高中数学-两角和与差的余弦教学设计学情分析教材分析课后反思

人教B版数学必修4：两角和与差的余弦（一）（一）教学目标1.知识与技能：（1）理解两角和与差的余弦公式的推导过程，熟记两角和与差的余弦公式；（2）会运用两角和与差的余弦公式，解决相关数学问题；2.过程与方法：（1）通过对公式的推导提高学生研究问题、分析问题、解决问题能力；（2）在探索过程中体会从特殊到一般的数学思想；3.情感、态度、价值观：（1）让学生在公式的推导和运用过程中体验成功的喜悦，培养学生不怕困难，勇于探索的求知精神；（2）通过观察、对比体会公式的对称美、思维的和谐美，给学生以美的陶冶。（二）教学重点、难点重点：两角和与差的余弦公式的推导及应用。难点：两角差的余弦公式的推导。（三）教学方法本节主要是采用数形结合的思想，由代数的精密推导和几何的直观性，推导出两角差的余弦，使学生养成数形结合的习惯；另外，整体上是由特殊到一般，再由一般回归特殊应用的辩证唯物思想的方法，这样学生易接受。（四）教学内容安排教学环节教学内容师生互动设计意图温故知新单位圆与三角函数线平面向量的数量积定义平面向量的数量积的坐标运算老师ppt呈现复习内容，学生完成填空；写出向量的数量积以及它的坐标运算的公式。以旧带新，注意创设问题的情境，为新知识的讲解奠定知识基础。大胆猜想问题1：150可以用哪两个特殊角表示？问题2：cos150可以用两个特殊角三角函数值作差表示吗？即：成立吗？师：思考题：请同学们小组讨论，大胆猜想这两个问题的答案。生：150可以用450-300，还可以用600-450表示。生:不可以。因为cos450=QUOTE2222，cos300=QUOTE3232，cos450-cos300=QUOTE22-3222-而cos150>0，所以不可以这样表示。小组讨论，大胆猜想，通过完成问题1、2，为本节的两角和与差余弦公式打下基础，并给学生们一个自由的空间，逐步培养他们的合作能力和创新能力。合作探究——公式的推导以及理解用向量的方法探讨问题:cosQUOTE∠∠POQ=cos(450-300)=?问题：由上式出发，你能推广到对任意的两个角QUOTEα,βα,β的关系式吗？即：任意角QUOTEα,βα,β，对cos(QUOTEα-βα-β)=cosQUOTEαcosβαcosβ+sinQUOTEαsinβαsinβ成立吗？公式理解：两角差的余弦公式cos(QUOTEα-βα-β)=cosQUOTEαcosβαcosβ+sinQUOTEαsinβαsinβ用-QUOTEβ代替ββ代替β两角和的余弦公式cos(QUOTEα+βα+β)=cosQUOTEαcosβαcosβ-sinQUOTEαsinβαsinβ总结：1、公式中两边的符号相反；2、右边是单角α、β的余弦积与正弦积构成；3、要计算和差角余弦需要4个量。记忆口诀:余余正正,符号异使用范围：QUOTEα，βα，β师：同学们小组讨论一下，用向量的方法，我们该如何求解cosQUOTE∠∠POQ=cos(450-300)生:小组探讨，汇报讨论结果，老师评价并补充。ppt呈现正确解答.师：用向量的方法探讨cos(QUOTEα-βα-β)=?生：小组讨论，有思路的小组积极汇报讨论结果，老师点评。师：点评学生们讨论的结果，然后引导学生进行正确推导。在ppt上展示正确推导过程。师：请同学们观察两角和与差的余弦公式，你们发现了什么规律？如何记忆？并猜测公式的适用范围？生：认真观察这两个公式，总结规律。踊跃发言，畅所欲言。师：对于学生的回答，点评，补充。然后将其归纳整理，展示给大家。用向量的方法探讨450和300两角差的余弦值该如何用向量的方法表示。先了解特殊角的余弦值的的推导过程及向量求解方法的思想，为一般角的公式推导奠定基础。在特殊角的公式推导的基础上进行延伸，完成一般角的两角和的余弦公式的推导，培养学生分析问题的能力以及类比推理能力。让学生们自己观察公式，归纳公式的规律，引导学生开展积极的思维活动，提升学生的归纳能力和概括能力。公式的应用探究突破一：特殊角余弦值的计算例1.①利用公式QUOTECα±βCα±β求cos150及cos1050的值。探究突破二:应用余弦公式证明诱导公式例1.②利用公式QUOTECα±βCα±β证明诱导公式cos(QUOTEπ-βπ-β)=-cosQUOTEββcos(QUOTEπ2+βπ2+β)=-sinQUOTEββ探究突破三：余弦公式的逆用（非特殊角）例1.③逆用公式QUOTECα±βCα±β化简求值：cos80°cos20°＋sin80°sin20°.探究突破四：余弦公式的逆用（名称变化）例1.④逆用公式QUOTECα±βCα±β化简求值：cos80°cos35°＋cos10°cos55°.师：同学们，请看例1，完成cos150及cos1050的计算。生：cos15°=cos(45°－30°)=cos45°cos30°+sin45°sin30°=QUOTE6+246cos105°=cos(45°+60°)=cos45°cos60°-sin45°sin60°=QUOTE2-642生：完成例1②cos(QUOTEπ-βπ-β=cosQUOTEππcosQUOTEββ+sinQUOTEππsinQUOTEββ=-cosQUOTEββcos(QUOTEπ2+βπ2=cosQUOTEπ2π2cosQUOTEββ-sinQUOTEπ2π2sinQUOTEββ=-sinQUOTEββ学生思考、讨论解决，教师巡视指导。然后学生回答解题过程。例1.③cos80°cos20°＋sin80°sin20°=cos（80°-20°）=QUOTE1212例1.④cos80°cos35°＋cos10°cos55°=cos80°cos35°＋sin80°sin35°=cos（80°-35°）=cos45°=QUOTE2222例1的四个题目是针对四个探究突破设计的，有助于学生快速接受公式的应用。帮助学生掌握公式的正向和逆向应用，并进一步熟悉公式的特征，为后面的灵活运用做铺垫。巩固训练求值：用公式QUOTECα±βCα±β证明：（1）、cos（QUOTEπ2-απ2-α）=sinQUOTEαα（2）、cos（QUOTEπ+απ+α）=-cosQUOTEαα典型例题：例2．已知cosQUOTEαα=-QUOTE4545，（QUOTEπ2<α<ππ2<α<π），求cos（QUOTEπ6-απ6-α），cos（QUOTEπ6+学生自主完成题目1、2，然后进行口答。老师进行点评，若出现错误给予指正，若无误，及时给出肯定。总结：1.把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值.2.在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角和差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值.3.运用公式解题时，要记清公式的结构特征，尤其是中间的符号.4.熟记特殊角的三角函数值，是解决求值问题的基石．题目1、2属于基础题目，重点在于公式的应用，快速完成这两道目，深化学生对公式的理解和记忆。例2作为一道典型例题，显示出灵活运用公式的优越性，必然会给学生留下深刻的印象，及时小结，升华公式，有助于学生解题技巧的形成。归纳小结知识方面：1、基本公式cos(QUOTEα±βα±β)=cosQUOTEαcosβ∓αcosβ∓sinQUOTEαsinβαsinβ注意：明确公式结构：余余正正符号异；会正、逆向思维。2、基本应用.应用公式求值，化简，证明（2）.公式的正用、逆用、变形应用数学思想方面：1．特殊与一般2.转化划归依照板书，与学生共同总结本节课的内容。引导学生总结回顾，采取提问两个或三个学生的方式，补充提炼重点。系统地总结回顾本节课所学的内容，有助于学生形成清晰的知识网络；体现了由特殊到一般，以及数形结合的数学思想。布置作业课本P135B.2.3问题预测：学习了两角和与差的余弦公式cos(QUOTEα±βα±β)=cosQUOTEαcosβ∓αcosβ∓sinQUOTEαsinβαsinβ，你觉得sin(QUOTEα±βα±β)也有类似规律吗？还有tan(QUOTEα±βα±β)?巩固本节课所学的知识，培养学生自觉学习的习惯，同时给学有余力的学生留出自由发展的空间。其次，注重公式的形成过程以及公式的应用，有助于学生突破重难点。学情分析已有知识水平：学生在必修四第一章已经学习了三角函数的有关知识，但是只是掌握了单角的的三角函数，这对于接下来学习两角和与差的余弦公式奠定了知识基础,在第二章学习了向量的数量积，为公式的推导奠定基础。学习习惯：学生没有养成很好的学习习惯，在教学过程中要注意和学生们多沟通，并且注重引导学生，帮助他们培养良好的学习习惯，更高效的学习。具备的优势：第二学习了单位圆与三角函数线、特殊角的三角函数值、诱导公式等内容，这为教师引入两角和与差的余弦公式做了很好的铺垫，有助于学生更快的接受公式；另外，高中生在思维上具有跳跃性，他们的求知欲很强，对新知识的接受能力也很强。效果分析在本节课的学习过程中，学生积极思考、反应迅速。从课堂上的典型例题、巩固训练的做题情况来看，本节课教学效果良好，同学们基本上完成了相应的教学目标。经过本节课的学习，学生理解了两角和与差的余弦公式的推导过程，利用口诀准确快速地记住了两角和与差的余弦公式；并会运用两角和与差的余弦公式化简、求值和证明。通过课堂上的四个探究突破，学生感悟到如何应用公式解决问题，体会到公式的正用、逆用，增强了逆向思维。学生在公式的推导和运用过程中体验到成功的喜悦，培养了勇于探索的求知精神，敢于利用所学知识探索未知世界。本节课注重与学生的互动，充分体现了“在教学过程中，教师主导，学生是学习的主体”。在课堂上，尊重学生的主体地位，引导学生积极思考，培养学生主动思考的能力，有一定的效果。教材分析《两角和与差的余弦》是高中数学必修四第三章第一节的内容。它是前面所学的任意角的三角函数和诱导公式等知识的延伸，同时又是两角和与差的正弦、正切和二倍角公式的基础，具有承上启下的作用，且对于三角变换、三角函数式的化简、求值及恒等式证明等问题的解决有重要的支撑作用。本节课主要讲授两角和与差的余弦公式的推导以及应用。评测练习1.cos(-15°)的值为（）A.B.C.D.2.cos78°·cos18°+sin78°·sin18°的值为（）A.B.C.D.3.化简cos(α+β)·cosα+sin(α+β)·sinα得（）A.cosαB.cosβC.cos(2α+β)D.sin(2α+β)4.若sinα-sinβ=1-,cosα-cosβ=-,则cos(α-β)的值为（）A.B.C.D.15.若sin(π+θ)=,θ是第二象限角，sin(+φ)=,φ是第三象限角，则cos(θ-φ)的值是（）A.B.C.D.6.在△ABC中，若sinAsinB<cosAcosB,则△ABC的形状为________.7.已知，求的值。课后反思两角和与差的余弦公式是任意角三角函数知识的延伸，是后继内容两角和与差的正弦、余弦、正切，以及二倍角公式的知识基础。在课程结束后，我进行了反思。一、反思教学理念有效性教学倡导课堂教学中，要重视学生的参与，实现“教”与“学”的和谐统一。新课程理念下强调关注学生的发展，不仅关注学生的学习结果，更要关注学生的学习过程。但在此过程中，教师的指导作用也不可忽视，没有教师的引导，学生的行动、思维就很难达到一个较高的程度。教师通过创设激发学生学习欲望的情境，营造积极活跃的学习氛围，可让学生更好地参与到学习中去。

二、反思教学过程

1.创设问题情境：在新课开始之前，让学生大胆猜想非特殊角的余弦值，进而引入新课，充分调动学生的思维与学习积极性，激发学生的学习兴趣。2.两角和与差的余弦公式的推导过程：之前旧教材的教学是用两点间的距离公式来推导两角和的余弦公式，再赋值得到两角差的余弦公式，这一过程中学生的思维没有得到很好的训练。而新教材采用了一种学生易于接受的推导方法，即利用数形结合的思想，运用单位圆与平面向量的数量积进行探究，使学生易于理解和掌握。我采用的是新教材的思路，有利于提高学生运用向量解决相关问题的意识和能力。3.两角差的