华师大版八年级下册进阶培优训练第十五讲正方形性质与判定培优辅导含答案

第十五讲正方形性质与判定培优辅导

一、知识梳理

1、正方形的定义：叫做正方形。

2、正方形的性质：正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形.它具有前三者的所有性质，还具有

自己独特的性质①边的性质：.

②角的性质：.

③对角线性质：.

@对称性：正方形是图形，也是______________图形.

3、正方形的判定

判定①是正方形.

判定②是正方形.

判定③是正方形.

二、经典例题＜正方形形的性质＞

【例1】如图，尸为正方形对角线上一点，PE工BC于E,0尸_1_8于下.必与£^有怎样

的关系？请说明理由.

【变式题组】

如图所示，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连结BE,DG.观察猜想BE与DG之间的

关系，并证明你的猜想的结论.

【例2】如图，正方形ABCD中，E,F分别为AD,DC的中点，BF,CE相交于点M,求证：AM=AB.

【变式题组】如图①，已知正方形A8CD的对角线AC、BD交于点O,E是AC上一点，连结E8,

过点A作AMLBE,垂足为M,AM交BD于点F.

⑴求证：OE=OF；

(2)如图②，若点E在AC的延长线上，AMLBE于点M,交的延长线于点F,其他条件不变,

则结论“OE=OF"还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.

＜正方形的判定》

【例3】如图，已知平行四边形ABC。中，对角线AC、8。交于点。，E是8。延长线上的点，且4

ACE是等边三角形.

⑴求证：四边形4BCO是菱形；

⑵若NAEZ)=2NEAO,求证：四边形ABC。是正方形.

【变式题组】如图，ZVIBC中，点。是边AC上一个动点，过0作直线MN/BC,设MN交/BCA

的平分线于点E,交/BCA的外角平分线于F.

(1)探究线段0E与OF的数量关系并证明；

⑵当点。运动到何处时，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？

⑶当点。在边AC上运动时，四边形8CFE会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由：

三、正方形最值问题

【例4】如图，在平行四边形ABCD中，AB=4a,E是BC的中点，BE=2a,ZBAD=120°,P是

BD上的动点，则PE+PC的最小值为.

2、如图，正方形ABCD的边长是2,NDAC的平分线交DC于点E,若点P、Q分别是AD和AE

上的动点，则DQ+PQ的最小值为.

3、如图，正方形ABCD的面积为4,ZXABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC

上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为.

【变式题组】如图，四边形ABCD是正方形，4ABE是等边三角形，M为对角线BD(不含

B点)上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接EN、AM、CM。

(1)求证：△AMB^^ENB；

(2)①当M点在何处时，AM+CM的值最小；

②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由;

(3)当AM+BM+CM的最小值为石+1时，求正方形的边长。

四、【综合提升】【例5】数学课上，张老师提出了问题：如图1,四边形ABC。是正方形，点E是

BC边的中点.N4EF=90。，且E尸交正方形外角NDCG的平分线C尸于点尸，求证：AE=EF.

经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取A8的中点M,连接ME,则似AM=EC,易证△

AME^/\ECF,所以

在此基础上，同学们进一步的研究：

⑴小颖提出：如图2,如果把“点E是边8C的中点”改为“点E是边BC上(除B、C外)的任

意一点”，其他条件不变，那么结论”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果

正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；

(2)小华提出：如图3,点E是边8c的延长线上(除C点外)的任意一点，其他条件不变，结论“AE

=E尸’仍然成立.你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明

理由.

图1

【例5】探究问题：(1)方法感悟：

如图①，在正方形ABCD中，点E,F分别为DC,BC边上的点，且满足NEAF=45°,连接EF,

求证DE+BF=EF.

感悟解题方法，并完成下列填空：

将4ADE绕点A顺时针旋转90°得至l」Z\ABG,此时AB与AD重合，由旋转可得：

AB=AD,BG=DE,Z1=Z2,ZABG=ZD=90°,

，NABG+NABF=90°+90°=180°,

因此，点G,B,F在同一条直线上，

♦；NEAF=45°,

AZ2+Z3=ZBAD-ZEAF=90°-45°=45°,

VZ1=Z2,

.,.Zl+Z3=45°,

即ZGAF-Z,

又AG=AE,AF=AF,

ZXGAF岭,

_______=EF,

故DE+BF=EF；

(2)方法迁移：如图②，将RtZ\ABC沿斜边翻折得到AADC,点E,F分别为DC,BC边上的

点，且NDAB=2NEAF.试猜想DE,BF,EF之间有何数量关系，并证明你的猜想.

(3)问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，AB=AD,E,F分别为DC,BC上的点，满足/

DAB=2NEAF,试猜想当NB与ND满足什么关系时，可使得DE+BF=EF.请直接写出你的猜

想(不必说明理由).

F

②③

培优升级检测

一、选择题

1、正方形具有而菱形不具有的性质是(

A.对角线互相平分B.对角线相等C.对角线平分一组对角D.对角线互相垂直

2、如图，正方形ABCD的对角线相交于点0,正方形EFG0绕点旋转，若两个正方形的边长相等，则

两个正方形的重合部分的面积（）

A.由小变大B.由大变小C.始终不变D.先由大变小，然后又由小变大

3、如图，点P是正方形ABCD内一点，将aABP绕着B沿顺时针方向旋转到与△CBP'重合，若PB=3,

则PP，的长为（)

A.2近B.35/2C.3D.无法确定

4、如图，在4ABC中，0是AC上一动点,过点0作直线MN〃BC.设MN交NBCA的平分线于点E,交NBCA

的外角平分线于点F,若点0运动到AC的中点，且/ACB=（）时，则四边形AECF是正方形.

A.30°B.45°C.60°D.90°

5、如图，正方形ABCD的边长为8,点M在DC上，且DM=2,N是AC上一动点，则DN+MN的最小值

为（）A.8B.8>/3C.2JI7D.10

6、尸为正方形ABCD内一点，若以:尸2：PC=1：2：3,则NAPB的度数为（）

A.120°B.135°C.150°D.以上都不对

7、在正方形所在的平面内有一点P,便△以以△PBC、△PC。、AWM都是等腰三角形，那么具

有这样性质的P点共有（）

A.9个2.7个C.5个£>.1个

二、填空题

8、已知P是正方形43CD内的一点，且AABP为等边三角形，那么NDCP=.

9、将n个边长为1的正方形，按照如图所示方式摆放，0i,0”。3,0,，Os,…是正方形对角线

的交点，那么阴影部分面积之和等于.

10、如图所示，ABCD是正方形，E为8尸上的一点，四边形AEFC恰好是一个菱形，则NE43=15°.

11、如图，平面直角坐标系中，点A、B分别是x、y轴上的动

点，以AB为边作边长为2的正方形ABCD,则0C的最大值为

9题图10题图11题图12题图

12^如图，点M,N分别在正方形A88的边3C,C。上，已知AMC7V的周长等于正方形488周

长的一半，则NM4N的度数为.

三、解答题

13、如图，已知正方形ABCD,P是对角线AC上任意一点，E为AD上的点，且NEPB=90°,PM±AD,

PN1AB.

(1)求证：四边形PMAN是正方形;

(2)求证:EM=BN.

14、如图，在Rt^ABC中，ZACB=90°,过点C的直线MN〃AB,D为AB边上一点，过点D作DELBC,

交直线MN于E,垂足为F,连接CD、BE.

(1)求证：CE=AD；

(2)当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由;

(3)若D为AB中点，则当NA的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由.

第十五讲正方形性质与判定培优辅导答案

二、知识梳理

1、正方形的定义：有一组邻边相等的矩形或者有一个内角是直角的菱形叫做正方形

2、正方形的性质：正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形.它具有前三者的所有性质，还具有

自己独特的性质①边的性质：四条边都相等.

②角的性质：四个角都是直角.

③对角线性质：对角线互相垂直平分且相等.

④对称性：正方形是轴对称对称图形,也是中心对称图形.

3、正方形的判定判定

判定①有一组邻边相等的矩形是正方形.

判定②有一个内角是直角的菱形是正方形.

判定③对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.

二、经典例题〈正方形形的性质＞

【例1】如图，P为正方形458对角线上一点，PE工BC于E,PF_LCD于F.必与EF有怎样

的关系？请说明理由.

解：法一：EF=AP.理由：

VPE1BC,PF±CD,四边形ABCD是正方形,

7.ZPEC=ZPFC=ZC=90°,

二四边形PECF是矩形，

连接PC,

.*.PC=EF,

\/.*.AD=CD,ZPDA=

VP是正方形ABCD对角线上一点，

\/|在aPAD和4PCD

ZPDC,

中，夕仁:刁尸?.△PAD^APCD

/.*.PA=PC,

(SAS),

/.EF=AP.5RC法二：延长FP交

AB于点G,

则四边形PEBG是正方形，

/.PE=PG,ZAGP=ZEPF=90°,

VAG=AB-BG,PF=FG-PG,，AG=PF,

在AAPG和AFEP中，

/.△PAG^AEFP(SAS),，AP=EF.

【变式题组】

如图所示，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连结BE,DG.观察猜想BE与DG之间的

关系，并证明你的猜想的结论.

解：BE与DG之间的关系是BE=DG,BE±DG,证明：

延长GD交BE于H,•..四边

形ABCD和四边形EFGC是正方形，：.4

DCG=ZECB=90°,CE=CG,CD=BC,•.•在△

DCG和4BCE中

.,.△DCG^ABCE(SAS),

.,.BE=DG,Z1=Z2,

VZ3=Z4,Z2+Z4=90°,AZ1+Z

3=90°,AZ

EHD=180°-90°=90°,/.BE±

DG,即BE与

DG之间的关系是BE=DG,BE±DG.

【例2】如图，正方形ABCD中，E,F分别为AD,DC的中点，BF,CE相交于点M,求证：AM=AB.

证明：分别延长BA,CE交于N点，

四边形ABCD是正方形，

AD=CD=AB=CD,ZD=ZBCF=90°,AB/7CD,

E是AD中点，F是CD中点，

DE=CF,

△BCF和4CDE中，

△BCF^ACDE(SAS),

ZCBF=ZDCE,

ZCBF+ZBCM=ZDCE+ZBCM=90°,

TE是AD的中点，AN/7CD,

AE=DE,ZN=ZECD,ZNAE=ZCDE,

ANE和4DCE中，

ANE^ADCE(AAS),

AN=CD,

AN=AB,

BMN中，AM=-BN,

2

AM=AB.

【变式题组】如图①，已知正方形A8CD的对角线AC、BD交于点O,E是AC上一点，连结

过点A作垂足为M,AM交8。于点尺

⑴求证：OE=OF；

(2)如图②，若点E在AC的延长线上，于点交08的延长线于点尸，其他条件不变,

则结论“OE=OF"还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.

解：(1)证明：•.•四边形ABCD是正方形

AZB0E=ZA0F=90°,

0B=0A,

又TAM_LBE,

:.ZMEA+ZMAE=90°=ZAF0+ZMAE,

，NMEA=NAF0,

.,.RtABOE^RtAAOF,

.,.OE=OF；

(2)OE=OF成立;

证明：•.•四边形ABCD是正方形,

AZB0E=ZA0F=90°,OB=OA,

又YAMABE,

ZF+ZMBF=90°=ZB+ZOBE,

XVZMBF=ZOBE,

:.NF=NE,

.,.RtABOE^RtAAOF,

.•.OE=OFo

〈正方形的判定》

【例3】如图，已知平行四边形ABC。中，对角线AC、BO交于点O,E是80延长线上的点，且4

ACE是等边三角形.

⑴求证：四边形ABC。是菱形；

(.2)^ZAED=2ZEAD,求证：四边形ABCD是正方形.

证明：(1)•..四边形ABCD是平行四边形，

.\AO=CO,又

VAACE是等边三角形，

EO±ACt即D3_LNC,

平行四边形ABCD是菱形；

(2):△ACE是等边三角形，

z

ZAEC=609

EO±AC

9

ZAEO=-ZAEC=30S

...2

•.乙4ED=2/EAD

•9

;,AEAD=15°,

.ZADO=ZEAD+ZAED=45s

••，

V四边形ABCD是菱形，

•••ZADC=2ZADO=9Q,9

，四边形ABCD是正方形。

【变式题组】如图，ZSABC中，点。是边AC上一个动点，过0作直线MN/BC,设MN交NBCA

的平分线于点E,交NBCA的外角平分线于F.

(1)探究线段0E与OF的数量关系并证明；

⑵当点。运动到何处时，且△ABC满足什么条件时，四边形AEC尸是正方形？

⑶当点。在边AC上运动时，四边形8CFE会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由；

N

解：⑴OE=OF,

其证明如下：

TCE是NACB的平分线，

•••Z1=Z2

•♦.AINIIB9C••-zi=Z,3

/.Z2=Z3,.\OE=OC,

同理可证OC=OF,

••O•E=OF9.

(2)当点0运动到AC中点时，OE=OF,OA=OC,则四边形产为平行四边形，要

使4EC尸为正方形，必须使EFldC,

•：EFIIBCf：tAC]_BC,

:.△，四C是以乙4cB为直角的直角三角形，当点。为AC中点且△，四C是以乙4a为直

角的直角三角形时，四边形怎。尸是正方形。

(3)四边形8CEE不可能是菱形，若BCFE为菱形，则3/1EC,而由(1)可知PC1EC,

在平面内过同一点F不可能有两条直线同垂直于一条直线；

三、正方形最值问题

【例】1、如图，在平行四边形ABCD中，AB=4a,E是BC的中点，BE=2a,ZBAD=120°,P是

BD上的动点，则PE+PC的最小值为2岛.

2、如图，正方形ABCD的边长是2,NDAC的平分线交DC于点E,若点P、Q分别是AD和AE

上的动点，则DQ+PQ的最小值为亚.

3、如图，正方形ABCD的面积为4,Z\ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC

上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为2.

【变式题组】如图，四边形ABCD是正方形，AABE是等边三角形，M为对角线BD(不含

B点)上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接EN、AM、CM。

(1)求证：Z\AMB丝ZSENB；

(2)①当M点在何处时，AM+CM的值最小；

②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；

(3)当AM+BM+CM的最小值为6+1时，求正方形的边长。

解：(1);△ABE是等边三角形，*D

，BA=BE,ZABE=60°,------7

VZMBN=60°,\/

ZMBN-ZABN=ZABE-ZABN,\\Z

即NBMA=NNBE,/

又MB=NB,Z-----

.•.△AMB^AENB(SAS)；BC

(2)①当M点落在BD的中点时，AM+CM的值最小；

②如图，连接CE,当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，

理由如下：连接MN,AD

/.AM+BM+CM=EN+MN+CM,FBC

根据“两点之间线段最短"，得EN+MN+CM=EC最短

...当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小,即等于EC的长；

(3)过E点作EF_LBC交CB的延长线于F,

AZEBF=90°-60°=30°,

迫

设正方形的边长为x,则BF=TX,EF=2,

在RtaEFC中，

VEF2+FC2=EC2,

.(5)2+(¥x+x)2」有+1)，

解得，x=&(舍去负值)，

.♦.正方形的边长为0。

【综合提升】1、数学课上，张老师提出了问题：如图1,四边形ABC。是正方形，点E是8c边的

中点.ZAEF=90°,且EF交正方形外角NZJCG的平分线CF于点F,求证：AE=EF.

经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M,连接ME,则似AM=EC,易证△

AME^AECF,所以AE=EF.

在此基础上，同学们进一步的研究：

⑴小颖提出：如图2,如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上(除8、C外)的任

意一点”，其他条件不变，那么结论"AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果

正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；

(2)小华提出：如图3,点E是边BC的延长线上(除C点外)的任意一点，其他条件不变，结论“AE

=EF”仍然成立.你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明

理由.

F

图1图3

解：小题1：正确；小题2:正确

(1)正确.

证明：在AB上取一点M,使AM=EC,连结ME,

.•.BM=BE..\ZBME=45O..*.ZAME=135O.

•；CF是外角平分线,r.ZDCF=45°.AZECF

.'.NAME=ZECF.

ZAEB+ZBAE=90°,ZAEB+ZCEF=90°,

/.ZBAE=ZCEF.

AAAMEgAECF(ASA).

.\AE=EF.

(2)正确.

证明：

在BA的延长线上取一点N,

使AN=CE,连接NE.

.*.BN=BE.

ZN=ZFCE=45°.

•..四边形ABCD是正方形，

.•.AD/7BEAZDAE=ZBEA.

AZNAE=ZCEFAAANE^AECF(ASA).

.•.AE=EF.

2、探究问题：(1)方法感悟：

如图①，在正方形ABCD中，点E,F分别为DC,BC边上的点，且满足NEAF=45°,连接EF,

求证DE+BF=EF.

感悟解题方法，并完成下列填空：

将AADE绕点A顺时针旋转90°得到AABC,此时AB与AD重合，由旋转可得：

AB=AD,BG=DE,Z1=Z2,ZABG=ZD=90°,

.".ZABG+ZABF=90°+90°=180°,

因此，点G,B,F在同一条直线上，

VZEAF=45°,

AZ2+Z3=ZBAD-ZEAF=90°-45°=45°,

VZ1=Z2,

.*.Zl+Z3=45°,

即ZGAF=Z,

又AG=AE,AF=AF,

/.AGAF^,

/.=EF,

故DE+BF=EF；

(2)方法迁移：如图②，将RtZ\ABC沿斜边翻折得到△ADC,点E,F分别为DC,BC边上的

点，且NDAB=2/EAF.试猜想DE,BF,EF之间有何数量关系，并证明你的猜想.

(3)问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，AB=AD,E,F分别为DC,BC上的点，满足/

DAB=2NEAF,试猜想当NB与ND满足什么关系H寸，可使得DE+BF=EF.请直接写出你的猜

想（不必说明理由）.

解：（1）EAF、AEAFxGF；

（2）DE+BF=EF,证明如下：

假设NBAD的度数为m,将AADE绕点A顺时针旋转m°得到此时AB与AD重合,

由旋转可得:

AB=AD,BG=DE,Z1=Z2,ZABG=ZD=90°,

/.ZABG+ZABF=900+90°=180°,

:.点G,B,F在同一条直线上，

VZEAF=2,

Z2+Z3=ZBAD-ZEAF,

VZ1=Z2,

_刑。

.,.Zl+Z3=2,

即NGAF=NEAF,

又，.飞口皿,AF=AF,

.,.△GAF^AEAF(SAS),

/.GF=EF,

又•.,GF=BG+BF=DE+BF,

.\DE+BF=EF；

(3)当NB与ND互补时，可使得DE+BF=EF。

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二、选择题

1、正方形具有而菱形不具有的性质是（B）

A.对角线互相平分B.对角线相等C.对角线平分一组对角D.对角线互相垂直

2、如图，正方形ABCD的对角线相交于点0,正方形EFG0绕点旋转，若两个正方形的边长相等，则

两个正方形的重合部分的面积（C)

A.由小变大B.由大变小C.始终不变D.先由大变小，然后又由小变大

2题图3题图

3、如图，点P是正方形ABCD内一点，将AABP绕着B沿顺时针方向旋转到与aCBP'重合，若PB=3,

则PP'的长为（B

A.272B.30C.3D.无法确定

4、如图,在aABC中，0是AC上一动点,过点0作直线MN〃BC.设MN交/BCA的平分线于点E,交NBCA

的外角平分线于点F,若点0运动到AC的中点，且/ACB=（D）时，则四边形AECF是正方形.

A.30°B.45°C.60°D.90°

5、如图，正方形ABCD的边长为8,点M在DC上，且DM=2,N是AC上一动点，则DN+MN的最小值

为（D）A.8B.8>/3C.2VI7D.10

6、P为正方形A5CO内一点，若布：P8：PC=\：2：3,则NAPB的度数为（B）

A.120°B.135°C.150°D.以上都不对

7、在正方形所在的平面内有一点P,便△以B、APBC、/\PCD.△PDA都是等腰三角形，那么具

有这样性质的尸点共有（A）

A.9个B.7个C.5个力.1个

二、填空题

8、已知P是正方形MCZ）内的一点，且A4BP为等边三角形，那么"CP=15°或75°.

9、将n个边长为1的正方形，按照如图所示方式摆放，0”02,03,0”Os,…是正方形对角线

n-1

的交点，那么阴影部分面积之和等于4.

10、如图所示，/WCD是正方形，E为5尸上的一点，四边形恰好是一个菱形，则NE4B=15°.

11、如图，平面直角坐标系中，点A、B分别是x、y轴上的动点，以AB为边作边长为2的正方形ABCD,

则0C的最大值为非+L

x

9题图10题图11题图12题图

12、如图，点M,N分别在正方形ABC。的边BC,CD上