第六章地球椭球与椭球计算理论

第六章地球椭球与椭球计算理论

[本章提要]6.1地球椭球的基本几何参数及其相互关系

6.2

椭球面上的常用坐标系及其相互关系

6.3几种主要的椭球公式

6.4

将地面观测值归算至椭球面

[习题]

本章提要

本章讲述地球椭球与参考椭球的概念，进而介绍椭球的基本几何参数，基本坐标系及其相互关系。同时，讲述椭球面同地面之间的关系，如何将地面观测元素（水平方向及斜距等）归算至椭球面上。在对本章的学习中，要建立起空间的概念，只有建立了地球椭球的这些基本空间概念后，才能更好地学习控制测量的内业数据处理等相关知识。

1．地球椭球的定义及其几何意义；2．常用测量坐标系统的建立及其在控制测量中的应用；3．各种测量坐标系统之间的相互转换；4．椭球面上几种曲率、弧长、大地线的计算；5．地面测量值（水平方向和边长）归算到椭球面的方法。[知识点及学习要求]在对本章的学习中，有大量的公式推导与应用。各种常用测量坐标系统的建立与相互转换；几种常用的椭球计算公式；地面观测值归算到椭球面的方法与计算、大地主题解算。

本章重点：地球椭球几何性质、地面观测值归算本章难点：6.1地球椭球的基本几何参数及其相互关系一.地球椭球的基本几何参数地球椭球：在控制测量中，用来代表地球的椭球，它是地球的数学模型。参考椭球：具有一定几何参数、定位及定向的用以代表某一地区大地水准面的地球椭球。地面上一切观测元素都应归算到参考椭球面上，并在这个面上进行计算。参考椭球面是大地测量计算的基准面，同时又是研究地球形状和地图投影的参考面。地球椭球的几何定义：O是椭球中心，ＮＳ为旋转轴，a为长半轴，b为短半轴。子午圈(经圈，或子午椭圆）：包含旋转轴的平面与椭球面相截所得的椭圆。如NKAS平行圈（或纬圈）：垂直于旋转轴的平面与椭球面相截所得的圆。如QKQ’赤道：通过椭球中心的平行圈。如EAE’地球椭球地球椭球是选择的旋转椭球,旋转椭球的形状和大小常用子午椭圆的五个基本几何参数(或称元素):地球椭球的五个基本几何参数：椭圆的长半轴椭圆的短半轴b椭圆的扁率

椭圆的第一偏心率椭圆的第二偏心率

其中a、b称为长度元素；扁率反映了椭球体的扁平程度。偏心率和是子午椭圆的焦点离开中心的距离与椭圆半径之比，它们也反映椭球体的扁平程度，偏心率愈大，椭球愈扁。二、通常用a,α表示椭球的形状和大小。我国建立1954年北京坐标系应用的是克拉索夫斯基椭球；建立1980年国家大地坐标系应用的是1975年国际椭球；而全球定位系统(GPS)应用的是WGS-84系椭球参数。

几种常见的椭球体参数值克拉索夫斯基椭球体1975年国际椭球体WGS-84椭球体6378245.0000000000(m)6356863.0187730473(m)6399698.9017827110(m)1／298.30.0066934216229660.0067385254146836378140.000000000（m）6356755.288157528（m）6399596.6519880105（m）1／298.2570.0066943849995880.0067395018194736378137.0000000000(m)6356752.3142（m）6399593.6258（m）1/298.2572235630.00669437990130.00673949674227三、相互关系

1．e与e′的关系2．e与α其它关系四、引用符号及其相互关系1．引用符号

2．W与V关系两个常用的辅助函数，W第一基本纬度函数，V第二基本纬度函数：C几何意义：极点处的几何曲率半径。3.地球椭球参数间的相互关系其他元素之间的关系式如下：式中，W第一基本纬度函数，V第二基本纬度函数。6.贤2椭球斥面上厦的常旱用坐哀标系山及其姐相互鉴关系1吃.大地咳坐标堤系p点的达子午戒面NP遍S与起你始子庭午面NG落S所构非成的昨二面桨角L，叫歪做p点的锄大地位经度更，由厕起始孔子午获面起毯算，础向东惯为正歼，叫借东经钟（0°～18白0°），样向西捡为负蛇，叫极西经脂（0°～18察0°）。P点的练法线生与请赤道载面的债夹角B，叫挠做P点的伏大地袜纬度急。由拘赤道需面起惯算，译向北集为正蝴，叫脏北纬春（0°～90顷°）；抬向南垫为负唐，叫膨南纬(0谣°～90爆°)。从地其面点P沿椭刊球法胞线到幅椭球斑面的咽距离馅叫大蓄地高芒。大掠地坐谈标系让是用赠大地粥经度L、大耳地纬苗度B和大品地高H表示升地面风点位晌的。谨如果适点不趟在椭沫球面利上，思表示胖点的柳位置底除B,蒜L外，丑还要牌附加助另一迎参数——大地妹高H，它绩同正江常高堂及正才高有炒如下壤关系2.空间凶直角泳坐标没系地心您坐根标系糊，原角点位啄于总烧地球纸椭球(或参惹考椭冠球)质心愉；Z轴与吧地球村平均揪自转食轴相泡重合夕，亦他即指晌向某复一时向刻的绵平均隐北极欲点；X轴指呼向平括均自蒸转轴厚与平负均格谣林尼贿治天能文台极所决默定的唯子午琴面与斥赤道走面的匀交点G；Y轴与累此平奸面垂躲直，鲁且指合向东肯为正朱。地心水空间郊直角预系与虽参心乌空间浑直角纽奉坐标薯系之针分。3竿.子午半面直跃角坐督标系设点p的大矮地经玻度L为，冬在过p点的搅子午只面上摔，以甩子午差圈椭蒸圆中再心为域原点胁，建亮立x,酬y平面察直角好坐标分系。思在该杏坐标狐系中社，p点的淘位置汇用L,患x,驶y表示文。4.大地杀极坐失标系M为椭惑球体仔面上谨任意相一点居，MN为过M点的堤子午卵线，S为连榨结MP的大昆地线盛长，A为大龙地线姨在M点的燥方位舒角。布以M为极症点，MN为极堆轴，S为极柿半径循，A为极闻角，祸这样筋就构挥成大佛地极定坐标向系。幸在该摧坐标澡系中p点的巨位置奔用S,滥A表示绣。椭球粮面上早点的夸极坐尺标（S,撞A）与晌大地数坐标(L,昼B）可其以互卫相换股算，掀这种外换算大叫做哑大地途主题决解算红。5、地条心纬罪度坐纯标系椭球符面上P点的东大地洋经度L，在此概子午告面上隔以椭侨圆中司心O为原权点建勤立地曲心纬织度坐挽标系运。连霸接OP，则扩称数为地筑心纬祝度，忽而OP＝称为P点向源径，材在此凭坐标智系中凯，点伐的位怖置为党：6、瞒归怀化纬膜度坐月标系

设椭球面上P点的大地经度为L，在此子午面上以椭圆中心O为圆心，以椭球长半径a为半径作辅助圆，延长P2P与辅助圆相交P1点，则OP1与x轴夹角称为P点的归化纬度，用u表示，在此归化纬度坐标系中，P点位置用L，u表示。7.各坐哑标系扣间的剧关系椭球愈面上症的点作位可宰在各板种坐淹标系垫中表情示，证由于梳所用唤坐标匆系不刊同，拘表现吉出来测的坐妇标值吊也不泥同。1）子伪午面核直角荒坐标衣系同男大地架坐标乏系的申关系过p点作危法线掌，它润与x轴之娃夹角丽为B，过垃点P作子亏午圈谎的切语线TP，它岩与x轴的爷夹角抛为（90紧°+B）。峰子午讽面直随角坐亏标x,己y同大有地纬叉度B的关惜系式沸如下穴：以下零：推雷导子绩午平溪面坐嚼标系嚼同大浪地坐急标系巧的关柴系此两盒式指妈明了祸法线Pn在赤眯道两络侧的好长度史。令:pn=N（卯批酉圈羡曲率撑半径滋）由图途看出糖：与前买式洞相比梦得：于是今有由图勤看出上两植式相迷比得贝：显然蚂有：上两城式即英为子臭午面本直角俯坐标x，y同大史地纬融度B的关壶系式杜。2）子从午平叔面直择角坐鼻标系永同归剧化纬尖度坐负标系崖的关复系P(笋x，y)，OP1=a由图妄可知渡：x=口OP2=O败P1co笑sμ=ac麻osμ代入哑公式地：得：y=bs翅inμ3）空慈间直奔角坐倍标系见同子筋午面则直角贪坐标逢系的询关系空间狡直角逆坐标羡系中壶的P2P相当锐于子痕午平触面直肾角坐请标系策中的y，前学者的OP2相当赖于后纵者的x，并太且二在者的在经度L相同斧。OP2=x二面施角∠P2OP1=L4）空也间直例角坐桂标系测同大嫌地坐住标系达的关签系同一留地面叹点在户地球县空间宗直角魔坐标委系中丸的坐亮标和烦在大钓地坐垒标系全中的际坐标场可用棉如下谣两组主公式狗转换式中民：e——子午撤椭圆多第一披偏心避率，太可由播长短眼半径羽按式算得钓。N——法线斗长度件，可沾由式验算谷得。以下瞧推导香空间挨直角霜坐标绩系同南大地隆坐标缺系的插关系推导盲空间屈直角径坐标左系同垂大地金坐标断系的榨关系由大地悄坐标计算空间棵直角坐标精：代入如果P点在禽椭球梨面上邻：（1）子午孕面直旦角坐眼标同勺大地边坐标深关系夫，（2）空爬间直身角坐俭标同掠子午脂面直椅角坐塑标关到系YZX如果P点不独在椭诵球面办上，扛设大炉地高掌为H，P点在钞椭球咬面上联投影虫为P0由空薯间直糟角坐呆标计征算大浮地坐兄标大地婶经度大地械纬度大地夸高由空劝间直拒角坐静标计仇算相社应大术地坐似标大地撕纬度B、归姿化纬劝度u、馅地心歪纬度φ之间怒的关钟系B和u之间摸的关煮系归化宽纬度沙坐标授系同高子午矛平面共坐标忠系的彩关系圣：子午联平面煌坐标扯系同大地而坐标奋系的附关系肃：U、φ之间勒的关宿系地心输纬度φ同子恩午平野面坐迎标系总关系归化赶纬度U同子挣午平桂面坐念标系萄：Ｂ、φ之间禁的关粒系大地顷纬度抱、地本心纬趁度、订归化欺纬度汽之间救的差狭异很挖小，乎经过描计算貌，当B=后45财°时8、站李心地平坐标艰系大地截站心乓地平票坐标龟系是以测站法线肯和子把午线懂方向伴为依恭据的障坐标异系。在描享述两筐点间磁关系害时，派为方枪便直逆观，佣一般吨采用站心惹坐标渴系。根班据坐标表示呜方法昨，又抬可分且为站换心左手耳地平法直角街坐标热系和站腾心地平极坐逆标系，见泛图1）以测站P为原扛点，施测站像上P点的极垂线(法线)为Z轴（U轴）稼，指皆向天责顶为纽奉正；子午眠线方向古为x轴（N轴）磨，指范向参按考短倾半轴恐，向男北为隆正；y轴（E轴）苗与x，z轴平巷面垂么直（城向东米为正拐）构火成左晕手坐晨标系辛就称忙为垂线(或法俱线)站心拌直角映坐标介系。洗或称暖为站欠心天缸文坐爷标系潜。在站临心直朽角坐倾标系绢下点商的X（N）料、Y（E）、Z（U）坐倍标为酸该点馒在三咽个坐修标轴圣上的薄投影腐长度座。站心荐极坐杆标系：以P点为木中心碌的站跟心极题坐标砍系定属义如届下：(塔1无)联X(坐N）PY（E）思平面辽为基准悟面；(校2）极点位于P；(索3）极轴为X（N）涝轴。Q点在累站心陶极坐私标系绞下的熔坐标学用极距（d为由极励点到部该点岗的距浓离）夸、方位秒角（α为在基准蛙面上晴，以鼻极点幻玉为顶稻点，睛由极轴学顺时针方向量测PQ在基芳准面雁上投影的角故度）羡、高度座角（EL为极域点与时该点急连线座与基屿准面父间的夹品角）手表示荣。空间宋任意扰一点Q相对静于P的位置可诉通过宾地面说观测峰值——斜距d、天文愚方位户角α和天顶废距z来确波定进行GP萄S观测教时，练常常逐采用GP葛S卫星崖相对翅于测颂站的高度目角、方位锯角来描金述其盼在空单间中小的方盆位。脑实际机上，桂如果苹再加之上测弃站到棕卫星油的距离，就预是一拘个完片整的结站心愈坐标稍。类别坐标系椭球面上点的坐标球心坐标系空间直角坐标系★子午面直角坐标系X,Y,ZL,X,Y站心坐标系站心赤道直角坐标系站心赤道极坐标系站心地平直角坐标系站心地平极坐标系x,y,zD，L，φx,y,zS,A,Z曲面曲线坐标系大地坐标系★天文坐标系★归心纬度坐标系球心纬度坐标系大地极坐标系一般曲线坐标系L，Bλ，L，uL,φ,ρS，Au,v7、大蹈地测土量常螺用坐车标系汁比较6.路3椭球变面上爱几种发曲率竟半径（椭蚊球数刊学性腿质）过椭熄球面持上任松意一疑点可圣作一毙条垂遣直于估椭球邮面的杏法线竟，包备含这谱条法摧线的恩平面能叫做法截贩面，法返截面魂同椭拘球面搁交线锻叫法截殃线（或货法截蜓弧）正。包宿含椭粉球面披一点扎的法蹦线，揉可作凡无数椅多个面法截放面，靠相应披有无公数多漆个法突截线泛。椭球任面上毕的法脱截线占曲率遵半径罢不同描于球幅面上访的法邪截线盒曲率横半径忧都等由于圆么球的首半径功，而移是不友同方食向的诸法截咳弧的黑曲率丧半径堪都不缴相同扁。1.子午躁圈曲至率半殖径子午汪椭圆在的一挺部分颗上取劣一微昨分弧泻长DK＝dS，相言应地歉有坐皇标增州量dx，点n是微般分弧dS的曲率互中心，于俯是线瞒段Dn及Kn便是备子午考圈曲率摸半径Ｍ。由任串意平呆面曲辈线的腿曲率斯半径既的定妖义公锐式，谱易知任意召平面脸曲线交的曲喊率半抢径的诞定义摔公式科为：从微运分三傅角形DK访E可求书得：联立袖上两绘式得狮：子午驴面直醉角坐可标同熄大地好坐标离关系秤：x坐标孟对大休地纬希度B取导蔽数：又由阔第一梨纬度帝函数沸得：则有棒：子午邮圈曲键率半叶径公刘式为若：或M与纬缸度B有关浑．它班随B的增私大而服增大征。变化僵规律属如下惧表所流示：表中漏极曲接率半奥径c的几何滔意义是椭宴球体尚在极浴点处政的曲对率半友径。说明

在赤道上，小于赤道半径此间随纬度的增大而增大在极点上,等于极点曲率半径

2.卯酉迁圈曲仁率半副径过椭盛球面铜上一额点的筒法线翁，可违作无傅限个课法截柳面，黎其中故一个项与该浙点子午铁面相拜垂直拴的法截键面同柴椭球谱面相韵截形华成的随闭合虑的圈铃称为卯酉崭圈。在勒图中PE吩E’即为端过Ｐ点的途卯酉旨圈。肆卯酉处圈的撒曲率飘半径踪蝶用Ｎ表示经。为了春推导Ｎ的表瞎达计君算式脚，过Ｐ点作寻以O’为中难心的平行警圈ＰＨ舌Ｋ的切线ＰＴ，该哈切线位于垂直师于子踩午面扭的平行基圈平帽面内。因狱卯酉殊圈也堡垂直值于子令午面向，故ＰＴ也是份卯酉赞圈在Ｐ点处至的切圆线。舍即ＰＴ垂直蒙于Pn。所货以ＰＴ是平淋行圈ＰＨ挪Ｋ及卯润酉圈PE股E’在Ｐ点处忽的公切阅线。麦尼哑尔定店理:假设鸭通过榆曲面亏上一麻点引两条截弧贝，一斗为法截作弧，一掌为斜截衔弧，且袭在该燥点上抖这两抹条截它弧具辣有公共萍切线，这共时斜截遭弧在该色点处没的曲矿率半努径等窑于法截客弧的曲标率半协径乘习以两惊截弧予平面夹角叠的余借弦。如图烈根据曾直角扯三角沈形有才平行曾圈半战径r：根据溜子午赚面直抚角坐更标同倦大地秘坐标精关系肿：卯酉毙圈曲代率半节径：根据臭（4-唱8）式毅得：由图蠢可看惑出：也就跑是说卯酉添圈曲搅率半拴径恰南好等弊于法捉线介窑于椭忧球面捷和短瞎轴之奔间的澡长度幸，亦连即卯欧酉圈这的曲申率中巴心位百于椭李球的危旋转扇轴上神。卯酉旦圈曲劳率半庄径的包特点:由公沙式N=r/斩co浓sB得：N与纬制度B有关程．它咳随B的增生大而含增大斥。卯休酉圈睡曲率恢半径N与经配度L无关躬，即洲同一撞平行甚圈上横所有泳点的役卯酉多圈曲恢率半剑径N相同诞。在极迎点子迹午圈兄曲率量半径和卯锅酉圈爽曲率殊半径苏一致子午乐圈曲蚀率半顿径M及卯距酉圈标曲率音半径N是两犬个互苦相垂外直的旦法截住弧的卖曲率腔半径挎，统映称为主曲晃率半径毛。常引由用的吗两个灾符号减：（1）=ρ″/锣M（2）=ρ″/碌N主曲垃率半爽径的安计算以上棚讨论估的子膏午圈挣曲率蚁半径M及卯笑酉圈瓣曲率企半径N，是两怀个互丧相垂寒直的翼法截氧弧的辛曲率只半径址，这融在微萝分几稼何中佳统称封为主策曲率裂半径代。（1）主织曲率锈半径理是第御一纬僵度函罢数的销表达坟式椭球但面上帆几种输曲率挂半径椭球熔面上管几种碰曲率堤半径椭球邪面上柳几种董曲率状半径（2）主认曲率董半径碍是第增二纬前度函燃数的幻玉表达思式3.任意速法截冲弧的屋曲率色半径子午期法截僵弧是简南北同方向年，其窝方位帮角为0°或18则0°。卯宰酉法匹截弧炊是东衫西方麦向，心其方铺位角贝为90晓°或27驾0°。现椒在来袄讨论急方位诞角为Ａ的任恼意法忌截弧定的曲龙率半旧径RA的计己算公以式。由欧临拉公夏式知伟，任探意方崭向方分位角绣为Ａ的法宽截弧饺的曲驾率半龟径的叮计算欲公式爪如下顺：以下许是公色式的婶推导资：任意爆法截洞弧的倘曲率咽半径由欧微拉公孩式知闷：在实证际应翻用中绸，用指平均覆曲率雁半径R代替N,得：椭球卵面上疾几种渗曲率侍半径任意友法截慕弧的圆曲率合半径辫的变顽化规赠律:ＲＡ不仅片与点屯的纬亏度B有关牌，而里且还净与过钥该点未的法槽截弧排的方殃位角A有关个。当Ａ滨＝０°或18约0°时，RA值为依最小田，公傲式变当为计偿算子铸午圈政曲率珍半径描的，棍即Ｒ０＝Ｍ喜；当A＝90°或27注0°时，RA值最拌大，鉴公式坏变为哪计算价卯酉营圈曲丛率半早径，诱即Ｒ９０＝Ｎ敲。主饶曲率膛半径M及N分别码是ＲＡ的极驶小值迷和极趴大值。当A由0°→90°时，腔ＲＡ之值腥由Ｍ础→Ｎ各，当A由90°→18性0°时，茧ＲＡ值由N→Ｍ，梳可见添ＲＡ值的会变化抄是以90°为周字期且雾与子猪午圈机和卯然酉圈膨对称横的。椭球孔面上劈燕几种等曲率脂半径椭球葱面上程任意挺一点薯的平逢均曲拒率半帖径R等于公该点绍主曲驾率半蒙径（蜜子午翠圈曲勿率半俊径M和卯馆酉圈宫曲率膜半径N）的梦几何沸平均喊值。4.平均挺曲率劫半径R是指识经过摊曲面猜任意博一点所有沫可能割方向上的狱法截派线半渴径RA的算交术平跨均值兔。平均瘦曲率括半径在实品际际注工程臣应用舒中，非根据邪测量昌工作舅的精华度要艺求，在一洲定范辰围内谋，把椭球色面当成轮具有适当县半径牛的球淹面。取晃过地谋面某但点的所有忘方向RA的平荣均值荐来作泽为这娃个球拳体的稳半径汁是合烘适的晓。这个泼球面逃的半搭径——平均惊曲率傍半径R：M，N，R的关屡系一般黄情况严下N>你R>枝M在极织点上级都等瞒于极凯曲率励半径馒ｃ椭球毫面上贸几种讨曲率做半径对于素克拉右索夫厨斯基揪椭球椭球票面上菌几种登曲率瓶半径从表章看出喜：同怀一纬要度时醉，N>公R>窗M；不同药纬度时时，缺随着导纬度B的增筑大，掠所有肠的曲坟率半水径都塞是增袭大的她，且钻在极萝点上裹都等牧于极兼曲率韵半径霞ｃ4.饼4椭球客面上删的弧益长计势算1.子午消线弧吧长计固算公妻式子午教椭圆佛的一挑半，口它的震端点责与极督点相左重合笑；而卸赤道茫又把委子午座线分眯成对姻称的瓦两部双分。因此竭，只钟需计饮算从晃赤道疑开始誓到已裁知纬跨度B间的理子午树线弧欲长的效计算强公式钳就可桥以了愿。如下揉图所仆示，柔取子咬午线蔬上某掘微分允弧PP议’=dx，令Ｐ点纬堵度为Ｂ，P’点纬由度为B+雹dB，Ｐ点的盏子午汤圈曲善率半堪径为Ｍ，于烈是有舰：从赤印道开找始到妇任意燥纬度Ｂ的平骡行圈庙之间锈的弧店长可脏由下奴列积长分求冒出：式中M可用海下式思表达盛（第恶一纬丘度函樱数表仇达）带：其中趋：经积拼分，消进行既整理批后得子午歼线弧嫩长计挺算式（1）：为求瞎子午闲线上两个窃纬度B1及B2间的青弧长与，只傻需按衰上式对分别领算出晒相应味的X1及X2，而费后取差：掩，严该爷即待为所求记的弧计长。将克拉德索夫强斯基卖椭球元素巾代入,得将19炼75年国桨际椭而球元素施代入,得若将匪（4-纷70）公驴式中拌的幂述函数挥展开瓶为正退弦n次幂卵和余晴弦乘询积的膝形式婚，进址行整塌理后歌得子午蜡线弧栽长计拨算式（2）（此公渴式适堡合计煤算机索计算纪）：代入话克拉惭索夫幕斯基霸椭球杯参数诊得子午妇线弧雀长计抹算公端式：代入19火75年国搭际椭院球参佩数得子午冈线弧麻长计挪算公顷式：如果乎主曲吨率半腐径用评第二武纬度老函数扣的表废达式疑，则擦可得子午婶线弧沃长计牙算公式壶（3）：或如果罩以B＝90词°代入滴，则蹲得子批午椭兆圆在惹一个还象限吗内的董弧长捐约为10叼0坦02竟1雕37叙m。旋转渴椭球怨的子夺午圈逮的整堆个弧归长约你为40腰0魔08搞5副49洋.9惊95跳m。即一教象限腥子午邪线弧辫长约趣为10上0链00熊km，地球役周长低约为40蛋0溪00往km。为求奶子午砖线上睬两个驶纬度B１及Ｂ２间的咐弧长身，只词需按(4桥-1盐01欲)式分驴别算径出相厦应的X１及X２，而后存取差句：ΔＸ＝战Ｘ２－Ｘ１，该ΔＸ即筛为所传求的哪弧长镰。当弧箩长甚吹短(例如X≤屿40擦km，计算柏精度撒到0.雷00值1m缸)，可视链子午静弧为圆弧，而棒圆的琴半径念为该擦圆弧示上平均超纬度偶点的子午稿圈的橡曲率我半径MｍX=千Mm.（B2-B1)″米/ρ″=ΔB″除/（1）m2、由努子午振弧长添求大笼地纬丽度底点然纬度罢计算在高唱斯投且影反判算时府，已快知高属斯平悉面直抄角坐疯标（X，Y）反杠求其喘大地哄坐标怎（L，B）。株首先X当作赴中央烟子午报线上想弧长像，反兴求其悄纬度芦，此变时的岂纬度遇称为底点稀纬度或垂直拴纬度。计跌算底河点纬缝度的淹公式批可以浊采用袄迭代摩解法配和直缝接解青法。（1）迭代查解法:重复蜜迭代终直至天为止凡。a0为子孩午圈益曲率剥半径筹展开棋的首串项系茧数。例如垦：在克拉劝索夫帝斯基晨椭球上计进算时捆，迭响代开斜始时玻设以后吵每次窃迭代月按下绑式计而算：重复昆迭代坊直至注为止想。在19闭75年国院际椭压球上计叹算时蓝，也容有类受似公平式。（2）直悄接解圈法19亏75年国树际椭管球：克拉浓索夫匆斯基趣椭球：3、平梨行圈案弧长励公式旋转糊椭球织体的披平行长圈是拜一个萌圆，恢其短核半轴毅ｒ就是扬圆上毁任意牌一点料的子茫午面穷直角谱坐标抓ｘ。如果睁平行请圈上拒有两火点，常它们困的经鹿度差平行筝圈弧拳长公液式：平行绳圈弧所长随扣纬度苍变化贷的微摔分公坐式可墓近似尽地写滩为由于跨于是式中4、子环午线离弧长沙和平斜行圈侨弧长担变化分的比最较从表猜中可颗以看须出，单位架纬差的子度午线盐弧长围随纬旁度升鞭高而兆缓慢致地增住长；而单位堪经差的平劣行圈法弧长庆则随涂纬度体升高拌而急炮剧缩铜短。同时付还可外以看垦出，1°的子淹午弧慨长约充为11动0k陆m，1′约为1.鸟8k对m，1″约为30秩m。而平贡行圈匹弧长疾，仅这在赤依道附汁近才孕与子嘴午弧谎长大猫体相润当，盼随纬眼度的辉升高前它们织的差宵值愈链来愈舞大。5.椭球拿面梯魔形图遮幅面宝积的径计算4.钞5大地民线两点毙间的皱最短料距离，在狂平面疏上是嫌两点找间的刺直线史，在猴球面垦上是洗两点假间的达大圆慢弧，京那么在椭姐球面上又咏是怎松样的醒一条给线呢?它应越是大地予线。一、们相对随法截摩线在椭拢球面惨上取不在例同一子午面和描平行悦圈上的点A和B；过A、B两点衰的法线分桌别与计短轴PP1相交新于N1和N2。通过AN1含有B的法面AN1B与过BN2含有A的法面BN2A不可撑能重合冷而只能相交历，其交线就是A、B间所逝连的隐直线腿。两蚁个法灶面所尽截得警的法截夫线Aa贿B和Bb续A也不重皮合而形蒜成一诵狭小困的二面阻角。这租两条扑法截熔线称鹊为相对沙法截专线。现在证明na和nb将不裳重合。设在旋椭球杠上任记取不彼在同双一子偶午面植和平斜行圈呆上的勺两点A和B，纬揭度分乘别为B1和B2，且葵二者啊不等辉，过A、B两点爆分别法做法墙线与划短轴叨交于na和nb两点汪，与室赤道望面分金别交其于Q1和Q2。如图又则正、聚反法呜截线：A点照坡准B，照纵准面某同椭帅球面讨的交闻线Aa迎B，叫帆做A点的正法悼截线，或天者B点的反法锐截线池；同公样，B点照披准A，照准赔面同猜椭球沟面的揭交线Bb蜜A，叫播做B点的正法钩截线，或斩者A点的反法报截线处。夹把Aa今B和Bb荣A叫做A、B两点员的相对掀法截煌线。由公享式雁知酿，当B2＞B1时，冻卯酉建圈曲群率半竟径N随纬闷度B的增卸大而宿增大球，Onb＞Ona。这秩就是虚说：宣某点密的纬筐度愈升高，出其法播线与咏短轴现的交熟点愈布低，AB方向忍在不绑同的傻象限吐时，材正反扔法截剖线关屯系如唇图：由纬换度B低的点携照准享纬度高的点鹊，法祝截线南偏；由纬晕度B高的点结照准择纬度低的点鲁，法遵截线北偏；在北半球鱼，如A点位柏于B点以南，则A点的嫩正法截线Aa老B在反床法截熄线Bb住A的南面，劈燕如上绑图。当A、B两点讽在同方一子颈午圈城或同基一平聋行圈行上时脏，相占对法抖截线秩是重匆合的葵，夹谁角为0。相对蛾法截边线通常醉是不拔重合的，去两者送所夹据的小呈角Δ有下喘列数呼值：当S=氧15疾km时，Δ=猫0.烈00父1″S=秃20炸km时，Δ=槐0.质00夜2″S=败30痕km时，Δ=猴0.鱼00洁7″S=虹50笑km时，Δ=概0.热01洁″由上墨可知:相对带法截纺线所悦夹的朵角是考很小否很小竭的。晌当S=伞50作km时，Bm=4惨5°，A=贷45萝°时，女两法平截线捏分开咬的最筐大距筒离为0.佩00锅08磁m。从上穴面Δ的数占值看苦，当欠距离尤不超呀过30公里孕时，石可以沾不考肺虑Δ所引献起的资问题威，而剃认为万相对泽法截惯线是鞋重合弹的。当两服点间澡距离旧较长急时，碌相对置法截测线不飞重合察会带浊来如桥下的甘问题颤：如上鸡图，缠在A、B、C三个脾点上疫，由和两条正法臭截线表示乘的角祥度，并不鸭能构成抛一完幸整的示三角各形，便这就幼造成秤几何千图形粥的破裂。因瓜此需族要在范相对傲法截孕线间华寻求印一条绝合适撑的曲贸线，药以代复替相户对法迹截线奴。经辰理论江证明厅，这材一合缠适的年曲线曾就是衣介于壤相对象法截续线之烟间的尚大地绣线。二、幸大地哭线的下定义疑和性凝质在椭园球面援上两霸点间润最短昼的线懂是大地惕线。在微疲分几吐何中债，大母地线估（又查称测猛地线坡）另趣有这故样的箱定义蒸：“为大地稿线上勺每点位的密掘切面申（无相限接垮近的眯三个检点构疏成的厦平面膏）都尝包含损该点畜的曲活面法恋线”鸟，亦及即“蓄大地友线上旱各点竭的主朋法线绍与该揭点的砌曲面宾法线什重合克”。即因曲亮面法而线互佛不相跃交，扣故大约地线枝是一例条空俊间曲牌面曲恐线。假设颂椭球挑面没踪蝶有任捐何磨降擦力贯，在拣椭球小面上招两点怪间紧红拉一询条细陡线，贼则此野细线调的位潜置就遣和大虾地线干一致壳。大地至线的叹形状砍如图雄所示篇，大指地线暴是一少条曲贼线，室其长规度可划以用需下式缘瑞计算论：大地绢线与抛法截逢线的题长度石之差梳甚微瘦，实筒际上园可以益不必考艰虑两役者之规差。大地抄经纬边度决定钟了地晌面点悬在椭球面受上的突绝对淋位置境，大地饭方位赏角则决削定了巧椭球倡面上两瞧点间叛大地镰线的编方向尘，大床地线宰和由币它们底所构何成的球贷面角日是组此成椭团球面却上大溜地控谎制网尺的基殖本元控素。大地暗线的漠性质:大地侍线是蛛介于誓相对帽法截刑线之多间的童一“S”形曲迹线。两端与正法贞截线的夹角为δ。不在辰同一泉子午抵圈或伏同一奋平行松圈上阔的两衬点的屿正反屿法裁秘线是友不重跪合的正，它掌们之筝间的必夹角贪△；姑大地棍线是棕两点封间惟地一最矮短线底，而梢且位铲于相牛对法鞋截线震之间但，并栏靠近驼正法纤截线怒，它技与正悄法截后线间尊的夹珠角在椭并球面赛上进朗行测召量计狂算时专，应钟当以督两点见间的胁大地卵线为落依据注。在姓地面蔬上测箭得的屋方向然、距全离等异，应道当归案算成锈相应秩大地枯线的夏方向造、距勉离。实际施计算裕中：在一垮等三搂角测铲量中爸，δ数值可达尖干分之索一二遇秒，链可见惯在一奇等或经相当弟于一浩等三似角测早量精度回的工店程三毁角测井量中庙是不拌容忽伞略的爪。大地卸线与稳法截朗线长度原之差只有衬百万弓分之刮一毫米，顶所以辟在实盲际计叙算中锐，这雾种长串度差油异总养是可型忽略不耗计的妖。长度差异治可忽省略,方向差异好需改寨化。大地贞线的骨微分同方程庆和克掀莱劳蚊方程设P为大魔地线合上任孤意一胆点，忠其经裂度为院Ｌ，平纬度酬为Ｂ男，大存地线播方位啄角为字Ａ。滑当大化地线肺增加dＳ到P1点时作，则上述煎各量昨相应业变化dL，dB及dA。所谓大地朝线微急分方维程，即素表示dL、dB和dA与dS的关忘系。dS在子劫午圈业上的肥分量dS在平桶行圈狡上的带分量大地喂线的唤微分思方程以上裳三式微称为久大地抵线的欧微分棍方程三角仇形PP2P1是一夫微分私直角茎三角逃形大地压线的碗微分福方程推导细大地凝线的薪克莱璃劳方滨程此式题就是差克莱病劳方道程，主也叫占克莱锻劳定窜理。哭定理裁表明鸟：在旋乞转椭除球面留上，超大地腾线各磨点的缝平行会圈半摆径与紫大地吸线在鉴该点温的大邀地方馆位角套的正做弦的晒乘积围等于欺常数葵。式芬中常旨数C也叫所大地屿线常爽数循。大地挡线的躬克莱甜劳方变程：忘表明杆了大岔地线缝在椭支球面慎上的久走向忽。两边观积分动，易您得当大削地线块穿越袄赤道品时当大波地线宅达极伶小平撑行圈瞎时由此连可见眼，某一大地美线常冷数等于吸椭球妖半径浸与该器大地声线穿敞越赤尺道时诸的大蜻地方万位角慕的正下弦的尸乘积握，或爪者等辩于该呢大地毛线上丈具有变最大贪纬度市的那藏一点械的平挑行圈忆半径枪。由克肉莱劳臭方程扯可以跃写出此关语系式道可以狮检查街纬度蒙和方福位角支计算淹的正肆确性赵。克莱扇劳方率程还句有以嗽下形阶式：6.称4将地兴面观虚测值妹归算族至椭锯球面1.概述参考炸椭球肥面是测量缸计算的基准艳面。在递野外竞的各蛇种测婶量都虾是在能地面叠上进巩行，观测揭的基权准线不是慨各点祖相应自的椭名球面宰的法蛮线，敬而是架各点并的垂线，各委点的糖垂线位与法熊线存改在着垂线拖偏差。因柱此不往能直喝接在朋地面疲上处联理观寺测成玩果，料而应植将地武面观跌测元池素（欢包括炉方向竞和距烂离等灾）归摔算至捏椭球旗面。1）归锋算的意义：归算筹是将地面评元素转化膜为椭球夫面上的励桥梁乱。通过戒归算凡，为轮在椭庸球面抗的测鹅量计垫算提起供数上据。2）归托算的基本丢要求：以椭穗球面法线为基记准线沙。地面点沿法用线投害影到缩慧椭球劝面。椭球垂面两点份连线用大在地线浸。将地渣面观魂测元油素加入波适当庙的改误正数化为权椭球结面上大地碑线的相意应元拦素。3）地面疏观测引元素眠的归算爹内容：水平确观测仗方向雅、观作测天图顶距词归算光、地蓝面长涌度归素算、恼天曾文经惩纬度铸和方喷位角腿归算切等方筒面1.将地活面观筒测的水平愉方向归算牵至椭灾球面的内谷容：将水组平方屑向归前算至跪椭球顺面上某，包苍括垂音线偏钥差改野正、鬼标高筐差改衫正及杂截面仰差改价正，著习惯竭上称责此三行项改确正为三差晶改正。1)垂线紫偏差未改正δu产生筑原因尤：地面振上所苍有水怖平方潮向的此观测都是箭以垂线为根杠据的鸭，而储在椭抗球面程上则要求押以该潜点的法线为依钥据。刑把以惩垂线则为依据蔑的地中面观鲜测的臂水平字方向势值归说算到帐以法线龙为依逃据的拜方向勒值而工应加右的改大正定甘义为垂线雅偏差改正绝，以δu表示撑。如上周图所驰示，施以测站Ａ为中神心作伤出单障位半纵径的辅辅助鲜球，μ是垂里线偏培差，锄它在听子午蜓圈和棒卯酉杏圈上石的分肃量分铅别以ξ、η表示葵，M是地面牲观测技目标m在球禽面上竹的投石影。垂线蜂偏差繁对水左平方技向的塘影响么是(R君-R1)，垂线呼偏差晋改正吸的计算滩公式是：式中遗：ζ，η为测所站点意上的范垂线捆偏差吗在子凤午圈桌及卯驻酉圈饰上的筋分量随，它删们可悠在测棋区的栏垂线刷偏差关分量幅图中诞内插港取得先；Am为测站站点规至照尿准点耗的大温地方削位角看；Z1为照添准点回的天级顶距热；α1为照巴准点炉的垂化直角数。结论攻：垂线耐偏差舒改正同，不负仅与着测站秘的垂线设偏差有关军，而妈且与本观测士方向衬的方位吓角和垂直匀角有关懒。当恨法线袄与铅民垂线株一致访，或钢者照名准点敌在zz1O面内秩，或狭者照雪准点脱在测慌站水匹平面股上时耀，垂化线偏尖差改粱正为例零。δu为0的情舞况：（铅抢垂线刊与法拴线一枣致）（照阻准点古在铅狗垂线防与法追线组填成的候平面崇内）（照为准点紫在测善站水权平面辨内）δu最大同的情量况：即当粱观测结方向具与垂饲线偏浪差方防向垂既直时概。垂线晕偏差自改正适用仍范围：一、姐二等趣角测携量三、签四等兴三角荷测量亲中，栗当μ和α较大极时2)标高它差改派正δh标高晴差改椅正又凝称由照准吼点高循度而引匹起的舱改正初。不都在同一码子午蹲面或元同一坏平行单圈上徒的两纵点的漠法线抚是不我共面的。罗当进颜行水课平方叠向观霜测时诉，如帆果照韵准点锐高出爹椭球面某柱一高快度，径则照亿准面酬就不粥能通泛过照仪准点怨的法梯线同椭球孕面的浓交点舱，由惩此引祸起的虏方向枕偏差臭的改篮正叫锈做标高差听改正括，以δh表示屋。产生邪原因构：由于A、B两点扣的法捡线不矿在同株一平赔面所产生饥（即失照准女点不办在椭专球面悄上）。如右哗图所厕示，A为测兰站点穗，如香果测站浊点观测浴值已加夕垂线沟偏差笔改正，则副可认灰为垂凑线同雷法线偶一致次。这时测矛站点痒在椭眠球面盐上或浓者高检出椭逼球面债某一孕高度毛，对水平轧方向挥是没有并影响的。绢这是写因为章测站疑点法僻线不勒变，则通州过某庸一照顽准点兵只能载有一慕个法完截面舟。设照准索点高出娱椭球庙面的搅高程恒为H2，Ana和Bnb分别悦为A点及B点的技法线块，B点法悉线与客椭球顶面的卖交点秀为b。因为通放常Ana和Bnb不在地同一略平面拐内，晓所以各在A点照晃准B点得义出的恒法截项线是Ab’而不础是Ab，因凉而产障生了Ab同Ab’方向膝的差容异。季按归记算的毯要求手，地共面各股点都谢应沿尽自己祖法线患方向甘投影火到椭针球面止上，保即需店要的肤是Ab方向具值而江不是Ab’方向计值，返因此哥需加浮入标镜高差蠢改正由数δh，以吨便将Ab’方向素改到Ab方向贩。标高霞差改呼正的计算且公式：公式异中：H2为照得准点志高出禽椭球麦面的哀高程渠，它由叹三部万分组膀成：其中H常为蒙照准壶点标坏石中哲心的纠正常兄高，ζ为高程轮异常体，α为照银准点瓜的觇标赚高，B2是照滤准点掏纬度勿，M2是相铜应的舱子午模圈曲锤率半葵径。A1为测善站点叠至照苹准点采的大辜地方宇位角劝。标高已差改塘正主要甜与照准水点的穿高程港有关赛。经派过此溪项改奏正后翻，便将维地面女观测届的水搅平方汁向值疤归化冷为椭块球面茄上相饮应的宋法截碰弧方罪向。δh为0的三疯种情纵况：H2=0照准度点在椭球四面上A1=0°，90°，18甲0°，27绪0°照准闲点在测姿站点堤的子午走圈或平行载圈上B2=±90°照准墙点在极台点上适用包范围：一、脉二等拜角测谱量三、授四等扎三角邪测量返中，重当海肚拔高潜于70状0m时2）标举高差冷改正Co隆rr服ec烂ti敢on设f禾or怜s佩ke鸽wno染rm摇al假s3）截赚面差叨改正δg在椭奸球面轧上，邪纬度遍不同倘的两封点由既于其逃法线年不共梅面，龟所以独在对向张观测时相对决法截窗弧不巡寿重合，应挺当用蔑两点遇间的大地编线代替就相对青法截皆弧。贱这样屡将法截技弧方向盈化为大地苏线方向担应加踏的改可正叫搜截面晋差改扛正，算用δg表示安。产生拳原因：法门截线纠与大加地线草不一科致。如图估所示避，Aa愈B是A至B的法宝截弧滨，它钱在A点处税的大地透方位锈角为A1’，AS跟B是AB间的资大地也线，绸它在A点的塑大地滋方位钻角是A1，A1与A1’之差δg就是慎截面差赢改正浓。截面甲差改筛正的计算跌公式：式中S为AB间大膀地线投长度峰，茂，N1为测注站点纬贸度B1相对画应的浅卯酉吐圈曲户率半猪径。δg为0的情虎况：A1=0舟°、90蒜°、18隆0°、27摆0°照准钩点在梁测站泽点的宇子午秒圈或泊平行悲圈上适用肺范围：一等精角测斩量天文贝方位膜角归德算为贝大地孝方位遵角按焰（3-愿17绢0）（约前面闯第三婆章已呈讲）天文示天顶醉距归既算为贯大地漆天顶商距按微（3-冷17狠3）4、三音差改饱正的善计算现行办作业取一般界规定鲁，一等三角邮测量导应加棒三差你改正务，二等三角梁测量姥应加费垂线祝偏差驴改正俯和标向高差倾改正浙，而版不加格截面善差改钞正；三等腾和四抓等三角泼测量偷可不食加三蛋差改油正。拘但当煌时或米者H>2秩0异00胜m时，甩则应捏分别使考虑束加垂呆线偏歼差改冰正和子标高衰差改跪正。六在特顺殊情舱况下鞭，应布该根贫据测插区的灿实际子情况杨作具颜体分摧析，梨然后略再做晨出加难还是目不加捕改正普的规爪定。皂如下陶表所历示：三差改正主要关系量是否要加改正一等二等三、四等垂线偏差加加酌情标高差截面差不加将地指面观雪测的满长度因归算小至椭赏球面根据丧测边俱使用戏的仪关器不克同，侦地面业长度助的归雕算分两种：一魄是基线由尺量距额的归笛算，宽二是电磁相波测距贪的归丝式算。1基线任尺量眠距的甩归算将基帅线尺蛾量取昨的长鲁度加卸上测拘段倾祝斜改舞正后情，可光以认作为它查是基久线平均责高程换面上的战长度傅，以内Ｓ０表示耕，现颂要把映它归箭算至参考订椭球浓面上的塔大地浅线长祥度S。1）垂蓄线偏术差对社长度沿归算管的影划响2）高程梦对长谋度归浅算的严影响如果缓将上已式展乞开级掉数，心取至假二次冬项，3）顾及廊以上裙两项率，则地面述基线浓长度归算蛙到椭捉球面剖上长须度的塘公式经过饼以上胸计算体，便肢得到怖椭球之面上税的基担线长让度。2.电磁从波测狡距边宾长归唉算椭他球面电磁膀波测刑距仪锁测得办的长沈度是配连接释地面忙两点闯间的直线择斜距，也居应将灯它归筝算到参考应椭球繁面上。如图剥，大摔地点Q1和Q2的大匙地高市分别烂为H1和H2。其剖间用织电磁桶波测啄距仪叠测得食的斜雄距为D，现均要求钻大地凤点在捕椭球恼面上沿法夜线的投泥影点Q1’和Q2’间的大地誓线的长虚度S。在工致程测崭量中瞎边长赚一般商都是堪几公逃里，触最长冤也不内过十壳几公拜里，偷因此灯，所召求的大地侧线的怠长度可以钢认为是半径垫相应描的圆弧颤长。电磁珠波测堡距边纹长归句算椭冻球面干上的计算遭公式为：式中电磁凤波测智距的酒归算壮公式锈推导授：将上订式按喘反正修弦函探数展徐开级究数，括舍去原五次乳项，窃得进一是步化句简得田：下式时为两面点间享的弦点长：电磁右波测蜻距边嘉长归挪算的几何讲意义：（1）计夏算公膊式中匹右端误第二榆项是默由于根控制喂点之高差引起炎的倾斜俱改正的主所项，奥经过银此项屡改正悟，测忙线已购变成平距；（2）第贴三项兔是由窃平均灯测线高出参考译椭球踪蝶面而捕引起甜的投影橡改正，经热此项笑改正轧后，堂测线质已变寻成弦线；（3）第造四项桐则是须由弦间长改天化为弧长的改熊正项筛。显然案第一亡项即拌为经柔高差隔改正暑后的友平距嫁。问题算例册见下白表，猴用上堵述两丈个公声式计逃算将悟电磁诊波测唤距边剑长归衫算至袍椭球崭面上蹄。已知电磁捐波测圣距边沸长归夜算至姿椭球伴面上使的计已算公问式还见可用汽下式谣表达扶：4.籍7大地友测量雅主题勉解算4.辫7.危1大地鬼主题巾解算粉的一献般说怨明大地歪元素:大地仅经度L、大好地纬碰度B、两钢点间的大巷地线妄长度S及其辣正反尾大地旱方位猴角A12、A21。大地吊主题姻解算：如自果知圈道某熟些大饼地元拨素推求另贡一些远大地赖元素渗，这底样的踩计算嗓问题遗就叫筹大地主题光解算劝，大勉地主芳题解蚊算有亡正解惠和反巧解。大地聚主题兽正解广：已知Pl点的榴大地您坐标(L1，B1)，P1至P2的大虾地线胀长S及其回大地倡方位桶角A12，计写算P2点的青大地建坐标(L2，B2)和大站地线S在P2点的晒反方伙位角A21，这危类问猜题叫呼做大地地主幻玉题正丘解。大地变主题瓣反解蛋：如果旱已知P1和P2点的仁大地耳坐标(L1，B1)和(L2，B2)，计姨算P1至P2的大杜地线年长S及其列正、蔬反方翼位角A12和A21这类趣问题玩叫做苍大地范主题迫反解饿。根据轧大地露线的阀长短违，主顿题解竹算分恳为:短距遥离(<诊40孩0k啊m)，中距罩离(<担10织00墨km性)，长距努离(1耍00皆0k星m以上)大地驰主题外解算芒根据启不同悠理论墓基础怠可分炕五类拉：1．以跪大地榴线在唱大地略坐标却系中苍的微闻分方库程为愿基础验，直抚接在枯地球曾椭球忍面上负进行庸积分建运算吓。2．以屋白塞遮尔大邪地投能影为却基础恩。3．利睛用地盛图投纲影理援论解盐算大拿地问烈题。4．对张大地鉴线微作分方足程进拒行数堂值积猎分的枣解法听。5．依谎据大柜地线必外的杀其他在线为想基础溜。1.以大蚁地线稳在大厘地坐街标系斜中的障微分恒方程五为基段础，朴直接道在地糟球椭递球面阻上进惊行积村分运骆算。主要烤特点区：解升算精扒度与登距离驰有关衔，距赔离越饶长，悠收敛退越慢炎，因趟此只慈适用括于较肃短的端距离典型涛解法温：高斯柔平均耍引数垫法2.以白次塞尔剩大地插投影猜为基铃础白塞怒尔大尘地主惰题解姑算的弊步骤株：1)按椭权球面赶上的辫已知盯值计驻算球桑面相事应值肺，即登实现椭球培面向球面的过李渡；2)在球面上解肃算大升地问蒜题；3)按球丙面上汇得到顷的数丘值计掌算椭壶球面拥上的迹相应段数值桨，即径实现氏从圆球向椭球的过蜘渡。典型酷解法册：白塞禽尔大业地主羽题解喂算特点腊：解算呀精度谁与距知离长隙短无技关，幻玉它既腔适用扒于短蜘距离乖解算纺，也车适用够于长士距离样解算这。可产适应20秃0养00古km或更找长的采距离佳，这台对于群国际营联测及，精挑密导浙航，倘远程五导弹量发射楼等都西具有艘重要斧意义蔬。3利用任地图运投影煌理论安解算决大地拔问题如在熊地图惩投影穗中，给采用禁椭球谷面对循球面沙的正绿形投稍影和蔬等距证离投娱影以凭及椭场球面甚对平帝面的丛正形昨投影吊（如库高斯绝投影极），迷它们停都可业以用亦于解粮算大担地主吧题。思这类衔解法受距盗离的津限制，只片在某罢些特它定情平况下静才比砖较有禁利。4对大睬地线刷微分两方程掩进行也数值已积分逃的解涝法这种臣解法宽直接早进行数值姻积分计算却以解碍决大道地主倘题的玩解算杜。常用昌的数岭值积灶分算法有高槐斯法勇，龙规格—库塔回法，计牛顿瓣法以米及契邮巴雪仙夫法疗等。属这种禾算法牺易于张编写众程序窜，适用于任早意长胃度距璃离。缺点是随讯着距局离的绿增长晒，计预算工瞧作量麻大，漂且精铸度降植低，围而在叫近极白地区暖，这秒种方赏法无魔能为兼力。5依据方大地探线外铃的其管他线计为基河础连接虏椭球携面两绢点的舞媒介雁除大地眉线之外殊，当有然还犁有其驰他一底些意鄙义的贞线，迟比如弦线、法截更线等。述利用弦线解决念大地盯主题实质是三薄维大滚地测讯量问筹题，载由电贫磁波殖测距堵得到柜法截液线弧陡长。4.诉7.出2勒让控德级堂数式在过的已知苦点P1(L1，B1)且在霞该点仅处