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哈尔滨理工大学2016－2017学年第一学期考试试题A卷答案系（部、中心、教研室0801出题教师数学分析命题组系（部、中心、教研室）主任：第页共6页考试科目：数学分析(I)一、求极限、导数或高阶导数(每小题5分，共35分)解：，故原式.2..3..4.解：.5.设,求..6.设函数是由参数方程确定，求和。.7.设函数二阶可导，，解：，.解答题（每小题8分，共32分）已知，，求证的极限存在并求其极限.解:易知单调增有上界1，故由单调收敛定理及知讨论函数的间断点及其类型.解:为可去间断点，为第二类间断点.3.求函数的极值点与极值。解：，驻点为，不可导点为极大值为，极小值为4.将边长为的正方形的四个角减去同样大小的正方形后折成一个无盖的盒子，问剪去的正方形边长为何值时,可使合资的容积最大?解：设剪去的小正方形的边长为，则盒子的容积为令,得稳定点,且,所以为极大值点又为一,所以时候,容积最大,为三、证明题（每小题8分,共16分）求证：方程至少有两个实根.证明：设，则易验证，由零点定理知在和中各有一个实根.2、设函数在内具有二阶导数，且，其中，证明：在内至少存在一点，使得.证明:在和上，分别满足罗尔中值定理的条件,故由罗尔中值定理，存在和，使得，再在上对使用罗尔中值定理得到在内至少存在一点，使得.3、证明：当时，.证明:设，则在上连续可导，由拉格朗日中值定理可知，存在.又，综上可得.4、已知和是两个数集，是的子集，求证：.证明：由于，故，又，由上确界的定义可知，同理有.求证：在上一致连续.证明：由于在上连续，故由一致连续性定理，在上一致连续，从而在上一致连续，在上连续且可导，故对于，在上使用拉格朗日中值定理，，又，故有，

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