩阵必趋氧于零潜。任选咽一个胀正定谎实对芽称矩启阵Q,构造带时变风对称县矩阵(4映-2休9)其满冠足销和裕而撇且痛是染矩阵砌微分裙方程(4耕-3园0)的唯盼一解局。对原式(4单-3逼0)中的使第一轨式两现端从t=0到批积分滑，得将祝和景代耗入上润式,得(4签-3拥1)取（4-适32）即可注满足且表明守按式(4垦-3孩2)选取拐的P为实怖对称胜矩阵暖。为脆考察P的正裕定性,取任籍意n维非吐零常思数向例量,考察跃由P构成娇的二呆次型岁函数(4妈-3高3)式中均，竿为式(4经-2高6)的非配零解避向量架。又Q为正焦定实士对称愤矩阵狸，故姑式(4例-3恰3)中的摘被积锤函数惨为正渠定二干次型叼函数万，所赠以式题（4-果33）的革积分垄大于柳零，榴由此敏可知冠实对探称矩浸阵P正定赖。综上愁所述,若系快统式(4员-2嫂6)在俘渐逝近稳廊定,则任妹取一绪个正各定实剧对称嫂矩阵Q,必存辫在另奖一个斩正定围实对疾称矩神阵P，满足冶李亚大普诺带夫方访程式(4盘-2国7)。必忍要性鞭得证秤。应用梳定理4-赖6分析液线性救定常柱连续晋系统炸的稳沸定性衫时应村注意肚如下虚几点底：(1呈)定理4-鱼6所阐世述的招条件窜与系脚统矩诊阵A的所料有特绵征值热均具议有负感实部绘的条振件等将价,级因此,定理4-者6给出四的条燥件是骆充分伸必要刺条件脊。实洗际应榆用时,常先辛选取宁一个艇正定浮的实罩对称诸矩阵Q,从李溜亚普末诺夫惠方程遗式(4蝴-2震7)求解烧出对穴应的层实对封称矩跟阵P,然后添利用Sy种lv押es学te排r准则租确定办矩阵P的定夺号性,进而范判断妹系统伸的渐良近稳组定性客。(2坚)尽管再正定盆实对需称矩爪阵Q的形旅式可溪任意精选取,最终近的判些断结妥果不修因所爱选择炮的正眨定实射对称苹矩阵Q形式搞不同邮而不潮同,但为到了方扁便求喊解李环亚普供诺夫僻方程,通常餐选取鲁正定朋实对惕称矩桌阵Q为单酸位矩牺阵I,这时姐实对帝称矩咐阵P应按败式(4穴-3伞4)求解,即(4解-3驰4)式中,I为n阶单慎位矩酸阵。(3苹)有时对为了弹简化反求解啄实对瘦称矩春阵P的运付算,矩阵Q也可伍取为阁半正认定的常。这僵时若榨由李梦亚普在诺夫畅方程脂式(4量-2啦7)求解祖出的贼实对腹称矩棉阵P是正杂定的,则李郊亚普淡诺夫搅函数是正仓定的,而V(x)沿任童意状奖态轨脖迹对祝时间掩的导数甚半胀负定换,根小据定昂理4秘-3畜可判尘断系厕统在租李亚雷普诺聋夫意创义下灿是稳届定的授。进搭一步,只要在系驾统非醒零解婶运动牲轨线雪上不味恒为衬零,根据幼定理4-窜2,可判娃断系乒统是醉渐近致稳定帝的。【例4在-7】设具系统满的状丽态方路程为其平垦衡状欧态为星坐标权原点费，试终判断牵这一见状态宋的稳野定性乖。解设可采能的励李亚德普诺藏夫函龄数为其中,P为实饺对称深矩阵,即,且茎有又P满足笑李亚灶普诺娘夫方顶程式(4慈-2更7),选取凉正定被实对布称矩倍阵Q为单僵位矩膊阵I,代入锹上式,得考虑泡到,则以宿上矩画阵方族程可师展成舱如下腊联立良方程让组解出则矩殖阵P的各锅阶主衰子行族列式耽为可见,矩阵P的各马阶主左子行嘴列式嫩均大箱于零,由Sy昨lv或es耽te耐r准则盖，可洽确定匪矩阵P是正惜定的冬。因跟此，末系统尼在原钩点处荒的平目衡状乖态是矩大范重围内懂渐近狸稳定迁的。米且系线统的橡李亚掏普诺死夫函债数及纵其导窝数分堤别为2.记线性河定常起离散咱系统定理遗4-裕7设线渡性定强常离怨散系川统自弓由运辈动的北状态份方程遍为(4素-3统5)则系爪统在吸平衡服状态彼处渐主近稳独定的恒充要倡条件蜡为:对任盾意给塞定的受正定慰实对虎称矩总阵Q，存在从另外程一个警正定瓦的实犯对称谦矩阵P，满足慎式(4照-3胃6)所示谎离散嘉的李防亚普瓣诺夫谢方程(4幅-3甘6)且（4-渠37）是系卷统的筋一个温李亚截普诺惧夫函亡数。【例4-僚9】设定织常离毅散系坦统的匹状态叠方程你为试确庸定系怜统在脱平衡箩状态厨渐近崭稳定执的条伟件。解方法酬一(应用均特征始值判穴据)应用炎定理4-怎5,系统圆渐近棵稳定叼的充惠要条充件是烂系统轧矩阵G的所泳有特恢征值乘的模梯都小捆于1,即应厚满足和即只炊有当凝系统眠的所嚼有极禽点都罩位于寒复数昼平面祸的单徒位圆员以内份时，懂系统露在平止衡点拾处才狡是大阁范围央渐近里稳定村的。方法政二(应用逮李亚状普诺艰夫直井接法)选取Q=I，代入邪离散牙的李乔亚普倾诺夫坟方程阁式(4藏-3思6)，得令,代入被上式夹化简,得将以过上矩喷阵方铺程展丛为联证立方塑程组,解得由Sy沿lv粒es积te樱r准则,为使P正定,则要配求和4.运5线性他时变弄系统弦李亚惩普诺处夫函桐数的北求法4.胁5.窄1膨线杜性时纽奉变连遵续系蜓统定理吹4殖-8设线续性时培变连体续系拥统的四状态逼方程稻为(4陵-3攀8)式中,x为n维状寄态向割量；A(t)为想维系敲统矩迫阵，槐且为铅时间番的函定数,则系场统在太平衡姜点迫处誓大范祝围渐窃近稳隶定的痛充要就条件却为:对于叼任意挥给定俊的连迫续对捎称正渐定矩齿阵Q(权t)腾，存在风一个似连续迟对称冈正定畏矩阵P(扰t)扣，满足(4轿-3下9)且系载统的奏李亚到普诺铲夫函苍数是(4害-4黑0)定理4-饱8给出暑了构职造线嫁性时众变连蛇续系丙统李葬亚普猪诺夫垒函数猜的通攻用方揭法,其中,式(4匙-3呢9)是里晒卡提(Ri岔cc镇at搏i)矩阵饿微分往方程侵的特克殊情扩况。4.券5.击2堤线性俘时变驻离散构系统定理目4-伙9设线术性时腾变离攀散系免统的肆状态磨方程状为(4谦-4竖1)则系穴统在社平衡么点哄处大扇范围袄渐近情稳定薯的充盟要条苦件是屑：对笛于任做意给卖定的育正定杆实对新称矩驶阵Q(k)，存在贤一个封正定障实对惊称矩章阵P(k+1衡)，满足(4敌-4抽2)且标扮量函丹数(4粥-4悔3)是系睛统的应一个取李亚雨普诺木夫函茂数。4.季6非并线性辩系统漆李亚燥普诺茶夫稳恭定性仔分析4.馋6.饱1密李周亚普非诺夫流第一吸法分古析非泊线性岗系统盯的稳口定性设n维非薪线性库系统(4舌-4厉4)其中,x为n维状区态向诸量;f(x)为n维函日数向怖量,且对x有连曾续的支偏导宵数。僵设煎为系税统的惯平衡贪状态,为分招析系饶统式(4伪-4彻4)在平编衡状密态绝附近躲的稳宁定性,可将喷非线胃性向仔量在平担衡状说态毒附近泳作向仆量泰确勒级捞数展秋开,即(4盖-4劳5)式中团,施为级政数展轻开式健中大时于和与等于2阶的丸项,而(4愤-4焰6)称为兼雅可律比(Ja缓co贼bi狐an)矩阵聋。若令疯,并酒取式疮(4管-4赤5)惜的一救次近邻似式部,则抽得非太线性片系统帜式(昆4-牧44缸)的帖一次卫近似鼓线性茅化数范学模镇型(4纷-4健7)式中英,食为奸常络数阵牙。为式摊(4工-4宵7)立的平扭衡状注态,对应雄于变。(1制)若式(4笼-4盒7)中系婶统矩随阵A的所雁有特柳征值农都具夏有负封实部,则原圆非线亩性系伐统式能(4赚-4眼4)石的平郊衡状设态夹是渐至近稳润定的;(2袜)若馆式(4娘-4昆7)中系略统矩妙阵A的特鉴征值,至少移有一闭个具责有正窜实部,则原淡非线转性系祸统式奔(4含-4龙4)期的平负衡状常态破是不观稳定尽的;(3境)当吴式(4泉-4湿7)中系辛统矩乔阵A的特畜征值聚都不糕具有束正的悄实部,但至薄少有削一个辰特征阁值的搬实部良为零坛时,原非猫线性奸系统唉式(醉4-蓬44润)不鼻能用粱一次魄近似反线性腥模型多式(继4-柱47往)判制断其扮稳定滚性。4.爆6.近2每李牧亚普率诺夫耕第二倡法在州非线脱性系乳统稳见定性张分析泪中的酸应用李亚昂普诺闲夫第松二法编是分蝇析系核统平掌衡状烦态稳絮定性卖的强健有力判工具,对任岭何复府杂系舱统都微适用,而对陵于运退动方径程求晚解困攀难的故高阶鲁系统猾、非印线性竖系统坚以及虾时变都系统抽的稳倾定性域分析,则更烟能显贤示出揭优越拌性。纤其不冬仅适贫于研遣究平罢衡状黄态附放近的优小范丑围的马稳定唤性,也适疲用于害平衡魔状态库附近浆较大扔的范残围。造下面饶介绍庭基于晶李亚歌普诺汗夫第伴二法(直接捏法)的两剪种特少殊方荒法,即判淹断渐盏近稳主定性晴充分袖条件翁的克蹦拉索稠夫斯班基方英法和痰构造令李亚同普诺归夫函薄数的起变量养梯度创法。1.佛克拉帜索夫妹斯基豆方法定理乞4-身10(克拉枕索夫认斯基吼定理)设不状受外闪部作忌用的朱非线私性定饥常系毒统（4-呜48）式中如,x为n维状多态向繁量;f(x)为n维非鄙线性桶向量策函数铺。且陵设状姑态空应间原匆点为垂系统皂的平圆衡状庸态,棍即且f(x)对裁可淋微,系统爹的雅猎可比俯(Ja茅co狂bi偶an)矩阵哪为(4紫-4号9)若下息列矩累阵是负建定的任,则绒该系肚统在票平衡押状态眼是渐伪近稳游定的杏。且该右系统蹲的李苹亚普道诺夫菊函数赚为(4僚-5如0)而且宫若当倚时拾，还线有团，帐那么慌系统屡的平贝衡状俘态桨是大颤范围感渐近呢稳定蒙的。克拉预索夫祥斯基席定理宜对于捏非线完性系蓄统式(4旦-4弊8)仅给魂出了绝其在睁平衡寨状态负渐肌近稳洽定的双充分鹿条件窄。如副果矩令阵户不是彩负定百的，温则不狼能得错出关服于给群定非岛线性坝系统鞠平衡寸状态玩稳定规性的涌任何钟结论拆。【例4胃-1萌0】用尝克拉嚼索夫症斯基绞方法象证明煌以下迎系统秆的平湖衡状铲态柿是驳大范腥围渐灰近稳孟定的逝。解由题证给条脂件,,则系弦统的逐雅可煮比矩落阵为则则矩掩阵蒜的各土阶主题子行旱列式邮为由Sy墨lv吸es时te业r准则箭，可汇判定曲是负灿定的峡。而且盯当示时，渴还有则根盐据克赛拉索冲夫斯煌基定哨理，应可确纷定系概统的劲平衡街状态是大差范围纸渐近锋稳定碌的。2.竿变旧量梯昏度法变量竞梯度愉法由丑舒茨房诚（Sc辜hu叨lt匹z）和基时布逊距（Gi志bs永on）在19爽62年提说出,其是太构造沃非线瞒性系教统李诞亚普绿诺夫观函数铸比较艘实用馒的方铸法。设非逃线性淹系统灰为(4货-5呆1)式中,x是n维状周态向宝量；f(犬x,歼t)是n维向甘量函毛数，朝它的撞元素食是槽的产非线菌性函或数。铺假设任状态绘空间亏原点甜为平荒衡状翠态。郊先假异设找暴到了转判断棵其渐稼近稳障定的患李亚帖普诺街夫函告数为V(x),其为迷状态x的显壮函数堂，而茫不是标时间t的显享函数疗。则V(x)的梯场度(4藏-5蒸2)存在碍且唯井一。谅则V(x)对时缓间的盯导数朽为(4匀-5宪3)舒茨兔和基烦布逊寺提出艘，先结把V(x)的梯彻度米假速设为牲某种两形式鞭，例师如一陶个带疲待定享系数片的n维列秧向量,即(4贩-5您4)然后零根据霸为均负定吧或至闻少为克半负愤定等拿约束葬条件廉确定蜂待定健系数,并由日此求长出符绍合李撕亚普窝诺夫适定理匹要求译的V(x)和肺。由式(4蔬-5料3)可知款，V(x)可由缝其梯庸度袖做透线积榜分求,即(4欣-5船5)这里饺的积驴分上约限x是整怖个状震态空锄间中花的任袖意一感点瓦。由场拿论知剑识,若向定量江的n维旋葱度证等池于零,则式(4按-5谅5)的线为积分位与积突分路克径无进关。而惕的径充要当条件箩是向候量班的雅枝可比徒矩阵(4薪-5座6)是对乐称矩辨阵,即满艺足如琴下剖个旋栽度方恢程(4客-5板7)当式(4裹-5发7)所示叛的条厚件满思足时,式(4念-5国5)所示赠求V(x)的线赤积分浮与积阔分路辰径无旁关,这时魔可选缺择一池条使腊线积盲分计煌算最罚简的剂路径,即依级序沿厉各坐映标轴败方向迁逐点货分段草积分,即(4聪-5孩8)按变报量梯轮度法暖构造标李亚肃普诺套夫函寄数V(x)的步季骤为1)将李驱亚普躁诺夫面函数V(x)的梯梢度赶设踏为如秆式(4罚-5狮4)所示由的带般待定区系数崖的n维列盘向量悠的形谷式,其中为待俊定系级数，不其可剪为常毒数，邻也可炎为t的函殊数或核(库和)茄状态赵变量枯的函唐数。缴应用靠中,答为了彼简化剥计算湾,通师常将塘选择挡为常纹数或t的函钓数,一些丘待定黄系数虫也脂可选负择为宅零。2)据式怀（4-耳53）由战写出垮。阔由篇是负独定的朱或至刊少是债半负还定的价约束买条件匪，确园定一网部分环待定盯系数。3)由晒的n维旋炼度等么于零荡的约逢束条岭件,即个旋收度方这程式苹（4-温57）确光定其洋余待样定参绢数餐。4)根据图第3步所低