原创-含参不等式及其含参等式课件

§83含参等式及其含参不等式二、含参不等式：<1>.按问法分类：<2>.按参量分类：<3>.按知识分类：1.常见题型：2.常用思想及方法：<1>.数形结合：<2>.分类讨论：<3>.参量分离法：<4>.变换主元法：一、含参等式：高中数学研究的主要内容关系确定关系随机关系数数关系：形形关系：立体几何解析几何代数数形关系：函数方程不等式解析式不等式概述概念性质应用解不等式证不等式求最值规律与统计不等式的性质(一)作用：变形化简不等式2.运算性质1.基本性质(二)性质：3.重要的不等式多多益善十四条文字背诵是关键说明：不等式的性质分类：①按课本上的分类方式：……②按资料上的分类方式：单向式；双向式……③按自己的分类方式：……1.基本性质①大小的定义②对称性③传递性如果a-b是正数，那么a＞b；如果a-b是等于零，那么a=b；如果a-b是负数，那么a＜b；如果a＞b,b＞c,那么a＞c如果a>b，那么b<a，如果b<a，那么a>bÛa＞bb＜aa>b，b>c⇒

a>c2.运算性质⑴对一个不等式的运算(变形)⑵对多个不等式的运算(变形)⑴对一个不等式的运算(变形)④加(减):如果a>b，那么a+c>b+c⑤乘(除)：如果a>b,且c>0,那么ac>bc如果a>b,且c<0,那么ac<bc⑥方：a>b,c>0⇒ac>bca>b⇒a+c>b+ca>b,c<0⇒ac<bc若若2.运算性质正值可方奇无限⑵对多个不等式的运算(变形)如果a>b，且c>d，那么a+c>b+d⑨同号可倒：⑧乘：a>b，c>d⇒a+c>b+d如果a>b>0，且c>d>0，那么ac>bda>b>0，c>d>0⇒ac>bd若a>b,ab>0,则注1.若2个不等式需进行减(除)运算，一般是转换成加(乘)注2.若变量间具有约束关系时，等号没有可加(乘)性⑦加：同向可正值同向可3.重要的(经典)不等式⑩11均值不等式：(调和平均值)(几何平均值)(幂平均值)(算数平均值)当且仅当a=b=c时，“=”成立(当且仅当○=□时等号成立)□2+○2≥±2□○

当且仅当□=○时等号成立二元的均值不等式若□,○∈R+,则21□○1+□○2□○+≤□2+○2注1：使用前提是正数当且仅当等相连放缩消元变结构应用特例求最值注2：与对号函数的关联或注3：即12三角形(绝对值)不等式|□1±□2±□3……□n|≤|□1|+|□2|+

|□3|+……+|□n||□|-|○|≤|□±○|≤|□|+|○|注1.放缩换序增减号特例消元求最值注2.拍扁三角取等号同号异号是关键“=”成立的条件：①中间“＋”时,右侧取“=”的条件是“□○≥0”②中间“－”时,右侧取“=”的条件是“□○≤0”左侧取“=”的条件是“□○≤0且|□|≥|○|”左侧取“=”的条件是“□○≥0且|□|≥|○|”13柯西不等式

i：一般式

ii：向量式方和积≥积方和1.表述方式众多：2.应用：

i：作用：换序变结构

ii：用途：解证求最值注：最常见的是将配凑为①②③常数列14排序不等式反序和≤乱序和≤顺序和15分数的性质若,a,b,c,d,m,n＞0,则特例2：若,a,b,m＞0,则特例1：若,a,b,m＞0,则注：真分数的分子分母加同一正数后放大(糖水不等式，调日术，插值定理)<1>设f(x)是(a,b)内的凸函数,则对于(a,b)内任意的n个实数琴生(Jensen)不等式:,有当且仅当时取等号<2>设f(x)是(a,b)内的凹函数,则对于(a,b)内任意的n个实数,有当且仅当时取等号凸凹性与琴生(Jensen)不等式1617伯努利不等式参《选修4-5》P：51～52ⅰ:若x＞-1,且α≤0或α≥1，则ⅱ:若x＞-1,且0≤α

≤1，则(当且仅当n=1时等号成立)如果x是实数,且x＞-1,x≠0,且n为大于1的自然数,则注：伯努利不等式常见的推论：ⅲ:若xi＞-1,则18lnx不等式与数列不等式(1).“半成品”辅助函数的衍变大多数是(2).令，由迭加法可得(3).令，由迭加法可得二元不等式一元不等式抽象不等式含参不等式整式不等式分式不等式不等式组绝对值不等式根式不等式连不等式指数不等式对数不等式三角不等式线性规划四成立……不等式的应用1.解不等式：①常见题型一元二次不等式的解法1.公式(口诀)法：口诀1：大于号要两头小于号要中间口诀2：一正二方三大头无根大全小为空2.其他法：③配方法：①图象(标根)法：②因式分解法：标根法解一元n次不等式一正二方三穿线奇穿偶切右上方上大下小中为等函数简图是本质数形结合“或”字型书写格式整体观解不等式组通法:“截”成不等式组解连不等式特法:左右是常数时，可变形成高次不等式解根式不等式去掉根号是常法正值可方奇无限留意等号定义域数形结合是特法抽象不等式抽象不等具体化数形结合性质法辅助函数是关键增大减小是根本分式不等式的解法1.“左右”去分母法2.“上下”去分母法常用结论要背熟辅助函数是关键数法主要单调性上大下小中方程形法：数法：上大下小中方程背诵法：数法主要单调性常用结论要背熟辅助函数是关键解指数,对数及三角不等式1.若02.若03.若0,则4.若5.若,则,则,则,则常用结论要背熟1.若02.若03.若0,则4.若5.若,则,则,则,则常用结论要背熟6.大同小异约束条件目标函数(线性规划)可行解可行域最优解定义域解析式值域一元函数目标函数线最值最优解取值范围多元不等式数形一域二线三找点来先去后为最值一域二线三找点来先去后为最值(多元函数)简言之，线性规划就是图象法解二元不等式1.直线型：线性规划常见的几类目标函数2.曲线型：3.其他型：①直线平移型：②直线旋转型：③直线旋移型：④点线距离型：(a,b为常数,截距……)(x0,y0为常数,斜率……)(λ,μ为参量,截距……)(a,b,c为常数,距离…)⑤圆伸缩型：(x0,y0为常数,半径…)⑥向量型：……②常见解法①常见题型形法数法“纯”不等式法函数法函数图象线性规划其他图象1.解不等式：③

一般的，不等式解集的端点值是方程的根不等式的应用数法：形法：①比较法②分析法③综合法④反证法⑤数归法⑥放缩法⑦函数法⑧……法2.证明不等式常用的方法：1.解不等式：不等式的应用数法：形法：函数图象最值定理（均值不等式）线性规划函数法（导数法）3.求最值常用的方法：2.证明不等式常用的方法：1.解不等式：不等式的应用绝对值不等式常见的题型解证1.最值一元二元2.含参单号三号3.双号1.定义：4.绝对值函数的图象：2.公式：②形：①数：(零点分段法的基础)几何意义——距离(实数,复数,向量)3.性质：②|f(x)|＞g(x)Û

－g(x)＜f(x)或f(x)＞g(x)

①|f(x)|＜g(x)Û

－g(x)＜f(x)＜g(x)绝对值不等式常用的结论3.性质：<2>|□|-|○|≤|□±○|≤|□|+|○|注1.放缩换序增减号特例消元求最值注2.拍扁三角取等号同号异号是关键“=”成立的条件：①中间“＋”时,右侧取“=”的条件是“□○≥0”②中间“－”时,右侧取“=”的条条件是“□○≤0”左侧取“=”的条件是“□○≤0且|□|≥|○|”左侧取“=”的条件是“□○≥0且|□|≥|○|”<1>|□·○|=|□|·|○||○||□|○□=|□|=□2；；①单绝对值函数：③三绝对值函数：②双绝对值函数：四点三线法五点四线法三点二线法4.绝对值函数的图象：③公式法①几何意义——距离数法形法④平方法⑥换元法⑤零点分段法②函数图像——翻折……去号法⑨增号法⑦⊿不等式法⑧保号法绝对值不等式常用的策略§83含参等式及其含参不等式二、含参不等式：<1>.按问法分类：<2>.按参量分类：<3>.按知识分类：1.常见题型：2.常用思想及方法：<1>.数形结合：<2>.分类讨论：<3>.参量分离法：<4>.变换主元法：一、含参等式：①若对,有恒成立②若,使得成立已知定义在D1上的函数f1(x)的值域为I1定义在D2上的函数f2(x)的值域为I2则等价于：则等价于：③若对,使得成立④若对,使得成立则等价于：则等价于：一、含参等式(含参函数与值域)：(任意对任意，是值域相等)(任意对存在，任意是子集)(存在对存在，交集非空)(任意对存在，任意是子集)(1)(2011年湖南)已知函数若有则b的取值范围为A．

B．C.[1,3]D.(1,3)【B】析：由题意得：两函数值域的交集非空解得解：因由题意得另法：可由答案的提示性，采用小作：特值法……练习1.含参等式：(1)(2011年湖南)已知函数若有则b的取值范围为A．

B．C.[1,3]D.(1,3)析：此类题，还可以将：变式为等形式……(2)《金考案》P：112左上

(2014年四川)设m∈R，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点P(x,y)，则的最大值是_______析：由点斜式易得：A(0,0)，B(1,3)又由两直线方程易得：AP⊥BP故当且仅当时取“=”从而5(3)《金考案》P：23右中

(2013年辽宁)已知函数设表示p,q中的较大值,表示p,q中的较小值()记的最小值为A,的最大值为B,则A-B=A.16B.-16C.D.析：取大函数与取小函数；数形结合……现将两图像画到一块……解f(x)=g(x)得取大函数的图象是……故取大函数H1(x)的最小值取大函数H1(x)的最小值故取小函数H2(x)的最大值取小函数的图象是……故A-B=－16二、含参不等式：<1>.按问法分类：<2>.按参量分类：<3>.按知识分类：1.常见题型：③求最值①解不等式②证不等式①单参型②双参型③多参型导数不等式，数列不等式……二、含参不等式：1.常见题型：2.常用思想及方法：<1>.分类讨论：<2>.参量分离法：<3>.变换主元法：<4>.数形结合：形法数法(1)通法特法(2)最值法子集法变换主元法分离参量法先猜后证法含参不等式常成立注1.描述方式繁多引申变式多样含参不等式恒成立含参不等式恰成立含参不等式能成立注3.解法灵活多样技巧性极强注2.常成立是基础恒成立是重点分类讨论含参不等式——四成立：(4)若①对∈[1,2],恒成立最小值最大值等价于在[1,2]上……②若∈[1,2]使得成立最大值最小值等价于在[1,2]上……③对∈[1,2],∈[1,2],使得成立最大值最大值等价于在[1,2]上……,求各条件下的k的取值范围④对∈[1,2],∈[1,2],使得成立最小值最小值等价于在[1,2]上……(5)(2015年全国Ⅱ简化)设函数若对于任意,都有求m的取值范围

析：等价于在[-1,1]上最大值最小值……m∈[－1,1]成立，求正数a的取值范围(6).(2006年湖北简化)已知,若存在使得析1：等价于在[0,4]上析2：因在[0,4]上因在[0,4]上析3：又因故(7).(2015年全国Ⅰ化简)已知函数,讨论函数零点的个数

解：ⅰ:当x＞1时，因ⅲ:当0＜x＜1时,因g(x)＞0,故只需讨论f(x)的零点即可故h(x)在(1,+∞)上无零点ⅱ:当x=1时，因故当时,x=1是h(